${}a \gt 0,\ b \gt 0$이고, 함수 ${}f(x)=a\sin\dfrac{x}{2b}+c$의 주기가 ${}4\pi$, 최솟값이 ${}-3$이다. ${}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$일 때, ${}a\times b\times c$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, ${}a, b, c$는 상수이다.)

일차함수 ${}f(x)=a(x+2)$와 이차함수 ${}g(x)=b(x+c)^2$이 모든 실수 ${}x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.두 함수 ${}y=\log_2 f(x)$, ${}y=\log_2\sqrt{g(x)}$의 그래프가 만나는 점의 ${}x$좌표를 구하는 과정을 서술하시오. (단, ${}a, b, c$는 상수이다.)

첫째항이 ${}2\sqrt{2}$인 등비수열 ${}\{a_n\}$에 대하여 ${}\log_2\dfrac{a_2a_8}{a_3a_4a_6}=6$일 때, ${}a_m=\dfrac{1}{2^{21}}$을 만족시키는 자연수 ${}m$과 공비의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

직선 ${}y=\dfrac{1}{2}x$가 곡선 ${}y=\sqrt{x}$와 만나는 점 중 원점 ${}O$가 아닌 점을 ${}A$라 하고, 점 ${}B(t,\sqrt{t})$에 대하여 삼각형 ${}OAB$의 넓이를 ${}T(t)$라 하자. 곡선 ${}y=x^2$과 ${}x$축 및 두 직선 ${}x=t,\ x=4$로 둘러싸인 부분의 넓이를 ${}S(t)$라 할 때, ${}\displaystyle\lim_{t\to4-}\dfrac{S(t)}{T(t)}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, ${}0 \lt t \lt 4$)

사차함수 ${}f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+2$가 있다. 실수 ${}t$에 대하여 방정식 ${}|f(x)|=t$의 서로 다른 실근의 개수를 ${}g(t)$라 할 때, ${}\displaystyle\lim_{t\to2+}g(t)+\lim_{t\to2-}g(t)+g(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 ${}f(x)$에 대하여 ${}f(-1)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, ${}f(x)$의 계수는 모두 정수이다.)

상수 ${}a\ (a \gt 0)$에 대하여 함수 ${}f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-4) & (x\ge0)\end{cases}$이다. 실수 ${}t$에 대하여 ${}x$에 대한 방정식 ${}f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수를 ${}g(t)$라 하고, 점 ${}(0,-18)$에서 곡선 ${}y=f(x)$에 그은 접선의 방정식을 ${}y=h(x)$라 하자. ${}\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$를 만족시키는 모든 실수 ${}k$의 값의 합이 ${}2$일 때, 곡선 ${}y=ax(x-4)$와 ${}y$축 및 직선 ${}y=h(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

${}0\le x\le\dfrac{4\pi}{3}$일 때, 방정식 $${}\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+a\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{6}\right)-a\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)+3a-4=0$$의 서로 다른 실근의 개수가 ${}2$가 되도록 하는 정수 ${}a$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 ${}1$인 삼차함수 ${}f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.함수 ${}f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

양수 ${}a$가 ${}a^{1/2} + a^{-1/2} = 4$를 만족시킬 때, ${}\dfrac{a^2 + a^{-2} + 2}{a^{3/2} + a^{-3/2}}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

함수 ${}\psi(x) = 3\cos\dfrac{\pi x}{4} + 2$의 주기를 ${}P$라 할 때, ${}P + \psi(1) + \psi(2) + \psi(3) + \psi(4)$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 ${}2$이고 공비가 ${}4$인 등비수열 ${}\{b_n\}$에 대하여 ${}\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \log_2 b_k$의 값을 구하시오. (10점)

