${}0 \le x \lt \dfrac{\pi}{2}$일 때, 방정식 $${}\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x - 6\cos^2 x = 0$$의 실근을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

수열 ${}\{a_n\}$의 첫째항부터 제${}n$항까지의 합을 ${}S_n$이라 하자. ${}S_1 = 3$이고 모든 자연수 ${}n$에 대하여 $${}S_{n+1} = 2S_n + 5$$를 만족시킬 때, ${}\log_4 \dfrac{a_7}{2}$의 값과 ${}S_8$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 ${}f(x) = x^2 - 4x + k$에 대하여 함수 $${}y = \dfrac{2x - 1}{\{f(x)\}^2 - 2x f(x) + 3f(x)}$$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 ${}k$의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

실수 ${}t\ (0 \le t \le 2)$에 대하여 점 ${}(t, \sqrt{8 - t^3})$과 원점 사이의 거리의 제곱을 ${}f(t)$라 하자. 닫힌구간 ${}[0, 2]$에서 함수 ${}f(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 ${}M, m$이라 할 때, ${}M \times m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

${}-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2}$에서 기울기가 양수이고 점 ${}\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$을 지나는 직선과 함수 ${}y = \tan \pi x$의 그래프가 만나는 두 점의 ${}x$좌표를 각각 ${}a, b\ (a \lt b)$라 하자. ${}2a + b = \dfrac{2}{3}$일 때, ${}\cos\dfrac{(a + 2b)\pi}{2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, 직선의 기울기는 ${}\pi$보다 작다.) (10점)

최고차항의 계수가 ${}1$인 삼차함수 ${}f(x)$가 ${}0$이 아닌 모든 실수 ${}x$에 대하여 $${}f'(x) - f'(0) + 4x - 6 \le \frac{f(2x) - f(0)}{2x} \le x^4 + 6x^2 - 2$$를 만족시킬 때, ${}f'(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

최고차항의 계수가 ${}1$인 다항함수 ${}f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ${}\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{3}$
(나) ${}\displaystyle\lim_{x \to 0} \left\{\left(x - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\}$가 존재한다.
(다) ${}\displaystyle\lim_{x \to 1} \left\{\left(x - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\} = -1$
${}\displaystyle\int_{0}^{3} |f(x)|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

점 ${}A$의 좌표를 ${}(-3, 0)$이라 하고, 함수 ${}f(x) = \log_3 (x + 3)$의 그래프가 ${}y$축과 만나는 점을 ${}B$라 하자. ${}2$ 이상인 자연수 ${}n$에 대하여 곡선 ${}y = f(x)$ 위의 ${}x$좌표가 ${}3^n$인 점을 ${}P$라 하고 두 삼각형 ${}PBO$, ${}PBA$의 넓이의 차를 ${}S_n$이라 할 때, ${}S_n \gt 30$을 만족시키는 자연수 ${}n$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, ${}O$는 원점이다.) (10점)

실수 ${}a$에 대하여 함수 ${}f(x) = (x - 1)(x - a)$의 한 부정적분을 ${}F(x)$라 하자. ${}x$에 대한 방정식 ${}F(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 ${}2$일 때, ${}F(0)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, ${}1 \lt a \le 4$) (10점)

두 양수 ${}p, q$가 ${}\sqrt[5]{p^3} = 125$, ${}\sqrt[3]{q^2} = 81$을 만족시킬 때, ${}\log_5 p + \log_3 q$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 ${}[1, 6]$에서 함수 ${}\Lambda(x) = \log_3(x^2 - 6x + 18)$의 최댓값을 ${}M$, 최솟값을 ${}m$이라 할 때, ${}3^M + 3^m$의 값을 구하시오. (10점)

공차가 양수인 등차수열 ${}\{\alpha_n\}$에서 ${}\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 15$이고, 세 항 ${}\alpha_1, \alpha_2 + 1, \alpha_3 + 5$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, ${}\alpha_{10}$의 값을 구하시오. (10점)

최고차항의 계수가 ${}1$인 삼차함수 ${}\Omega(x)$가 ${}\Omega(0) = 0$, ${}\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\Omega(x)}{x - 2} = 10$을 만족시킬 때, ${}\Omega(3)$의 값을 구하시오. (10점)

