두 양의 실수 $\alpha, \beta$가 $6^\alpha = 7^\beta = 42$를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

반지름의 길이가 $8$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{15}{8}$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 단조증가하는 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{3}x$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 $y$절편이 $-\dfrac{8}{3}$일 때, 그림과 같이 두 그래프 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 둘러싸는 영역의 넓이 $S$에 대하여 $3S$를 구하시오. (10점)

수열 $\{w_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 3n^2 - 2n + 4$일 때, $w_1 + w_7$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 수평선 $y = -n$이 두 로그함수 $y = \log_2(x-2)$ 및 $y = \log_4(8-x)$의 그래프와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(5, -n-2)$와 이루는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^4 (6 - a_n) = \dfrac{q}{p}$일 때 서로소인 두 자연수의 합 $p+q$를 구하시오. (10점)

이차함수 $M(x) = 2x^2 - 5x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x^3 + \lambda \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $\lambda$의 최솟값을 구하시오. (10점)

연속함수 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) = 3x^2 - 4x + \displaystyle\int_0^2 F(t)\,dt$를 만족시킬 때, $F(3)$의 값을 구하시오. (10점)

이차곡선 $y = x^2 - 5x + 6$과 직선 $y = x + 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)