$0 \le x \lt \dfrac{\pi}{2}$일 때, 방정식 $$\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x - 6\cos^2 x = 0$$의 실근을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $$S_{n+1} = 2S_n + 5$$를 만족시킬 때, $\log_4 \dfrac{a_7}{2}$의 값과 $S_8$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $f(x) = x^2 - 4x + k$에 대하여 함수 $$y = \dfrac{2x - 1}{\{f(x)\}^2 - 2x f(x) + 3f(x)}$$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

실수 $t\ (0 \le t \le 2)$에 대하여 점 $(t, \sqrt{8 - t^3})$과 원점 사이의 거리의 제곱을 $f(t)$라 하자. 닫힌구간 $[0, 2]$에서 함수 $f(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

$-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2}$에서 기울기가 양수이고 점 $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$을 지나는 직선과 함수 $y = \tan \pi x$의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $a, b\ (a \lt b)$라 하자. $2a + b = \dfrac{2}{3}$일 때, $\cos\dfrac{(a + 2b)\pi}{2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, 직선의 기울기는 $\pi$보다 작다.) (10점)

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x) - f'(0) + 4x - 6 \le \frac{f(2x) - f(0)}{2x} \le x^4 + 6x^2 - 2$$를 만족시킬 때, $f'(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{3}$
(나) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left\{\left(x - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\}$가 존재한다.
(다) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \left\{\left(x - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\} = -1$
$\displaystyle\int_{0}^{3} |f(x)|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

점 $A$의 좌표를 $(-3, 0)$이라 하고, 함수 $f(x) = \log_3 (x + 3)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $B$라 하자. $2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 $x$좌표가 $3^n$인 점을 $P$라 하고 두 삼각형 $PBO$, $PBA$의 넓이의 차를 $S_n$이라 할 때, $S_n \gt 30$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $O$는 원점이다.) (10점)

실수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = (x - 1)(x - a)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. $x$에 대한 방정식 $F(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$일 때, $F(0)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $1 \lt a \le 4$) (10점)