원점 ${}O$가 아닌 교점 ${}A$에서 만나는 직선 ${}y=x$와 무리곡선 ${}y=\sqrt{x}$가 있다. 곡선 위의 동점 ${}B(t, \sqrt{t})$ (${}0 \lt t \lt 1$)에 대하여 삼각형 ${}OAB$의 넓이를 ${}T(t)$라 하고, 직선 ${}y=x$와 포물선 ${}y=x^2$ 및 직선 ${}x=t$로 둘러싸인 넓이를 ${}S(t)$라 할 때, 극한 ${}\displaystyle\lim_{t\to 1-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

두 다항함수 ${}\phi(x), \omega(x)$가 ${}\phi(1) = 3,\ \phi'(1) = -2,\ \omega(1) = 4,\ \omega'(1) = 5$를 만족시킬 때, 곡선 ${}y = (x^2 + 1)\phi(x)\omega(x)$ 위의 점 ${}(1, 24)$에서의 접선의 기울기를 구하시오. (10점)

삼차함수 ${}G(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$의 극댓값 ${}M$과 극솟값 ${}m$에 대하여 ${}M + m$과 ${}M - m$의 값을 각각 구하시오. (10점)

양수 ${}a$에 대하여 구간별 함수 ${}f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-3) & (x\ge 0)\end{cases}$이 주어져 있다. 방정식 ${}f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수를 ${}g(t)$라 할 때, ${}\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$인 모든 실수 ${}k$의 합이 ${}0$이다. 점 ${}(0,-48)$에서 곡선에 그은 접선 ${}y=h(x)$와 곡선 ${}y=ax(x-3)$ 및 ${}y$축으로 둘러싸인 넓이를 구하시오. (10점)

정적분 ${}I = \displaystyle\int_{-1}^2 (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx + \int_2^3 (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

수열 ${}\{c_n\}$이 ${}c_1 = 3$이고 모든 자연수 ${}n$에 대하여 ${}c_{n+1} = c_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, ${}c_{10}$의 값을 구하시오. (10점)

로그 연산식 ${}E = (\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 16 + \log_9 4)$의 값을 구하시오. (10점)

예각삼각형 ${}ABC$에서 ${}\overline{AB} = 5$, ${}\overline{BC} = 8$이고 삼각형 ${}ABC$의 넓이가 ${}10\sqrt{3}$일 때, 변 ${}AC$의 길이를 구하시오. (10점)

급수 ${}S = \displaystyle\sum_{k=1}^8 (3k - 1)(k + 2)$의 값을 구하시오. (10점)

무리함수 ${}y=\sqrt{x}$의 그래프와 직선 ${}y=\dfrac{1}{3}x$의 원점 아닌 교점을 ${}A$라 하자. 점 ${}B(t, \sqrt{t})$ (${}0 \lt t \lt 9$)에 대한 삼각형 ${}OAB$의 넓이 ${}T(t)$와, 포물선 ${}y=x^2$ 및 ${}x$축, 두 직선 ${}x=t, x=9$로 둘러싸인 넓이 ${}S(t)$의 비의 극한 ${}\displaystyle\lim_{t\to 9-} \dfrac{S(t)}{T(t)}$를 구하시오. (10점)

함수 ${}L(x) = \begin{cases} x^3 - ax + 2 & (x \lt 2) \\ bx^2 - 3x + 4 & (x \ge 2) \end{cases}$가 ${}x = 2$에서 미분가능할 때, 두 상수 ${}a, b$에 대하여 ${}a + b$의 값을 구하시오. (10점)

두 곡선 ${}y = x^3 + ax + 1$과 ${}y = bx^2 + 4$가 ${}x = 1$인 점에서 접할 때, 두 상수 ${}a, b$의 합 ${}a + b$의 값을 구하시오. (10점)

양의 상수 ${}a$와 함수 ${}f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-2) & (x\ge 0)\end{cases}$에 대하여, 방정식 ${}f(x)=f(t)$의 실근의 개수 함수 ${}g(t)$가 ${}\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$를 만족시키는 모든 ${}k$의 합이 ${}0$이다. 점 ${}(0,-32)$에서 그은 접선 ${}y=h(x)$와 곡선 ${}y=ax(x-2)$ 및 ${}y$축 사이의 넓이를 기약분수로 구하시오. (10점)

