첫째항이 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{n=1}^{9} a_n = 126$일 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{9} \dfrac{3}{a_n a_{n+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

상수 $a$에 대하여 이차함수 $f(x)$가 $$4 \times \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)-x}{x^3-8} = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(x+1)}{x^2-1} = a$$를 만족시킬 때, $a$와 $f(5)$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

모든 항이 정수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} -2a_n + 5 & (a_n \lt 3) \\ a_n - n + 4 & (a_n \ge 3) \end{cases}$$을 만족시킨다. $a_5 = 8$일 때, $a_1,\ a_3,\ \displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 $f(x) = a\sin bx + c\ \left(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{b}\right)$는 $x=\alpha$에서 최댓값 $13$, $x=\beta$에서 최솟값 $m$을 갖는다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 두 점 $A(\alpha, 13),\ B(\beta, m)$을 지나는 직선을 $y=g(x)$라 하자. $\beta - \alpha = 3\pi$이고 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 10$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=\alpha,\ x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $a, b, c$는 양수이고, $a \lt c$이다.) (10점)

$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 실수 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f_n(a)$라 하자. $3f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a))$의 값이 최소일 때, $$2f_n(a) - 4f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n)$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 $$f(x) = \begin{cases} (x+4)(x-2) & (x \lt 0) \\ x-3 & (x \ge 0) \end{cases}$$일 때, 모든 실수 $a$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)f(k-x)$가 존재하도록 하는 실수 $k$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여 $$F(x) = x^2 f(x) - 4x^4 + ax + 2$$가 성립할 때, $F\left(\dfrac{8}{3a f'(0)}\right)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $a$는 상수이다.) (10점)

상수 $a\ (a \gt 1)$와 양수 $t\ (t \gt 1)$에 대하여 곡선 $y = \log_a x + 4$와 곡선 $y = \log_{\frac{1}{a}} x + 2$가 만나는 점을 $A$라 하고, 직선 $x = t$와 두 곡선이 만나는 점을 각각 $B,\ C$라 하자. $\overline{AB} = \dfrac{5}{2}$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $3$일 때, $a$와 $t$의 값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, 점 $B$와 점 $C$의 $y$좌표는 정수이다.) (10점)

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$6f(x) = -6x^3 + 18x - 3 + \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_{1}^{1+h} \{f(t)\}^2\,dt$$를 만족시킬 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

실수 $x$가 $9^x = 5$를 만족시킬 때, $\dfrac{3^{3x} + 3^{-3x}}{3^x + 3^{-x}}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4,\ \overline{AC} = 6,\ \overline{BC} = 8$일 때, 변 $BC$의 중점 $M$에 대하여 선분 $AM$의 길이의 제곱 $\overline{AM}^2$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $2$이고 공차가 $3$인 등차수열과, 첫째항이 $5$이고 공차가 $4$인 등차수열의 공통인 항을 작은 것부터 차례대로 나열하여 만든 수열을 $\{\kappa_n\}$이라 할 때, $\kappa_8$의 값을 구하시오. (10점)

한 주기 구간 $\left[0, \dfrac{2\pi}{b}\right]$에서 정의된 삼각함수 $f(x) = a\sin bx + c$ ($a, b, c \gt 0$)가 $x=\alpha$에서 최댓값 $9$, $x=\beta$에서 최솟값 $m$ ($m \lt 0$)을 갖는다. 두 극점 $A(\alpha, 9), B(\beta, m)$을 잇는 직선 $y=g(x)$에 대하여 $\beta - \alpha = 2\pi$이고 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 6$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 넓이를 구하시오. (10점)

함수 $\rho(x) = \dfrac{x^2 - 4}{|x - 2|}$에 대하여 $A = \displaystyle\lim_{x \to 2+} \rho(x),\ B = \lim_{x \to 2-} \rho(x)$라 할 때, $A - B$의 값을 구하시오. (10점)

삼차함수 $S(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$가 $x = -1$에서 극댓값을 갖고 $x = 3$에서 극솟값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차 $S(-1) - S(3)$을 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $\sigma(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\sigma(x + 2) = \sigma(x)$를 만족시키고, 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $\sigma(x) = 3x^2 - 2x + 1$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^{10} \sigma(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

밑 조건 $a \gt 1$과 $t \gt 1$에 대하여 두 로그곡선 $y = \log_a x + 3$, $y = \log_{1/a} x + 1$의 교점을 $A$라 하고, 수직선 $x = t$가 두 곡선과 만나는 점을 $B, C$라 하자. 두 점 $B, C$의 $y$좌표가 모두 정수이고 $\overline{AB} = \dfrac{17}{2}$, 삼각형 $ABC$의 넓이가 $30$일 때, 상수 $a$와 $t$의 값을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x(x - 1)(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

