1줄 (30%)$5^x = t$ ($t \gt 0$)로 치환하면 주어진 방정식은 $t^2 - 30t + 125 = 0$이고 판별식 $D/4 = 225 - 125 = 100 \gt 0$이다. (3점)

2줄 (40%)근과 계수의 관계에 의하여 두 양의 근 $5^\alpha, 5^\beta$의 곱은 $5^\alpha \cdot 5^\beta = 5^{\alpha + \beta} = 125 = 5^3$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 지수를 비교하면 $\alpha + \beta = 3$이다. (3점)

1줄 (30%)$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$에 $\tan\theta = -\dfrac{4}{3}$를 대입하면 $\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \dfrac{16}{9} = \dfrac{25}{9}$이다. (3점)

2줄 (40%)$\theta$가 제$2$사분면의 각이므로 $\cos\theta = -\dfrac{3}{5}$이고, $\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \dfrac{4}{5}$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $5(\sin\theta - \cos\theta) = 5\left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\right) = 7$이다. (3점)

1줄 (30%)점화식에 차례로 대입하면 $\gamma_1 = 2,\ \gamma_2 = \dfrac{1}{3},\ \gamma_3 = -\dfrac{1}{2},\ \gamma_4 = -3,\ \gamma_5 = 2 = \gamma_1$이다. (3점)

2줄 (40%)따라서 수열 $\{\gamma_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\gamma_{n+4} = \gamma_n$인 주기 $4$인 수열이다. (4점)

3줄 (30%)$50 = 4 \times 12 + 2$이므로 $\gamma_{50} = \gamma_2 = \dfrac{1}{3}$이다. (3점)

1줄 (30%)모든 실수 $x$에 대하여 $x^2 + 1 \gt 0$이므로 각 변을 나누면 $\dfrac{6x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} \le \xi(x) \le \dfrac{6x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1}$이다. (3점)

2줄 (40%)양 끝 변의 극한을 구하면 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{6x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = 6$이고 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{6x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1} = 6$이다. (4점)

3줄 (30%)함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \xi(x) = 6$이다. (3점)

1줄 (30%)함수 $y = \sqrt{3}\tan 2\pi x$의 그래프와 직선 $l$은 점 $C\left(\dfrac{1}{4}, 0\right)$에 대하여 대칭이므로 두 교점을 $A(\alpha, -h),\ B(\beta, h)\ (\alpha \lt \beta,\ h \gt 0)$라 하면 $\alpha + \beta = \dfrac{1}{2}$이다. (3점)

2줄 (40%)$\overline{CD} = \dfrac{1}{4}$이므로 $\triangle ABD$의 넓이는 $2 \times \left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} \times h\right) = \dfrac{h}{4} = \dfrac{3}{4}$에서 $h = 3$이고, $\sqrt{3}\tan 2\pi\beta = 3\ \left(\dfrac{1}{4} \lt \beta \lt \dfrac{3}{4}\right)$에서 $\beta = \dfrac{2}{3}$이다. (4점)

3줄 (30%)두 점 $C\left(\dfrac{1}{4}, 0\right),\ B\left(\dfrac{2}{3}, 3\right)$을 지나는 직선 $l$의 기울기는 $\dfrac{3 - 0}{\frac{2}{3} - \frac{1}{4}} = \dfrac{36}{5}$이다. (3점)

1줄 (30%)$E(0) = 5,\ E(3) = 27 - 36 + 9 + 5 = 5$이므로 롤의 정리에 의해 $E'(c) = 0$인 $c \in (0, 3)$가 존재한다. (3점)

2줄 (40%)도함수 $E'(x) = 3x^2 - 8x + 3 = 0$에서 $E'(0) = 3 \gt 0,\ E'(1) = -2 \lt 0,\ E'(3) = 6 \gt 0$이므로 두 실근 모두 열린구간 $(0, 3)$에 속한다. (4점)

3줄 (30%)따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 상수 $c$의 합은 $\dfrac{8}{3}$이다. (3점)

1줄 (30%)방정식을 $2x^3 - 3x^2 - 12x = -k$로 변형하고 $q(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$라 하면 $q'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)$이다. (3점)

2줄 (40%)$q(-1) = 7$ (극대), $q(0) = 0$, $q(2) = -20$ (극소)이므로 양의 실근 $2$개와 음의 실근 $1$개를 가지려면 $-20 \lt -k \lt 0$이어야 한다. (4점)

3줄 (30%)$0 \lt k \lt 20$을 만족시키는 정수 $k$는 $1, 2, \ldots, 19$이므로 개수는 $19$이다. (3점)

1줄 (30%)$B(0, 1),\ P(2^n - 2, n)$이고, 사각형 $ABPO$의 넓이를 분할하면 $(\triangle PBA\text{의 넓이}) = (\triangle ABO\text{의 넓이}) + (\triangle PBO\text{의 넓이}) - (\triangle PAO\text{의 넓이})$이다. (3점)

2줄 (40%)$(\triangle ABO) = 1,\ (\triangle PBO) = \dfrac{1}{2}(2^n - 2) = 2^{n-1} - 1,\ (\triangle PAO) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times n = n$이므로 $S_n = 1 + (2^{n-1} - 1) - n = 2^{n-1} - n$이다. (4점)

3줄 (30%)$S_{11} = 2^{10} - 11 = 1013 \le 2000,\ S_{12} = 2^{11} - 12 = 2036 \gt 2000$이므로 구하는 자연수 $n$의 최솟값은 $12$이다. (3점)

1줄 (30%)시각 $T$ ($T \gt 0$)에서 두 점의 위치가 같으려면 $\displaystyle\int_0^T (3t^2 - 2t)\,dt = \int_0^T (4t + 4)\,dt$이어야 한다. (3점)

2줄 (40%)정적분을 계산하면 $T^3 - T^2 = 2T^2 + 4T \iff T(T + 1)(T - 4) = 0$이다. (4점)

3줄 (30%)$T \gt 0$이므로 두 점이 다시 만나는 시각은 $T = 4$이다. (3점)