정적분 ${}A = \displaystyle\int_0^4 |x^2 - 3x|\,dx$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

두 포물선 ${}y = 2x^2 - 4x + 1$과 ${}y = -x^2 + 2x + 10$으로 둘러싸인 도형의 넓이 ${}S$를 구하시오. (10점)

로그부등식 ${}\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \le 3$을 만족시키는 모든 정수 ${}x$의 값의 합을 구하시오. (10점)

${}x$에 대한 이차방정식 ${}x^2 - (2\sin\theta)x + \cos^2\theta = 0$이 실근을 갖도록 하는 ${}\theta$ (${}0 \le \theta \le \pi$)의 범위가 ${}\alpha \le \theta \le \beta$일 때, ${}\beta - \alpha$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 ${}37$이고 공차가 ${}-4$인 등차수열 ${}\{d_n\}$에서 첫째항부터 제${}n$항까지의 합 ${}S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 ${}n$과 그때의 최댓값 ${}M$을 각각 구하시오. (10점)

직선 ${}y=\dfrac{1}{2}x$와 곡선 ${}y=\sqrt{x}$의 제${}1$사분면 교점을 ${}A$라 하고, 곡선 위의 점 ${}B(t, \sqrt{t})$ (${}0 \lt t \lt 4$)와 원점 ${}O$가 이루는 삼각형 ${}OAB$의 넓이를 ${}T(t)$라 하자. 두 그래프 ${}y=\sqrt{x}, y=\dfrac{1}{2}x$와 직선 ${}x=t$ 사이의 넓이를 ${}S(t)$라 할 때, ${}\displaystyle\lim_{t\to 4-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

이차함수 ${}R(x) = x^2 + px + q$가 ${}\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{R(x)}{x^2 - 9} = \dfrac{2}{3}$를 만족시킬 때, ${}R(5)$의 값을 구하시오. (10점)

곡선 ${}y = x^3 - 3x^2 + 2$에 접하고 기울기가 ${}9$인 두 직선의 ${}y$절편의 합을 구하시오. (10점)

양수 ${}a$에 대하여 정의된 함수 ${}f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-6) & (x\ge 0)\end{cases}$에서 실근 개수 함수 ${}g(t)$의 좌·우극한 차의 절댓값이 ${}2$가 되는 모든 ${}k$의 값의 합이 ${}3$이다. 점 ${}(0,-27)$에서 곡선 ${}y=f(x)$에 그은 접선 ${}y=h(x)$와 곡선 ${}y=ax(x-6)$ 및 ${}y$축이 둘러싸는 넓이를 구하시오. (10점)

함수 ${}W(x) = \displaystyle\int_1^x (3t^2 - 15t + 12)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오. (10점)

직선 궤도를 ${}24\,\text{m/s}$의 속도로 달리던 열차가 제동을 건 후 ${}t$초에서의 속도가 ${}v(t) = 24 - 4t$ (${}\text{m/s}$)라 한다. 제동을 건 순간부터 열차가 완전히 정지할 때까지 이동한 거리 ${}D$를 구하시오. (10점)

함수 $y = 2^{x - m} + n$의 그래프의 점근선이 직선 $y = -3$이고, 이 그래프가 점 $(2, 5)$를 지날 때, 두 상수 $m, n$에 대하여 $m + n$의 값을 구하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$일 때, 가장 큰 내각 $C$의 크기(라디안)를 구하시오. (10점)

합 $T = \displaystyle\sum_{k=1}^{21} \dfrac{3}{\sqrt{3k + 1} + \sqrt{3k - 2}}$의 값을 구하시오. (10점)