세 양수 $A = \sqrt{2},\ B = \sqrt[3]{3},\ C = \sqrt[6]{7}$ 중에서 가장 큰 수를 $M$, 가장 작은 수를 $m$이라 할 때, $(Mm)^6$의 값을 구하시오. (10점)

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 부등식 $2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x \ge 0$을 만족시키는 $x$의 값의 범위가 $x = 0$ 또는 $\alpha \le x \le \beta$ 또는 $\gamma \le x \le 2\pi$이다. $\alpha + \beta + \gamma$의 값을 구하시오. (10점)

합 $U = \displaystyle\sum_{k=1}^6 (2^k + 3k - 1)$의 값을 구하시오. (10점)

양수 $a, b, c$ ($a \lt c$)에 대하여 함수 $f(x) = a\sin bx + c$ ($0 \le x \le 2\pi/b$)의 최댓점 $A(\alpha, 15)$와 최솟점 $B(\beta, m)$을 지나는 직선을 $y=g(x)$라 하자. 반주기 간격이 $\beta - \alpha = 4\pi$이고 $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 12$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 두 수직선 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이를 구하시오. (10점)

다항함수 $\theta(x) = x^3 + 2x - 9$에 대하여 방정식 $\theta(x) = 0$의 유일한 실근이 열린구간 $(n, n + 1)$에 존재하도록 하는 정수 $n$의 값을 구하시오. (10점)

곡선 $y = x^2 - 4x + 7$ 위의 점 $(3, 4)$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. (10점)

삼차함수 $C(x) = x^3 - 6x^2 + kx + 2$가 닫힌구간 $[1, 3]$에서 감소하도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 구하시오. (10점)

상수 $a \gt 1$ 및 $t \gt 1$에 대하여 직선 $y=4$에 대칭인 두 곡선 $y = \log_a x + 5$와 $y = \log_{1/a} x + 3$의 교점을 $A$라 하고, 직선 $x = t$와의 교점을 각각 $B, C$라 하자. 점 $B, C$의 $y$좌표가 정수이고 $\overline{AB} = \dfrac{10}{3}$, 삼각형 $ABC$의 넓이가 $\dfrac{16}{3}$일 때, $a$와 $t$를 각각 구하시오. (10점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = -t^2 + 6t$이다. 출발 후 점 $P$의 가속도가 $0$이 되는 순간까지 점 $P$의 위치의 변화량을 구하시오. (10점)

$\log_3 20$의 정수 부분을 $a$, 소수 부분을 $b$라 할 때, $9(3^a + 3^b)$의 값을 구하시오. (10점)

합 $S = \sin^2\dfrac{\pi}{12} + \sin^2\dfrac{2\pi}{12} + \sin^2\dfrac{3\pi}{12} + \sin^2\dfrac{4\pi}{12} + \sin^2\dfrac{5\pi}{12}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

합 $M = 1\cdot 1 + 2\cdot 3 + 3\cdot 3^2 + 4\cdot 3^3 + 5\cdot 3^4$의 값을 구하시오. (10점)

주기 구간 $[0, 2\pi/b]$에서 삼각함수 $f(x) = a\sin bx + c$ ($a, b, c \gt 0$)는 $A(\alpha, 12)$에서 최대이고 $B(\beta, m)$ ($m \lt 0$)에서 최소이다. $\beta - \alpha = 4\pi$이고 $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 8$일 때, 직선 $AB$ ($y=g(x)$)와 $x$축 및 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 두 삼각형 영역의 넓이의 합을 구하시오. (10점)

다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x - 1)}{x^2 - 1} = 4$를 만족시킬 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2 + 3x}$를 기약분수로 구하시오. (10점)

이차함수 $p(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $p'(x) + p(x) = x^2 + 6x + 7$을 만족시킬 때, $p(2)$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[-1, 3]$에서 사차함수 $J(x) = x^4 - 8x^2 + 10$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오. (10점)

상수 $a \gt 1$과 양수 $t \gt 1$에 대하여 두 곡선 $y = \log_a x + 4$, $y = \log_{1/a} x + 2$가 만나는 점 $A$와 직선 $x = t$가 두 곡선과 만나는 점 $B, C$가 그림과 같다. 점 $B, C$의 $y$좌표가 정수이고 $\overline{AB} = \dfrac{17}{4}$이며 삼각형 $ABC$의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$일 때, $a, t$의 값을 구하시오. (10점)

