합 $L = \displaystyle\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합을 구하시오. (10점)

공비가 음수인 등비수열 $\{e_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_2 = -3$, $S_4 = -15$일 때, $e_5$의 값을 구하시오. (10점)

함수 $h(x) = \begin{cases} 2x + a & (x \lt 1) \\ x^2 - 4x + a & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 함수 $\{h(x)\}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (10점)

구간 $-\dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2}$에서 점 $\left(\dfrac{1}{6}, 0\right)$을 지나는 양의 기울기 직선이 주기함수 $y = \tan 3\pi x$의 그래프와 만나는 두 점의 $x$좌표를 $a, b$ ($a \lt b$)라 하자. $a + 2b = \dfrac{3}{4}$일 때, $\cos\{(2a + b)\pi\}$의 값을 구하시오. (10점)

다항함수 $\eta(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\eta(2 + 3h) - \eta(2 - 2h)}{h}$를 구하시오. (10점)

한 변의 길이가 $12$인 정사각형 모양의 금속판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피의 최댓값을 구하시오. (10점)

좌표평면 위의 점 $A(-2, 0)$과 곡선 $f(x) = \log_2(x + 4)$가 $y$축과 만나는 점 $B$에 대하여, $x$좌표가 $2^n - 4$ ($n \ge 2$)인 곡선 위의 점을 $P$라 하자. 원점 $O$에 대한 두 삼각형 $PBO, PAO$의 넓이의 차 $S_n$이 $S_n \gt 1000$을 만족시키는 최소 자연수 $n$을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x^3 - 3x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 구하시오. (10점)