포물선 $y=x^2$과 직선 $y=2x$의 원점 아닌 교점 $A$ 및 곡선 위의 점 $B(t, t^2)$ ($0 \lt t \lt 2$)가 이루는 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하자. 직선 $y=4x$와 삼차곡선 $y=x^3$ 및 $x=t, x=2$로 둘러싸인 넓이를 $S(t)$라 할 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{t\to 2-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

함수 $J(x) = \dfrac{2x + 5}{x^2 - 2kx + 3k + 4}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)

삼차함수 $N(x) = x^3 + 3ax^2 + (6a + 9)x + 5$의 역함수가 존재하도록 하는 실수 $a$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$에 대하여 $M - m$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-4) & (x\ge 0)\end{cases}$과 방정식 $f(x)=f(t)$의 실근 개수 $g(t)$가 있다. 좌·우극한 차가 $2$인 모든 $k$의 합이 $0$일 때, 점 $(0,-64)$에서 그은 접선 $y=h(x)$와 이차곡선 $y=ax(x-4)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이를 기약분수로 구하시오. (10점)

다항함수 $Z(x) = 4x^3 - 5x + 3$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2} \int_2^x Z(t)\,dt$를 구하시오. (10점)

상수 $k$ ($k \gt 3$)에 대하여 곡선 $y = x(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이와, 이 곡선과 $x$축 및 직선 $x = k$로 둘러싸인 부분($3 \le x \le k$)의 넓이가 서로 같을 때, $k$의 값을 구하시오. (10점)

$0 \le x \lt \dfrac{\pi}{2}$일 때, 방정식 $$\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x - 6\cos^2 x = 0$$의 실근을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $$S_{n+1} = 2S_n + 5$$를 만족시킬 때, $\log_4 \dfrac{a_7}{2}$의 값과 $S_8$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

함수 $f(x) = x^2 - 4x + k$에 대하여 함수 $$y = \dfrac{2x - 1}{\{f(x)\}^2 - 2x f(x) + 3f(x)}$$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

실수 $t\ (0 \le t \le 2)$에 대하여 점 $(t, \sqrt{8 - t^3})$과 원점 사이의 거리의 제곱을 $f(t)$라 하자. 닫힌구간 $[0, 2]$에서 함수 $f(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

$-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2}$에서 기울기가 양수이고 점 $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$을 지나는 직선과 함수 $y = \tan \pi x$의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $a, b\ (a \lt b)$라 하자. $2a + b = \dfrac{2}{3}$일 때, $\cos\dfrac{(a + 2b)\pi}{2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, 직선의 기울기는 $\pi$보다 작다.) (10점)

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x) - f'(0) + 4x - 6 \le \frac{f(2x) - f(0)}{2x} \le x^4 + 6x^2 - 2$$를 만족시킬 때, $f'(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{3}$
(나) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left\{\left(x - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\}$가 존재한다.
(다) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \left\{\left(x - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\} = -1$
$\displaystyle\int_{0}^{3} |f(x)|\,dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

점 $A$의 좌표를 $(-3, 0)$이라 하고, 함수 $f(x) = \log_3 (x + 3)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $B$라 하자. $2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 $x$좌표가 $3^n$인 점을 $P$라 하고 두 삼각형 $PBO$, $PBA$의 넓이의 차를 $S_n$이라 할 때, $S_n \gt 30$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $O$는 원점이다.) (10점)

실수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = (x - 1)(x - a)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. $x$에 대한 방정식 $F(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$일 때, $F(0)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $1 \lt a \le 4$) (10점)

두 양수 $p, q$가 $\sqrt[5]{p^3} = 125$, $\sqrt[3]{q^2} = 81$을 만족시킬 때, $\log_5 p + \log_3 q$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[1, 6]$에서 함수 $\Lambda(x) = \log_3(x^2 - 6x + 18)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $3^M + 3^m$의 값을 구하시오. (10점)