열린구간 ${}\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$에서 대칭 중심 ${}\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$을 지나고 기울기가 양수(${}\lt \pi$)인 직선이 곡선 ${}y = \tan\pi x$와 만나는 두 교점을 ${}A(a, \tan a\pi),\ B(b, \tan b\pi)$ (${}a \lt b$)라 하자. 두 교점의 ${}x$좌표 차가 ${}b - a = \dfrac{4}{3}$일 때, 원점 ${}O$에 대한 삼각형 ${}OAB$의 넓이를 구하시오. (10점)

점 ${}(2, -1)$에서 포물선 ${}y = x^2 - 2x + 3$에 그은 두 접선의 기울기를 각각 ${}m_1, m_2$라 할 때, ${}m_1 + m_2$와 ${}m_1 m_2$의 값을 각각 구하시오. (10점)

양수 ${}a$에 대하여 사차함수 ${}D(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2$이 극댓값을 갖지 않도록 하는 실수 ${}a$의 최솟값을 구하시오. (10점)

고정점 ${}A(-4, 0)$과 로그함수 ${}f(x) = \log_2(x + 4)$의 ${}y$절편 ${}B$가 있다. ${}2$ 이상인 자연수 ${}n$에 대하여 곡선 ${}y=f(x)$ 위의 점 ${}P(4^n, f(4^n))$가 이루는 두 삼각형 ${}PBO, PBA$의 넓이의 차를 ${}S_n$이라 할 때, 부등식 ${}S_n \gt 2026$을 만족시키는 자연수 ${}n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

두 다항함수 ${}f(x), g(x)$가 모든 실수 ${}x$에 대하여 ${}\dfrac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = 4x + 2$, ${}\dfrac{d}{dx}\{f(x) - g(x)\} = 6x^2 - 2$를 만족시키고 ${}f(0) = 1,\ g(0) = 3$일 때, ${}f(2) + g(1)$의 값을 구하시오. (10점)

합 ${}L = \displaystyle\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

${}0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 ${}2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합을 구하시오. (10점)

공비가 음수인 등비수열 ${}\{e_n\}$의 첫째항부터 제${}n$항까지의 합을 ${}S_n$이라 하자. ${}S_2 = -3$, ${}S_4 = -15$일 때, ${}e_5$의 값을 구하시오. (10점)

함수 ${}h(x) = \begin{cases} 2x + a & (x \lt 1) \\ x^2 - 4x + a & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 함수 ${}\{h(x)\}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 ${}a$의 값을 구하시오. (10점)

구간 ${}-\dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2}$에서 점 ${}\left(\dfrac{1}{6}, 0\right)$을 지나는 양의 기울기 직선이 주기함수 ${}y = \tan 3\pi x$의 그래프와 만나는 두 점의 ${}x$좌표를 ${}a, b$ (${}a \lt b$)라 하자. ${}a + 2b = \dfrac{3}{4}$일 때, ${}\cos\{(2a + b)\pi\}$의 값을 구하시오. (10점)

다항함수 ${}\eta(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$에 대하여 극한값 ${}\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\eta(2 + 3h) - \eta(2 - 2h)}{h}$를 구하시오. (10점)

한 변의 길이가 ${}12$인 정사각형 모양의 금속판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 ${}x$인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피의 최댓값을 구하시오. (10점)

좌표평면 위의 점 ${}A(-2, 0)$과 곡선 ${}f(x) = \log_2(x + 4)$가 ${}y$축과 만나는 점 ${}B$에 대하여, ${}x$좌표가 ${}2^n - 4$ (${}n \ge 2$)인 곡선 위의 점을 ${}P$라 하자. 원점 ${}O$에 대한 두 삼각형 ${}PBO, PAO$의 넓이의 차 ${}S_n$이 ${}S_n \gt 1000$을 만족시키는 최소 자연수 ${}n$을 구하시오. (10점)

삼차곡선 ${}y = x^3 - 3x$와 직선 ${}y = x$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 ${}S$를 구하시오. (10점)

방정식 ${}25^x - 30\cdot 5^x + 125 = 0$의 두 실근을 ${}\alpha, \beta$라 할 때, ${}\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (10점)

${}\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 ${}\theta$에 대하여 ${}\tan\theta = -\dfrac{4}{3}$일 때, ${}5(\sin\theta - \cos\theta)$의 값을 구하시오. (10점)

수열 ${}\{\gamma_n\}$이 ${}\gamma_1 = 2$이고 모든 자연수 ${}n$에 대하여 ${}\gamma_{n+1} = \dfrac{\gamma_n - 1}{\gamma_n + 1}$을 만족시킬 때, ${}\gamma_{50}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

함수 ${}\xi(x)$가 모든 실수 ${}x$에 대하여 ${}6x^2 - 2x + 1 \le (x^2 + 1)\xi(x) \le 6x^2 + 4x + 5$를 만족시킬 때, ${}\displaystyle\lim_{x \to \infty} \xi(x)$의 값을 구하시오. (10점)

구간 ${}-\dfrac{1}{4} \lt x \lt \dfrac{3}{4}$에서 점 ${}C\left(\dfrac{1}{4}, 0\right)$을 지나는 양의 기울기 직선 ${}l$이 곡선 ${}y = \sqrt{3}\tan 2\pi x$와 만나는 두 교점을 ${}A, B$라 하자. 점 ${}D\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$에 대하여 삼각형 ${}ABD$의 넓이가 ${}\dfrac{3}{4}$일 때, 직선 ${}l$의 기울기를 구하시오. (10점)

함수 ${}E(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5$에 대하여 닫힌구간 ${}[0, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 ${}c$의 합을 기약분수로 구하시오. (10점)

삼차방정식 ${}2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 ${}k$의 개수를 구하시오. (10점)

점 ${}A(-2, 0)$과 로그곡선 ${}f(x) = \log_2(x + 2)$의 ${}y$절편 ${}B$가 주어져 있다. ${}2$ 이상인 자연수 ${}n$에 대하여 곡선 위의 점 ${}P(2^n - 2, n)$과 점 ${}A, B$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ${}PBA$의 넓이 ${}S_n$이 ${}2000$보다 커지도록 하는 자연수 ${}n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 ${}P, Q$의 시각 ${}t$ (${}t \ge 0$)에서의 속도가 각각 ${}v_1(t) = 3t^2 - 2t$, ${}v_2(t) = 4t + 4$이다. 출발 후 두 점 ${}P, Q$가 다시 만나는 시각 ${}t = T$의 값을 구하시오. (10점)

$1$이 아닌 두 양수 $a, b$가 $\log_a b = 3$을 만족시킬 때, $\log_a(a^2 b) + 6\log_b a$의 값을 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 함수 $y = -\sin^2 x + 4\sin x + 3$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M - m$의 값을 구하시오. (10점)

두 수열 $\{\mu_n\}, \{\nu_n\}$이 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (\mu_k + 2\nu_k) = 45$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2\mu_k - \nu_k) = 15$를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (\mu_k + \nu_k + 3)$의 값을 구하시오. (10점)

함수 $W(x) = (x^2 - kx + 6)|x - 3|$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 상수 $k$의 값과 그때의 $W'(3)$의 값을 합한 $k + W'(3)$을 구하시오. (10점)

열린구간 $(-1, 3)$에서 점 $(1, 0)$을 지나고 기울기가 $0$보다 크고 $\dfrac{\pi}{2}$보다 작은 직선이 곡선 $y = \tan\dfrac{\pi x}{2}$와 만나는 두 교점의 $x$좌표를 $a, b$ ($a \lt b$)라 하자. $3a + b = \dfrac{2}{3}$일 때, $\sin\left(\dfrac{b - a}{2}\pi\right)$의 값을 구하시오. (10점)

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 3$ 위의 점 $(2, 3)$을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 구하시오. (10점)

다항함수 $\zeta(x)$가 $\zeta(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int (2x^3 - 5x^2 + 4x - 1)\,dx$를 만족시킬 때, $\zeta(2)$의 값을 구하시오. (10점)

점 $A(-8, 0)$과 함수 $f(x) = \log_2(x + 8)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점 $B$에 대하여, $4$ 이상인 자연수 $n$마다 곡선 위의 점 $P(2^n - 8, n)$을 잡는다. 두 삼각형 $PBO, PAO$의 넓이의 차 $S_n$이 $S_n \gt 1500$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

함수 $\tau(x) = x^3 + x + 1$의 역함수를 $\tau^{-1}(x)$라 할 때, 정적분 합 $\displaystyle\int_0^2 \tau(x)\,dx + \int_1^{11} \tau^{-1}(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

방정식 $3\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+6\sin x+a=2$가 실근을 갖도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M-m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{53}{50}$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}$$을 만족시킨다. $a_{2500} = \dfrac{q}{p}$일 때, $\sqrt{p}+q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=ax^3$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서의 접선이 점 $(4, 6)$을 지날 때, 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

$a = \log_8 9,\ b = \log_{27} 25$일 때, $$\log_5 10 = 1 + \dfrac{1}{pab}, \quad \log_6 10 = \dfrac{1+pab}{1+qa}$$를 만족시키는 유리수 $p, q$에 대하여 $4p + 2q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$이 두 곡선 $y = \log_2(x-1)$, $y = \log_4(5-x)$와 만나는 점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(3, -n-1)$에 대하여 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $128 S_3$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_1^x f(t)\,dt = x^4 + ax^3 + x^2\int_0^2 t f'(t)\,dt - 11x$$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값의 합 $a + f(2)$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(x)-2x} = \dfrac{1}{2}$일 때, $$\lim_{x \to 0} \dfrac{12x f(x) + 3\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 - 5x f(x) - 4x^2}$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $k$에 대하여 정의역이 $\{x \mid x \gt 0\}$인 두 함수 $f(x) = \log_2(x + 2^k)$, $g(x) = \log_2(3x)$가 있다. 함수 $h(x)$를 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) \le g(x)) \\ g(x) & (f(x) \gt g(x)) \end{cases}$$라 할 때, 방정식 $h(x) = k + 1$의 실근을 $a_k$라 하자. $\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

이차함수 $f(x) = x^2 + ax + b$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $a, b$에 대하여 $f(a+b)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 양의 실수 $u, v$가 $\sqrt[3]{u^4} = 27$, $\sqrt[4]{v^5} = 32$를 만족시킬 때, 지수식 $\left(\dfrac{u^{2/3}}{v^{1/2}}\right)^2 \cdot v^{7/4}$의 값을 계산하는 과정과 답을 기술하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 6$, $\overline{AC} = 10$이고 $\cos A = \dfrac{3}{5}$이다. 변 $BC$의 길이 $l$과 삼각형 $ABC$의 외접원의 넓이 $W$를 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

양의 상수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{2}x$와 그 역함수 $g(x)$의 그래프가 그림과 같다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서 그은 접선이 $y$축과 점 $(0, -3)$에서 만날 때, 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S$라 하자. $2S$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $5$인 등차수열 $\{u_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $T_n$이라 하자. $T_9 - T_6 = 99$일 때, 공차 $d$와 제$15$항 $u_{15}$를 차례대로 구하시오. (10점)

자연수 $n$마다 수평선 $y = n$이 두 로그곡선 $y = \log_{1/2}(x-2)$, $y = \log_{1/4}(6-x)$와 만나는 교점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 꼭짓점 $R_n(4, n+2)$를 연결한 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$이 $a_n + b_n = 4 - \dfrac{1}{3\cdot 2^n}$을 만족시킬 때, 첫째항부터 제$3$항까지의 합 $S_3$에 대하여 $192 S_3$를 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $P(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x - 2)P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$를 만족시킨다. 상수 $k$와 $P(2)$의 곱 $k \cdot P(2)$를 구하시오. (10점)

삼차함수 $H(x) = x^3 - 3mx^2 + 9mx - 7$이 극값을 갖지 않도록 하는 모든 정수 $m$의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (10점)

다항함수 $Q(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_3^x Q(t)\,dt = x^3 - cx^2 + 5x - 6$을 만족시킬 때, 상수 $c$와 $Q(c)$의 값을 각각 구하시오. (10점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 질점 $M$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 5$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 시각 $t = 0$부터 $t = 5$까지 질점 $M$이 실제로 움직인 거리 $L$을 구하시오. (10점)