다항함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) = 3x^2 + 2x + \displaystyle\int_{-1}^1 x g(t)\,dt$를 만족시킬 때, $g(2)$의 값을 구하시오. (10점)

일정한 온도에서 배양되는 어떤 미생물은 $2$시간마다 그 개체 수가 $3$배로 증가한다고 한다. 처음 개체 수가 $A_0$일 때, 개체 수가 $81 A_0$ 이상이 되는 것은 최소 몇 시간 후인지 구하시오. (10점)

원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 2,\ \overline{BC} = 4,\ \overline{CD} = 3,\ \overline{DA} = 3$일 때, 대각선 $AC$의 길이의 제곱 $\overline{AC}^2$을 기약분수로 구하시오. (10점)

수열 $\{\delta_n\}$이 $\delta_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $\delta_{n+1} = 2\delta_n + 3$을 만족시킬 때, $\delta_6$의 값을 구하시오. (10점)

양의 상수 $a, b, c$에 대하여 함수 $f(x) = a\sin bx + c$ ($0 \le x \le 2\pi/b$)의 최댓점 $A(\alpha, 15)$와 최솟점 $B(\beta, m)$ ($m \lt 0$)을 지나는 직선을 $y=g(x)$라 하자. $\beta - \alpha = 6\pi$이고 $f(\pi) = 10$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (10점)

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $H(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{H(x)}{x - 1} = -2$, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{H(x)}{x - 2} = 3$을 만족시킬 때, $H(4)$의 값을 구하시오. (10점)

포물선 $y = x^2 - 2x + 5$ 위의 점 $P(a, b)$와 직선 $y = 2x - 1$ 사이의 거리가 최소일 때, $a + b$의 값을 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 곡선 $y = x^4 - 6x^2 + k$가 포물선 $y = 8x - 3x^2$보다 항상 위쪽에 있도록 하는 정수 $k$의 최솟값을 구하시오. (10점)

상수 $a \gt 1$과 $t \gt 1$에 대하여 두 로그함수 $y = \log_a x + 5$, $y = \log_{1/a} x + 3$의 그래프의 교점을 $A$, 직선 $x = t$와의 교점을 $B, C$라 하자. 점 $B, C$의 $y$좌표가 모두 정수이고 $\overline{AB} = \dfrac{26}{5}$, 삼각형 $ABC$의 넓이가 $\dfrac{48}{5}$일 때, $a$와 $t$를 구하시오. (10점)

포물선 $y = x^2 + 2$ 위의 점 $(3, 11)$에서의 접선과 이 포물선 및 $y$축($x = 0$)으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

방정식 $3\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+6\sin x+a=2$가 실근을 갖도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M-m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{53}{50}$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}$$을 만족시킨다. $a_{2500} = \dfrac{q}{p}$일 때, $\sqrt{p}+q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=ax^3$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서의 접선이 점 $(4, 6)$을 지날 때, 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

$a = \log_8 9,\ b = \log_{27} 25$일 때, $$\log_5 10 = 1 + \dfrac{1}{pab}, \quad \log_6 10 = \dfrac{1+pab}{1+qa}$$를 만족시키는 유리수 $p, q$에 대하여 $4p + 2q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$이 두 곡선 $y = \log_2(x-1)$, $y = \log_4(5-x)$와 만나는 점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(3, -n-1)$에 대하여 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $128 S_3$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_1^x f(t)\,dt = x^4 + ax^3 + x^2\int_0^2 t f'(t)\,dt - 11x$$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값의 합 $a + f(2)$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(x)-2x} = \dfrac{1}{2}$일 때, $$\lim_{x \to 0} \dfrac{12x f(x) + 3\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 - 5x f(x) - 4x^2}$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $k$에 대하여 정의역이 $\{x \mid x \gt 0\}$인 두 함수 $f(x) = \log_2(x + 2^k)$, $g(x) = \log_2(3x)$가 있다. 함수 $h(x)$를 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) \le g(x)) \\ g(x) & (f(x) \gt g(x)) \end{cases}$$라 할 때, 방정식 $h(x) = k + 1$의 실근을 $a_k$라 하자. $\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

이차함수 $f(x) = x^2 + ax + b$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $a, b$에 대하여 $f(a+b)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

