[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 유제 13 변형 | 성취기준: [12대수01-04], [12대수01-05]]
전자반도체 3회 #7 · $\log_2(1 + 1/k)$의 진수 분수 통분과 연쇄 약분 · [문항 7] Ⅰ. 지수와 로그 — 로그의 진수 곱셈 소거 급수
[3회 #7] (10점)
합 $L = \displaystyle\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #7 · $\log_2(1 + 1/k)$의 진수 분수 통분과 연쇄 약분]
$1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$로 통분한 뒤 로그의 덧셈을 진수의 곱셈으로 합칩니다.
[Step 1 · 3점] [문항 7] Ⅰ. 지수와 로그 — 로그의 진수 곱셈 소거 급수
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #7 · $\log_2(1 + 1/k)$의 진수 분수 통분과 연쇄 약분
[Step 3 · 3점] $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$로 통분한 뒤 로그의 덧셈을 진수의 곱셈으로 합칩니다.
Ans:
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 유제 13 변형 | 성취기준: [12대수02-02]]
전자반도체 3회 #8 · $\cos^2 x$를 $1-\sin^2 x$로 변환한 삼각방정식과 대칭성 · [문항 8] Ⅱ. 삼각함수 — 삼각방정식의 모든 실근의 합
[3회 #8] (10점)
$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합을 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #8 · $\cos^2 x$를 $1-\sin^2 x$로 변환한 삼각방정식과 대칭성]
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 $\sin x$에 대한 이차방정식으로 인수분해합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 8] Ⅱ. 삼각함수 — 삼각방정식의 모든 실근의 합
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #8 · $\cos^2 x$를 $1-\sin^2 x$로 변환한 삼각방정식과 대칭성
[Step 3 · 3점] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 $\sin x$에 대한 이차방정식으로 인수분해합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 13 변형 | 성취기준: [12대수03-02], [12대수03-03]]
전자반도체 3회 #9 · $S_4 / S_2 = 1 + r^2$ 인수분해를 이용한 등비수열 추론 · [문항 9] Ⅲ. 수열 — 공비가 음수인 등비수열의 부분합과 항 결정
[3회 #9] (10점)
공비가 음수인 등비수열 $\{e_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_2 = -3$, $S_4 = -15$일 때, $e_5$의 값을 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #9 · $S_4 / S_2 = 1 + r^2$ 인수분해를 이용한 등비수열 추론]
$S_4 = S_2(1 + r^2)$ 관계를 이용하면 공비 $r \lt 0$을 빠르게 구할 수 있습니다.
[Step 1 · 3점] [문항 9] Ⅲ. 수열 — 공비가 음수인 등비수열의 부분합과 항 결정
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #9 · $S_4 / S_2 = 1 + r^2$ 인수분해를 이용한 등비수열 추론
[Step 3 · 3점] $S_4 = S_2(1 + r^2)$ 관계를 이용하면 공비 $r \lt 0$을 빠르게 구할 수 있습니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 13 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-03], [12미적Ⅰ-01-04]]
전자반도체 3회 #10 · 불연속 점에서 $\{h(x)\}^2$이 연속이 되기 위한 좌·우극한 절댓값 일치 · [문항 10] Ⅰ. 함수의 연속 — 제곱된 조각함수의 연속 조건
[3회 #10] (10점)
함수 $h(x) = \begin{cases} 2x + a & (x \lt 1) \\ x^2 - 4x + a & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 함수 $\{h(x)\}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #10 · 불연속 점에서 $\{h(x)\}^2$이 연속이 되기 위한 좌·우극한 절댓값 일치]
$x=1$에서 $\{h(x)\}^2$의 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 $(2+a)^2 = (-3+a)^2$을 풉니다.
[Step 1 · 3점] [문항 10] Ⅰ. 함수의 연속 — 제곱된 조각함수의 연속 조건
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #10 · 불연속 점에서 $\{h(x)\}^2$이 연속이 되기 위한 좌·우극한 절댓값 일치
[Step 3 · 3점] $x=1$에서 $\{h(x)\}^2$의 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 $(2+a)^2 = (-3+a)^2$을 풉니다.
