$\log_3 20$의 정수 부분을 $a$, 소수 부분을 $b$라 할 때, $9(3^a + 3^b)$의 값을 구하시오. (10점)

합 $S = \sin^2\dfrac{\pi}{12} + \sin^2\dfrac{2\pi}{12} + \sin^2\dfrac{3\pi}{12} + \sin^2\dfrac{4\pi}{12} + \sin^2\dfrac{5\pi}{12}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

합 $M = 1\cdot 1 + 2\cdot 3 + 3\cdot 3^2 + 4\cdot 3^3 + 5\cdot 3^4$의 값을 구하시오. (10점)

주기 구간 $[0, 2\pi/b]$에서 삼각함수 $f(x) = a\sin bx + c$ ($a, b, c \gt 0$)는 $A(\alpha, 12)$에서 최대이고 $B(\beta, m)$ ($m \lt 0$)에서 최소이다. $\beta - \alpha = 4\pi$이고 $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 8$일 때, 직선 $AB$ ($y=g(x)$)와 $x$축 및 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 두 삼각형 영역의 넓이의 합을 구하시오. (10점)

다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x - 1)}{x^2 - 1} = 4$를 만족시킬 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2 + 3x}$를 기약분수로 구하시오. (10점)

이차함수 $p(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $p'(x) + p(x) = x^2 + 6x + 7$을 만족시킬 때, $p(2)$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[-1, 3]$에서 사차함수 $J(x) = x^4 - 8x^2 + 10$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오. (10점)

상수 $a \gt 1$과 양수 $t \gt 1$에 대하여 두 곡선 $y = \log_a x + 4$, $y = \log_{1/a} x + 2$가 만나는 점 $A$와 직선 $x = t$가 두 곡선과 만나는 점 $B, C$가 그림과 같다. 점 $B, C$의 $y$좌표가 정수이고 $\overline{AB} = \dfrac{17}{4}$이며 삼각형 $ABC$의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$일 때, $a, t$의 값을 구하시오. (10점)

다항함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) = 3x^2 + 2x + \displaystyle\int_{-1}^1 x g(t)\,dt$를 만족시킬 때, $g(2)$의 값을 구하시오. (10점)