방정식 $3\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+6\sin x+a=2$가 실근을 갖도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M-m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{53}{50}$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}$$을 만족시킨다. $a_{2500} = \dfrac{q}{p}$일 때, $\sqrt{p}+q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=ax^3$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서의 접선이 점 $(4, 6)$을 지날 때, 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

$a = \log_8 9,\ b = \log_{27} 25$일 때, $$\log_5 10 = 1 + \dfrac{1}{pab}, \quad \log_6 10 = \dfrac{1+pab}{1+qa}$$를 만족시키는 유리수 $p, q$에 대하여 $4p + 2q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$이 두 곡선 $y = \log_2(x-1)$, $y = \log_4(5-x)$와 만나는 점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(3, -n-1)$에 대하여 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $128 S_3$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_1^x f(t)\,dt = x^4 + ax^3 + x^2\int_0^2 t f'(t)\,dt - 11x$$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값의 합 $a + f(2)$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(x)-2x} = \dfrac{1}{2}$일 때, $$\lim_{x \to 0} \dfrac{12x f(x) + 3\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 - 5x f(x) - 4x^2}$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $k$에 대하여 정의역이 $\{x \mid x \gt 0\}$인 두 함수 $f(x) = \log_2(x + 2^k)$, $g(x) = \log_2(3x)$가 있다. 함수 $h(x)$를 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) \le g(x)) \\ g(x) & (f(x) \gt g(x)) \end{cases}$$라 할 때, 방정식 $h(x) = k + 1$의 실근을 $a_k$라 하자. $\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

이차함수 $f(x) = x^2 + ax + b$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $a, b$에 대하여 $f(a+b)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 양의 실수 $u, v$가 $\sqrt[3]{u^4} = 27$, $\sqrt[4]{v^5} = 32$를 만족시킬 때, 지수식 $\left(\dfrac{u^{2/3}}{v^{1/2}}\right)^2 \cdot v^{7/4}$의 값을 계산하는 과정과 답을 기술하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 6$, $\overline{AC} = 10$이고 $\cos A = \dfrac{3}{5}$이다. 변 $BC$의 길이 $l$과 삼각형 $ABC$의 외접원의 넓이 $W$를 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

양의 상수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{2}x$와 그 역함수 $g(x)$의 그래프가 그림과 같다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서 그은 접선이 $y$축과 점 $(0, -3)$에서 만날 때, 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S$라 하자. $2S$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $5$인 등차수열 $\{u_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $T_n$이라 하자. $T_9 - T_6 = 99$일 때, 공차 $d$와 제$15$항 $u_{15}$를 차례대로 구하시오. (10점)

자연수 $n$마다 수평선 $y = n$이 두 로그곡선 $y = \log_{1/2}(x-2)$, $y = \log_{1/4}(6-x)$와 만나는 교점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 꼭짓점 $R_n(4, n+2)$를 연결한 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$이 $a_n + b_n = 4 - \dfrac{1}{3\cdot 2^n}$을 만족시킬 때, 첫째항부터 제$3$항까지의 합 $S_3$에 대하여 $192 S_3$를 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $P(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x - 2)P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$를 만족시킨다. 상수 $k$와 $P(2)$의 곱 $k \cdot P(2)$를 구하시오. (10점)

삼차함수 $H(x) = x^3 - 3mx^2 + 9mx - 7$이 극값을 갖지 않도록 하는 모든 정수 $m$의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (10점)

다항함수 $Q(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_3^x Q(t)\,dt = x^3 - cx^2 + 5x - 6$을 만족시킬 때, 상수 $c$와 $Q(c)$의 값을 각각 구하시오. (10점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 질점 $M$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 5$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 시각 $t = 0$부터 $t = 5$까지 질점 $M$이 실제로 움직인 거리 $L$을 구하시오. (10점)

두 양의 실수 $u, v$가 $\sqrt[3]{u^4} = 27$, $\sqrt[4]{v^5} = 32$를 만족시킬 때, 지수식 $\left(\dfrac{u^{2/3}}{v^{1/2}}\right)^2 \cdot v^{7/4}$의 값을 계산하는 과정과 답을 기술하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 6$, $\overline{AC} = 10$이고 $\cos A = \dfrac{3}{5}$이다. 변 $BC$의 길이 $l$과 삼각형 $ABC$의 외접원의 넓이 $W$를 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

양의 상수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{2}x$와 그 역함수 $g(x)$의 그래프가 그림과 같다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서 그은 접선이 $y$축과 점 $(0, -3)$에서 만날 때, 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S$라 하자. $2S$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $5$인 등차수열 $\{u_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $T_n$이라 하자. $T_9 - T_6 = 99$일 때, 공차 $d$와 제$15$항 $u_{15}$를 차례대로 구하시오. (10점)