Ans:
[출처: 대수 Ⅱ-1. 탄젠트함수의 주기와 그래프 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.23–24 유제 13 · 예제 3, 문제 7, 문제 8 변형 | 성취기준: [12대수02-02]]
자연E형 제3회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 · [문항 11] 삼각함수의 주기와 그래프
[3회 #11] (10점)
구간 $-\dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2}$에서 점 $\left(\dfrac{1}{6}, 0\right)$을 지나는 양의 기울기 직선이 주기함수 $y = \tan 3\pi x$의 그래프와 만나는 두 점의 $x$좌표를 $a, b$ ($a \lt b$)라 하자. $a + 2b = \dfrac{3}{4}$일 때, $\cos\{(2a + b)\pi\}$의 값을 구하시오. (10점)
[그림] 문항 11번 함수·도형 개형
[자연E형 제3회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입]
주기 $1/3$인 탄젠트 그래프의 대칭 중심 $(1/6, 0)$ 성질로부터 $a+b=1/3$을 얻고 $a+2b=3/4$과 연립합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 11] 삼각함수의 주기와 그래프
[Step 2 · 4점] 자연E형 제3회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입
[Step 3 · 3점] 주기 $1/3$인 탄젠트 그래프의 대칭 중심 $(1/6, 0)$ 성질로부터 $a+b=1/3$을 얻고 $a+2b=3/4$과 연립합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 13 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-01], [12미적Ⅰ-02-03], [12미적Ⅰ-02-04]]
전자반도체 3회 #12 · $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}{h} = (p-q)f'(a)$ 구조 · [문항 12] Ⅱ. 미분계수와 도함수 — 미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산
[3회 #12] (10점)
다항함수 $\eta(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\eta(2 + 3h) - \eta(2 - 2h)}{h}$를 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #12 · $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}{h} = (p-q)f'(a)$ 구조]
분자에 $-\eta(2) + \eta(2)$를 더하고 빼서 미분계수의 정의 $5\eta'(2)$로 바꿉니다.
[Step 1 · 3점] [문항 12] Ⅱ. 미분계수와 도함수 — 미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #12 · $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}{h} = (p-q)f'(a)$ 구조
[Step 3 · 3점] 분자에 $-\eta(2) + \eta(2)$를 더하고 빼서 미분계수의 정의 $5\eta'(2)$로 바꿉니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 13 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08]]
전자반도체 3회 #13 · 정사각형 판의 네 귀퉁이를 잘라 만든 상자의 부피 최대화 · [문항 13] Ⅱ. 도함수의 활용 — 직육면체 부피의 최댓값
[3회 #13] (10점)
한 변의 길이가 $12$인 정사각형 모양의 금속판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피의 최댓값을 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #13 · 정사각형 판의 네 귀퉁이를 잘라 만든 상자의 부피 최대화]
밑면은 한 변의 길이가 $12-2x$인 정사각형이고 높이는 $x$ ($0\lt x\lt 6$)이므로 $V(x)=x(12-2x)^2$을 미분합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 13] Ⅱ. 도함수의 활용 — 직육면체 부피의 최댓값
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #13 · 정사각형 판의 네 귀퉁이를 잘라 만든 상자의 부피 최대화
[Step 3 · 3점] 밑면은 한 변의 길이가 $12-2x$인 정사각형이고 높이는 $x$ ($0\lt x\lt 6$)이므로 $V(x)=x(12-2x)^2$을 미분합니다.
Ans:
[출처: 대수 Ⅰ-2. 로그함수의 그래프와 활용 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 유제 13 · 예제 1, 문제 3 / (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 유제 13 · 문제 3, 문제 4 변형 | 성취기준: [12대수01-07], [12대수01-08]]
자연E형 제3회 #14 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 · [문항 14] 지수함수와 로그함수의 활용, 삼각형의 넓이
[3회 #14] (10점)
좌표평면 위의 점 $A(-2, 0)$과 곡선 $f(x) = \log_2(x + 4)$가 $y$축과 만나는 점 $B$에 대하여, $x$좌표가 $2^n - 4$ ($n \ge 2$)인 곡선 위의 점을 $P$라 하자. 원점 $O$에 대한 두 삼각형 $PBO, PAO$의 넓이의 차 $S_n$이 $S_n \gt 1000$을 만족시키는 최소 자연수 $n$을 구하시오. (10점)
[그림] 문항 14번 함수·도형 개형
[자연E형 제3회 #14 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입]
$P(2^n-4, n)$과 $B(0, 2)$에서 $\triangle PBO = 2^n - 4, \triangle PAO = n$을 구해 $2^n - n - 4 \gt 1000$에 거듭제곱을 대입합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 14] 지수함수와 로그함수의 활용, 삼각형의 넓이
[Step 2 · 4점] 자연E형 제3회 #14 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입
[Step 3 · 3점] $P(2^n-4, n)$과 $B(0, 2)$에서 $\triangle PBO = 2^n - 4, \triangle PAO = n$을 구해 $2^n - n - 4 \gt 1000$에 거듭제곱을 대입합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 13 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅰ-03-06]]
전자반도체 3회 #15 · 원점 대칭 삼차함수와 원점을 지나는 직선 사이의 넓이 · [문항 15] Ⅲ. 정적분의 활용 — 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 두 부분의 넓이 합
[3회 #15] (10점)
삼차곡선 $y = x^3 - 3x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 구하시오. (10점)
[전자반도체 3회 #15 · 원점 대칭 삼차함수와 원점을 지나는 직선 사이의 넓이]
교점 $x = -2, 0, 2$를 구하고 기함수 대칭성을 이용해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx$로 계산합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 15] Ⅲ. 정적분의 활용 — 삼차곡선과 직선으로 둘러싸인 두 부분의 넓이 합
[Step 2 · 4점] 전자반도체 3회 #15 · 원점 대칭 삼차함수와 원점을 지나는 직선 사이의 넓이
[Step 3 · 3점] 교점 $x = -2, 0, 2$를 구하고 기함수 대칭성을 이용해 $S = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx$로 계산합니다.
Ans: