1줄 (30%)$3^2 = 9 \lt 20 \lt 27 = 3^3$이므로 $2 \lt \log_3 20 \lt 3$에서 정수 부분은 $a = 2$이다. (3점)

2줄 (40%)소수 부분은 $b = \log_3 20 - 2 = \log_3 \dfrac{20}{9}$이므로 $3^b = \dfrac{20}{9}$이고 $3^a = 9$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $9(3^a + 3^b) = 9\left(9 + \dfrac{20}{9}\right) = 81 + 20 = 101$이다. (3점)

1줄 (30%)여각 공식 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$에 의하여 $\sin\dfrac{5\pi}{12} = \cos\dfrac{\pi}{12},\ \sin\dfrac{4\pi}{12} = \cos\dfrac{2\pi}{12}$이다. (3점)

2줄 (40%)따라서 $\left(\sin^2\dfrac{\pi}{12} + \cos^2\dfrac{\pi}{12}\right) + \left(\sin^2\dfrac{2\pi}{12} + \cos^2\dfrac{2\pi}{12}\right) = 1 + 1 = 2$이다. (4점)

3줄 (30%)가운데 항은 $\sin^2\dfrac{3\pi}{12} = \sin^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}$이므로 $S = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$이다. (3점)

1줄 (30%)주어진 식에 $3$을 곱하면 $3M = 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + 3\cdot 3^3 + 4\cdot 3^4 + 5\cdot 3^5$이다. (3점)

2줄 (40%)두 식을 변변 빼면 $-2M = (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) - 5\cdot 3^5 = \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1} - 5\cdot 243$이다. (4점)

3줄 (30%)$-2M = 121 - 1215 = -1094$이므로 $M = 547$이다. (3점)

1줄 (30%)반주기가 $\beta - \alpha = \dfrac{\pi}{b} = 4\pi$이므로 $b = \dfrac{1}{4}$이고, 최댓값 $a + c = 12$와 $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = a\sin\dfrac{\pi}{6} + c = \dfrac{1}{2}a + c = 8$을 연립하면 $a = 8,\ c = 4$이며 최솟값은 $m = -a + c = -4$이다. (3점)

2줄 (40%)두 점 $A(2\pi, 12),\ B(6\pi, -4)$를 이은 선분이 $x$축과 만나는 점은 높이의 비 $12 : 4 = 3 : 1$에 의하여 구간 길이 $4\pi$를 $3 : 1$로 내분하므로 두 직각삼각형의 밑변의 길이는 각각 $3\pi,\ \pi$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 구하는 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 3\pi\times 12 + \dfrac{1}{2}\times \pi\times 4 = 18\pi + 2\pi = 20\pi$이다. (3점)

1줄 (30%)첫째 극한식에서 $x - 1 = t$로 치환하면 $\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{f(t)}{t(t + 2)} = \dfrac{1}{2}\lim_{t \to 0} \dfrac{f(t)}{t} = 4$이므로 $\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{f(t)}{t} = 8$이다. (3점)

2줄 (40%)구하는 극한식을 변형하면 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left\{\dfrac{f(x)}{x} \cdot \dfrac{1}{x + 3}\right\}$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 극한값은 $8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}$이다. (3점)

1줄 (30%)$p(x) = ax^2 + bx + c$로 놓으면 $p'(x) = 2ax + b$이므로 $ax^2 + (2a + b)x + (b + c) = x^2 + 6x + 7$이다. (3점)

2줄 (40%)양변의 계수를 비교하면 $a = 1$, $2 + b = 6 \implies b = 4$, $4 + c = 7 \implies c = 3$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $p(x) = x^2 + 4x + 3$이므로 $p(2) = 4 + 8 + 3 = 15$이다. (3점)

1줄 (30%)$J'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x + 2)(x - 2) = 0$에서 구간 $[-1, 3]$에 속하는 극점은 $x = 0, 2$이다. (3점)

2줄 (40%)함숫값을 구하면 $J(-1) = 3,\ J(0) = 10,\ J(2) = 16 - 32 + 10 = -6,\ J(3) = 81 - 72 + 10 = 19$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 최댓값은 $M = 19$, 최솟값은 $m = -6$이므로 $M + m = 13$이다. (3점)

1줄 (30%)두 곡선의 교점은 $A\left(\dfrac{1}{a}, 3\right)$이고, $\alpha = \log_a t + 1\ (\gt 1),\ \beta = t - \dfrac{1}{a}\ (\gt 0)$이라 하면 $B(t, 3 + \alpha),\ C(t, 3 - \alpha)$이므로 밑변은 $\overline{BC} = 2\alpha$, 높이는 $\beta$이다. (3점)

2줄 (40%)넓이 $\alpha\beta = \dfrac{15}{2}$와 $\overline{AB}^2 = \alpha^2 + \beta^2 = \dfrac{289}{16}$을 연립하면 $(\alpha + \beta)^2 = \dfrac{529}{16} \implies \alpha + \beta = \dfrac{23}{4}$이므로 $\{\alpha, \beta\} = \left\{2, \dfrac{15}{4}\right\}$이고, 점 $B, C$의 $y$좌표($3 \pm \alpha$)가 정수이므로 $\alpha = 2,\ \beta = \dfrac{15}{4}$이다. (4점)

3줄 (30%)$\log_a t + 1 = 2 \implies t = a$이고, $a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{15}{4} \implies 4a^2 - 15a - 4 = (4a + 1)(a - 4) = 0$에서 $a \gt 1$이므로 $a = 4,\ t = 4$이다. (3점)

1줄 (30%)상수 $k = \displaystyle\int_{-1}^1 g(t)\,dt$로 놓으면 $g(x) = 3x^2 + (2 + k)x$이다. (3점)

2줄 (40%)양변을 $-1$부터 $1$까지 정적분하면 기함수 $(2 + k)t$의 적분은 $0$이므로 $k = \displaystyle\int_{-1}^1 3t^2\,dt = 2$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $g(x) = 3x^2 + 4x$이므로 $g(2) = 12 + 8 = 20$이다. (3점)