실수 $x$가 $9^x = 5$를 만족시킬 때, $\dfrac{3^{3x} + 3^{-3x}}{3^x + 3^{-x}}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4,\ \overline{AC} = 6,\ \overline{BC} = 8$일 때, 변 $BC$의 중점 $M$에 대하여 선분 $AM$의 길이의 제곱 $\overline{AM}^2$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $2$이고 공차가 $3$인 등차수열과, 첫째항이 $5$이고 공차가 $4$인 등차수열의 공통인 항을 작은 것부터 차례대로 나열하여 만든 수열을 $\{\kappa_n\}$이라 할 때, $\kappa_8$의 값을 구하시오. (10점)

한 주기 구간 $\left[0, \dfrac{2\pi}{b}\right]$에서 정의된 삼각함수 $f(x) = a\sin bx + c$ ($a, b, c \gt 0$)가 $x=\alpha$에서 최댓값 $9$, $x=\beta$에서 최솟값 $m$ ($m \lt 0$)을 갖는다. 두 극점 $A(\alpha, 9), B(\beta, m)$을 잇는 직선 $y=g(x)$에 대하여 $\beta - \alpha = 2\pi$이고 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 6$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 넓이를 구하시오. (10점)

함수 $\rho(x) = \dfrac{x^2 - 4}{|x - 2|}$에 대하여 $A = \displaystyle\lim_{x \to 2+} \rho(x),\ B = \lim_{x \to 2-} \rho(x)$라 할 때, $A - B$의 값을 구하시오. (10점)

삼차함수 $S(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$가 $x = -1$에서 극댓값을 갖고 $x = 3$에서 극솟값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차 $S(-1) - S(3)$을 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\sigma(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\sigma(x + 2) = \sigma(x)$를 만족시키고, 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $\sigma(x) = 3x^2 - 2x + 1$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^{10} \sigma(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

밑 조건 $a \gt 1$과 $t \gt 1$에 대하여 두 로그곡선 $y = \log_a x + 3$, $y = \log_{1/a} x + 1$의 교점을 $A$라 하고, 수직선 $x = t$가 두 곡선과 만나는 점을 $B, C$라 하자. 두 점 $B, C$의 $y$좌표가 모두 정수이고 $\overline{AB} = \dfrac{17}{2}$, 삼각형 $ABC$의 넓이가 $30$일 때, 상수 $a$와 $t$의 값을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x(x - 1)(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)