자연수 $n$마다 수평선 $y = n$이 두 로그곡선 $y = \log_{1/2}(x-2)$, $y = \log_{1/4}(6-x)$와 만나는 교점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 꼭짓점 $R_n(4, n+2)$를 연결한 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$이 $a_n + b_n = 4 - \dfrac{1}{3\cdot 2^n}$을 만족시킬 때, 첫째항부터 제$3$항까지의 합 $S_3$에 대하여 $192 S_3$를 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $P(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x - 2)P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$를 만족시킨다. 상수 $k$와 $P(2)$의 곱 $k \cdot P(2)$를 구하시오. (10점)

삼차함수 $H(x) = x^3 - 3mx^2 + 9mx - 7$이 극값을 갖지 않도록 하는 모든 정수 $m$의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (10점)

다항함수 $Q(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_3^x Q(t)\,dt = x^3 - cx^2 + 5x - 6$을 만족시킬 때, 상수 $c$와 $Q(c)$의 값을 각각 구하시오. (10점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 질점 $M$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 5$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 시각 $t = 0$부터 $t = 5$까지 질점 $M$이 실제로 움직인 거리 $L$을 구하시오. (10점)

부등식 $9^x - 12\cdot 3^x + 27 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$에 대하여 함수 $W(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 15$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (10점)

둘레의 길이가 $28$인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)에 대하여 $r + l + \theta$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x) = ax^3$과 그 역함수 곡선 $y = g(x)$를 좌표평면에 나타내었다. 점 $(2, f(2))$에서 곡선 $y=f(x)$에 접하는 직선이 점 $(3, 5)$를 지날 때, 원점 대칭인 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$가 둘러싸는 도형의 전체 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

합 $K = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)}$의 값을 기약분수 $\dfrac{q}{p}$로 나타낼 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$과 두 곡선 $y = \log_3(x-1)$, $y = \log_9(7-x)$의 교점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하자. 점 $R_n(4, -n-2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 첫 두 항의 합에 $81$을 곱한 $81(a_1 + a_2)$의 값을 구하시오. (10점)

극한 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{3x + 1} - \alpha}{x - 5} = \beta$가 성립하도록 하는 두 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 $8\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

다항식 $x^8 - px^2 + q$를 $(x - 1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $6x - 5$일 때, 두 상수 $p, q$에 대하여 $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[0, 3]$에서 삼차함수 $V(x) = x^3 - 3x^2 + c$의 최댓값이 $11$일 때, 같은 구간에서 함수 $V(x)$의 최솟값을 구하시오. (단, $c$는 상수이다.) (10점)

정적분 $J = \displaystyle\int_{-3}^3 (5x^7 - 2x^5 + x^2 - 9x + 4)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

부등식 $9^x - 12\cdot 3^x + 27 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$에 대하여 함수 $W(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 15$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (10점)

둘레의 길이가 $28$인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)에 대하여 $r + l + \theta$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x) = ax^3$과 그 역함수 곡선 $y = g(x)$를 좌표평면에 나타내었다. 점 $(2, f(2))$에서 곡선 $y=f(x)$에 접하는 직선이 점 $(3, 5)$를 지날 때, 원점 대칭인 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$가 둘러싸는 도형의 전체 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

합 $K = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)}$의 값을 기약분수 $\dfrac{q}{p}$로 나타낼 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$과 두 곡선 $y = \log_3(x-1)$, $y = \log_9(7-x)$의 교점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하자. 점 $R_n(4, -n-2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 첫 두 항의 합에 $81$을 곱한 $81(a_1 + a_2)$의 값을 구하시오. (10점)

극한 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{3x + 1} - \alpha}{x - 5} = \beta$가 성립하도록 하는 두 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 $8\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

다항식 $x^8 - px^2 + q$를 $(x - 1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $6x - 5$일 때, 두 상수 $p, q$에 대하여 $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[0, 3]$에서 삼차함수 $V(x) = x^3 - 3x^2 + c$의 최댓값이 $11$일 때, 같은 구간에서 함수 $V(x)$의 최솟값을 구하시오. (단, $c$는 상수이다.) (10점)

정적분 $J = \displaystyle\int_{-3}^3 (5x^7 - 2x^5 + x^2 - 9x + 4)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 양의 실수 $\alpha, \beta$가 $6^\alpha = 7^\beta = 42$를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

