1줄 (30%)$t$시간 후의 미생물의 개체 수를 $N(t)$라 하면 $2$시간마다 $3$배가 되므로 $N(t) = A_0 \cdot 3^{t/2}$이다. (3점)

2줄 (40%)조건에 의하여 $A_0 \cdot 3^{t/2} \ge 81 A_0 \iff 3^{t/2} \ge 3^4$이다. (4점)

3줄 (30%)밑 $3 \gt 1$이므로 $\dfrac{t}{2} \ge 4 \implies t \ge 8$이며, 따라서 최소 $8$시간 후이다. (3점)

1줄 (30%)삼각형 $ABC$에서 $\overline{AC}^2 = 2^2 + 4^2 - 2\cdot 2\cdot 4\cos B = 20 - 16\cos B$이다. (3점)

2줄 (40%)원에 내접하는 사각형에서 $\cos D = -\cos B$이므로 삼각형 $ACD$에서 $\overline{AC}^2 = 3^2 + 3^2 - 2\cdot 3\cdot 3\cos D = 18 + 18\cos B$이다. (4점)

3줄 (30%)$20 - 16\cos B = 18 + 18\cos B \implies \cos B = \dfrac{1}{17}$이므로 $\overline{AC}^2 = 20 - \dfrac{16}{17} = \dfrac{324}{17}$이다. (3점)

1줄 (30%)주어진 점화식의 양변에 $3$을 더하면 $\delta_{n+1} + 3 = 2(\delta_n + 3)$이다. (3점)

2줄 (40%)따라서 수열 $\{\delta_n + 3\}$은 첫째항이 $\delta_1 + 3 = 5$이고 공비가 $2$인 등비수열이므로 $\delta_n + 3 = 5 \cdot 2^{n-1}$이다. (4점)

3줄 (30%)$n = 6$을 대입하면 $\delta_6 = 5 \times 2^5 - 3 = 160 - 3 = 157$이다. (3점)

1줄 (30%)반주기가 $\beta - \alpha = \dfrac{\pi}{b} = 6\pi$이므로 $b = \dfrac{1}{6}$이고, 최댓값 $a + c = 15$와 $f(\pi) = a\sin\dfrac{\pi}{6} + c = \dfrac{1}{2}a + c = 10$을 연립하면 $a = 10,\ c = 5$이며 최솟값은 $m = -a + c = -5$이다. (3점)

2줄 (40%)두 점 $A(3\pi, 15),\ B(9\pi, -5)$를 이은 선분이 $x$축과 만나는 점은 높이의 비 $15 : 5 = 3 : 1$에 의하여 구간 길이 $6\pi$를 $3 : 1$로 내분하므로 두 직각삼각형의 밑변의 길이는 각각 $\dfrac{9\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 구하는 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{9\pi}{2}\times 15 + \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3\pi}{2}\times 5 = \dfrac{135\pi}{4} + \dfrac{15\pi}{4} = \dfrac{75\pi}{2}$이다. (3점)

1줄 (30%)두 극한의 분모가 각각 $0$으로 수렴하므로 $H(1) = 0,\ H(2) = 0$이고 $H(x) = (x - 1)(x - 2)(x - k)$로 놓을 수 있다. (3점)

2줄 (40%)첫째 극한식에서 $\displaystyle\lim_{x \to 1} (x - 2)(x - k) = -(1 - k) = -2$이므로 $k = -1$이며, 이는 둘째 극한식 $\displaystyle\lim_{x \to 2} (x - 1)(x + 1) = 3$도 만족시킨다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $H(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1)$이므로 $H(4) = 3 \times 2 \times 5 = 30$이다. (3점)

1줄 (30%)점 $P(a, b)$에서의 접선이 직선 $y = 2x - 1$과 평행할 때 거리가 최소이다. (3점)

2줄 (40%)$y' = 2x - 2$이므로 $2a - 2 = 2$에서 $a = 2$이고, 포물선에 대입하면 $b = 4 - 4 + 5 = 5$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 최솟값을 주는 점은 $P(2, 5)$이므로 $a + b = 7$이다. (3점)

1줄 (30%)$d(x) = (x^4 - 6x^2 + k) - (8x - 3x^2) = x^4 - 3x^2 - 8x + k$라 하면 모든 실수에서 $d(x) \gt 0$이어야 한다. (3점)

2줄 (40%)미분하면 $d'(x) = 4x^3 - 6x - 8 = 2(x - 2)(2x^2 + 4x + 4) = 0$이고 $2x^2 + 4x + 4 \gt 0$이므로 $x = 2$에서 유일한 극소이자 최소이다. (4점)

3줄 (30%)최솟값 $d(2) = 16 - 12 - 16 + k = k - 12 \gt 0$에서 $k \gt 12$이므로 정수 $k$의 최솟값은 $13$이다. (3점)

1줄 (30%)두 곡선의 교점은 $A\left(\dfrac{1}{a}, 4\right)$이고, $\alpha = \log_a t + 1\ (\gt 1),\ \beta = t - \dfrac{1}{a}\ (\gt 0)$이라 하면 $B(t, 4 + \alpha),\ C(t, 4 - \alpha)$이므로 밑변은 $\overline{BC} = 2\alpha$, 높이는 $\beta$이다. (3점)

2줄 (40%)넓이 $\alpha\beta = \dfrac{48}{5}$와 $\overline{AB}^2 = \alpha^2 + \beta^2 = \dfrac{676}{25}$를 연립하면 $(\alpha + \beta)^2 = \dfrac{1156}{25} \implies \alpha + \beta = \dfrac{34}{5}$이므로 $\{\alpha, \beta\} = \left\{2, \dfrac{24}{5}\right\}$이고, 점 $B, C$의 $y$좌표($4 \pm \alpha$)가 정수이므로 $\alpha = 2,\ \beta = \dfrac{24}{5}$이다. (4점)

3줄 (30%)$\log_a t + 1 = 2 \implies t = a$이고, $a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{24}{5} \implies 5a^2 - 24a - 5 = (5a + 1)(a - 5) = 0$에서 $a \gt 1$이므로 $a = 5,\ t = 5$이다. (3점)

1줄 (30%)$y' = 2x$이므로 점 $(3, 11)$에서의 접선의 방정식은 $y = 6(x - 3) + 11 = 6x - 7$이다. (3점)

2줄 (40%)구간 $[0, 3]$에서 포물선과 접선의 차는 $(x^2 + 2) - (6x - 7) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 넓이는 $S = \displaystyle\int_0^3 (x - 3)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - 3)^3\right]_0^3 = 0 - (-9) = 9$이다. (3점)