공차가 양수인 등차수열 $\{\alpha_n\}$에서 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 15$이고, 세 항 $\alpha_1, \alpha_2 + 1, \alpha_3 + 5$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $\alpha_{10}$의 값을 구하시오. (10점)

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $\Omega(x)$가 $\Omega(0) = 0$, $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\Omega(x)}{x - 2} = 10$을 만족시킬 때, $\Omega(3)$의 값을 구하시오. (10점)

열린구간 $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$에서 대칭 중심 $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$을 지나고 기울기가 양수($\lt \pi$)인 직선이 곡선 $y = \tan\pi x$와 만나는 두 교점을 $A(a, \tan a\pi),\ B(b, \tan b\pi)$ ($a \lt b$)라 하자. 두 교점의 $x$좌표 차가 $b - a = \dfrac{4}{3}$일 때, 원점 $O$에 대한 삼각형 $OAB$의 넓이를 구하시오. (10점)

점 $(2, -1)$에서 포물선 $y = x^2 - 2x + 3$에 그은 두 접선의 기울기를 각각 $m_1, m_2$라 할 때, $m_1 + m_2$와 $m_1 m_2$의 값을 각각 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 사차함수 $D(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2$이 극댓값을 갖지 않도록 하는 실수 $a$의 최솟값을 구하시오. (10점)

고정점 $A(-4, 0)$과 로그함수 $f(x) = \log_2(x + 4)$의 $y$절편 $B$가 있다. $2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(4^n, f(4^n))$가 이루는 두 삼각형 $PBO, PBA$의 넓이의 차를 $S_n$이라 할 때, 부등식 $S_n \gt 2026$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

두 다항함수 $f(x), g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = 4x + 2$, $\dfrac{d}{dx}\{f(x) - g(x)\} = 6x^2 - 2$를 만족시키고 $f(0) = 1,\ g(0) = 3$일 때, $f(2) + g(1)$의 값을 구하시오. (10점)

합 $L = \displaystyle\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$의 서로 다른 모든 실근의 합을 구하시오. (10점)

공비가 음수인 등비수열 $\{e_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_2 = -3$, $S_4 = -15$일 때, $e_5$의 값을 구하시오. (10점)

함수 $h(x) = \begin{cases} 2x + a & (x \lt 1) \\ x^2 - 4x + a & (x \ge 1) \end{cases}$에 대하여 함수 $\{h(x)\}^2$이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (10점)

구간 $-\dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2}$에서 점 $\left(\dfrac{1}{6}, 0\right)$을 지나는 양의 기울기 직선이 주기함수 $y = \tan 3\pi x$의 그래프와 만나는 두 점의 $x$좌표를 $a, b$ ($a \lt b$)라 하자. $a + 2b = \dfrac{3}{4}$일 때, $\cos\{(2a + b)\pi\}$의 값을 구하시오. (10점)

다항함수 $\eta(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\eta(2 + 3h) - \eta(2 - 2h)}{h}$를 구하시오. (10점)

한 변의 길이가 $12$인 정사각형 모양의 금속판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을 잘라 내고 남은 부분을 접어 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 때, 상자의 부피의 최댓값을 구하시오. (10점)

좌표평면 위의 점 $A(-2, 0)$과 곡선 $f(x) = \log_2(x + 4)$가 $y$축과 만나는 점 $B$에 대하여, $x$좌표가 $2^n - 4$ ($n \ge 2$)인 곡선 위의 점을 $P$라 하자. 원점 $O$에 대한 두 삼각형 $PBO, PAO$의 넓이의 차 $S_n$이 $S_n \gt 1000$을 만족시키는 최소 자연수 $n$을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x^3 - 3x$와 직선 $y = x$로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합 $S$를 구하시오. (10점)

방정식 $25^x - 30\cdot 5^x + 125 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha + \beta$의 값을 구하시오. (10점)