반지름의 길이가 $8$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{15}{8}$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 단조증가하는 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{3}x$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 $y$절편이 $-\dfrac{8}{3}$일 때, 그림과 같이 두 그래프 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 둘러싸는 영역의 넓이 $S$에 대하여 $3S$를 구하시오. (10점)

수열 $\{w_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 3n^2 - 2n + 4$일 때, $w_1 + w_7$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 수평선 $y = -n$이 두 로그함수 $y = \log_2(x-2)$ 및 $y = \log_4(8-x)$의 그래프와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(5, -n-2)$와 이루는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^4 (6 - a_n) = \dfrac{q}{p}$일 때 서로소인 두 자연수의 합 $p+q$를 구하시오. (10점)

이차함수 $M(x) = 2x^2 - 5x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x^3 + \lambda \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $\lambda$의 최솟값을 구하시오. (10점)

연속함수 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) = 3x^2 - 4x + \displaystyle\int_0^2 F(t)\,dt$를 만족시킬 때, $F(3)$의 값을 구하시오. (10점)

이차곡선 $y = x^2 - 5x + 6$과 직선 $y = x + 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

두 양의 실수 $\alpha, \beta$가 $6^\alpha = 7^\beta = 42$를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

반지름의 길이가 $8$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{15}{8}$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 단조증가하는 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{3}x$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 $y$절편이 $-\dfrac{8}{3}$일 때, 그림과 같이 두 그래프 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 둘러싸는 영역의 넓이 $S$에 대하여 $3S$를 구하시오. (10점)

수열 $\{w_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 3n^2 - 2n + 4$일 때, $w_1 + w_7$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 수평선 $y = -n$이 두 로그함수 $y = \log_2(x-2)$ 및 $y = \log_4(8-x)$의 그래프와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(5, -n-2)$와 이루는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^4 (6 - a_n) = \dfrac{q}{p}$일 때 서로소인 두 자연수의 합 $p+q$를 구하시오. (10점)

이차함수 $M(x) = 2x^2 - 5x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x^3 + \lambda \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $\lambda$의 최솟값을 구하시오. (10점)

연속함수 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) = 3x^2 - 4x + \displaystyle\int_0^2 F(t)\,dt$를 만족시킬 때, $F(3)$의 값을 구하시오. (10점)

이차곡선 $y = x^2 - 5x + 6$과 직선 $y = x + 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

실수 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하시오. (10점)

음이 아닌 실수 $x \ge 0$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3$ ($a \gt 0$)과 역함수 $g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 도형이 그림과 같다. 곡선 위의 점 $(4, f(4))$에서의 접선이 점 $(2, -2)$를 지날 때, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

모든 항이 양수인 등비수열 $\{z_n\}$이 $z_2 = 6$, $z_4 + z_5 = 72$를 만족시킬 때, 제$6$항 $z_6$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 대칭인 두 곡선 $y = \log_{1/2}(x-1)$, $y = \log_{1/2}(9-x)$와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하자. 고정점 $R_n(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 $b_n = 4n - a_n$이라 할 때, $16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n$을 구하시오. (10점)

다항함수 $B(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{B(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{B(x)}{x - 1} = 6$을 만족시킬 때, $B(2)$의 값을 구하시오. (10점)

삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)

삼차함수 $U(x)$의 도함수 $U'(x)$가 $U'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $U(0) = 2$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^3 U(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x^3 - 2x$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선과 이 삼차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

실수 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하시오. (10점)

음이 아닌 실수 $x \ge 0$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3$ ($a \gt 0$)과 역함수 $g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 도형이 그림과 같다. 곡선 위의 점 $(4, f(4))$에서의 접선이 점 $(2, -2)$를 지날 때, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

모든 항이 양수인 등비수열 $\{z_n\}$이 $z_2 = 6$, $z_4 + z_5 = 72$를 만족시킬 때, 제$6$항 $z_6$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 대칭인 두 곡선 $y = \log_{1/2}(x-1)$, $y = \log_{1/2}(9-x)$와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하자. 고정점 $R_n(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 $b_n = 4n - a_n$이라 할 때, $16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n$을 구하시오. (10점)

다항함수 $B(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{B(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{B(x)}{x - 1} = 6$을 만족시킬 때, $B(2)$의 값을 구하시오. (10점)

삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)

삼차함수 $U(x)$의 도함수 $U'(x)$가 $U'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $U(0) = 2$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^3 U(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x^3 - 2x$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선과 이 삼차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)