부등식 $9^x - 12\cdot 3^x + 27 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$에 대하여 함수 $W(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 15$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (10점)

둘레의 길이가 $28$인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)에 대하여 $r + l + \theta$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x) = ax^3$과 그 역함수 곡선 $y = g(x)$를 좌표평면에 나타내었다. 점 $(2, f(2))$에서 곡선 $y=f(x)$에 접하는 직선이 점 $(3, 5)$를 지날 때, 원점 대칭인 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$가 둘러싸는 도형의 전체 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

합 $K = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)}$의 값을 기약분수 $\dfrac{q}{p}$로 나타낼 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$과 두 곡선 $y = \log_3(x-1)$, $y = \log_9(7-x)$의 교점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하자. 점 $R_n(4, -n-2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 첫 두 항의 합에 $81$을 곱한 $81(a_1 + a_2)$의 값을 구하시오. (10점)

극한 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{3x + 1} - \alpha}{x - 5} = \beta$가 성립하도록 하는 두 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 $8\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

다항식 $x^8 - px^2 + q$를 $(x - 1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $6x - 5$일 때, 두 상수 $p, q$에 대하여 $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[0, 3]$에서 삼차함수 $V(x) = x^3 - 3x^2 + c$의 최댓값이 $11$일 때, 같은 구간에서 함수 $V(x)$의 최솟값을 구하시오. (단, $c$는 상수이다.) (10점)

정적분 $J = \displaystyle\int_{-3}^3 (5x^7 - 2x^5 + x^2 - 9x + 4)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 양의 실수 $\alpha, \beta$가 $6^\alpha = 7^\beta = 42$를 만족시킬 때, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

반지름의 길이가 $8$인 원에 내접하는 삼각형 $ABC$에서 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{15}{8}$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 단조증가하는 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{3}x$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 $y$절편이 $-\dfrac{8}{3}$일 때, 그림과 같이 두 그래프 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 둘러싸는 영역의 넓이 $S$에 대하여 $3S$를 구하시오. (10점)

수열 $\{w_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = 3n^2 - 2n + 4$일 때, $w_1 + w_7$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 수평선 $y = -n$이 두 로그함수 $y = \log_2(x-2)$ 및 $y = \log_4(8-x)$의 그래프와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(5, -n-2)$와 이루는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^4 (6 - a_n) = \dfrac{q}{p}$일 때 서로소인 두 자연수의 합 $p+q$를 구하시오. (10점)

이차함수 $M(x) = 2x^2 - 5x + 1$에 대하여 닫힌구간 $[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 $c$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x^4 - 4x^3 + \lambda \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $\lambda$의 최솟값을 구하시오. (10점)

연속함수 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $F(x) = 3x^2 - 4x + \displaystyle\int_0^2 F(t)\,dt$를 만족시킬 때, $F(3)$의 값을 구하시오. (10점)

이차곡선 $y = x^2 - 5x + 6$과 직선 $y = x + 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

실수 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하시오. (10점)

음이 아닌 실수 $x \ge 0$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3$ ($a \gt 0$)과 역함수 $g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 도형이 그림과 같다. 곡선 위의 점 $(4, f(4))$에서의 접선이 점 $(2, -2)$를 지날 때, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

모든 항이 양수인 등비수열 $\{z_n\}$이 $z_2 = 6$, $z_4 + z_5 = 72$를 만족시킬 때, 제$6$항 $z_6$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 대칭인 두 곡선 $y = \log_{1/2}(x-1)$, $y = \log_{1/2}(9-x)$와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하자. 고정점 $R_n(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 $b_n = 4n - a_n$이라 할 때, $16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n$을 구하시오. (10점)

다항함수 $B(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{B(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{B(x)}{x - 1} = 6$을 만족시킬 때, $B(2)$의 값을 구하시오. (10점)

삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)

삼차함수 $U(x)$의 도함수 $U'(x)$가 $U'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $U(0) = 2$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^3 U(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x^3 - 2x$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선과 이 삼차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)