$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$인 각 $\theta$에 대하여 $\tan\theta = -\dfrac{4}{3}$일 때, $5(\sin\theta - \cos\theta)$의 값을 구하시오. (10점)

수열 $\{\gamma_n\}$이 $\gamma_1 = 2$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $\gamma_{n+1} = \dfrac{\gamma_n - 1}{\gamma_n + 1}$을 만족시킬 때, $\gamma_{50}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

함수 $\xi(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $6x^2 - 2x + 1 \le (x^2 + 1)\xi(x) \le 6x^2 + 4x + 5$를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \xi(x)$의 값을 구하시오. (10점)

구간 $-\dfrac{1}{4} \lt x \lt \dfrac{3}{4}$에서 점 $C\left(\dfrac{1}{4}, 0\right)$을 지나는 양의 기울기 직선 $l$이 곡선 $y = \sqrt{3}\tan 2\pi x$와 만나는 두 교점을 $A, B$라 하자. 점 $D\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$에 대하여 삼각형 $ABD$의 넓이가 $\dfrac{3}{4}$일 때, 직선 $l$의 기울기를 구하시오. (10점)

함수 $E(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 5$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 $c$의 합을 기약분수로 구하시오. (10점)

삼차방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하시오. (10점)

점 $A(-2, 0)$과 로그곡선 $f(x) = \log_2(x + 2)$의 $y$절편 $B$가 주어져 있다. $2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 곡선 위의 점 $P(2^n - 2, n)$과 점 $A, B$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PBA$의 넓이 $S_n$이 $2000$보다 커지도록 하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 2t$, $v_2(t) = 4t + 4$이다. 출발 후 두 점 $P, Q$가 다시 만나는 시각 $t = T$의 값을 구하시오. (10점)

$1$이 아닌 두 양수 $a, b$가 $\log_a b = 3$을 만족시킬 때, $\log_a(a^2 b) + 6\log_b a$의 값을 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 함수 $y = -\sin^2 x + 4\sin x + 3$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M - m$의 값을 구하시오. (10점)

두 수열 $\{\mu_n\}, \{\nu_n\}$이 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (\mu_k + 2\nu_k) = 45$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2\mu_k - \nu_k) = 15$를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (\mu_k + \nu_k + 3)$의 값을 구하시오. (10점)

함수 $W(x) = (x^2 - kx + 6)|x - 3|$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 상수 $k$의 값과 그때의 $W'(3)$의 값을 합한 $k + W'(3)$을 구하시오. (10점)

열린구간 $(-1, 3)$에서 점 $(1, 0)$을 지나고 기울기가 $0$보다 크고 $\dfrac{\pi}{2}$보다 작은 직선이 곡선 $y = \tan\dfrac{\pi x}{2}$와 만나는 두 교점의 $x$좌표를 $a, b$ ($a \lt b$)라 하자. $3a + b = \dfrac{2}{3}$일 때, $\sin\left(\dfrac{b - a}{2}\pi\right)$의 값을 구하시오. (10점)

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 3$ 위의 점 $(2, 3)$을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 구하시오. (10점)

다항함수 $\zeta(x)$가 $\zeta(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int (2x^3 - 5x^2 + 4x - 1)\,dx$를 만족시킬 때, $\zeta(2)$의 값을 구하시오. (10점)

점 $A(-8, 0)$과 함수 $f(x) = \log_2(x + 8)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점 $B$에 대하여, $4$ 이상인 자연수 $n$마다 곡선 위의 점 $P(2^n - 8, n)$을 잡는다. 두 삼각형 $PBO, PAO$의 넓이의 차 $S_n$이 $S_n \gt 1500$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

함수 $\tau(x) = x^3 + x + 1$의 역함수를 $\tau^{-1}(x)$라 할 때, 정적분 합 $\displaystyle\int_0^2 \tau(x)\,dx + \int_1^{11} \tau^{-1}(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)