$1$이 아닌 두 양수 $a, b$가 $\log_a b = 3$을 만족시킬 때, $\log_a(a^2 b) + 6\log_b a$의 값을 구하시오. (10점)

모든 실수 $x$에 대하여 함수 $y = -\sin^2 x + 4\sin x + 3$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M - m$의 값을 구하시오. (10점)

두 수열 $\{\mu_n\}, \{\nu_n\}$이 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (\mu_k + 2\nu_k) = 45$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2\mu_k - \nu_k) = 15$를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (\mu_k + \nu_k + 3)$의 값을 구하시오. (10점)

함수 $W(x) = (x^2 - kx + 6)|x - 3|$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 상수 $k$의 값과 그때의 $W'(3)$의 값을 합한 $k + W'(3)$을 구하시오. (10점)

열린구간 $(-1, 3)$에서 점 $(1, 0)$을 지나고 기울기가 $0$보다 크고 $\dfrac{\pi}{2}$보다 작은 직선이 곡선 $y = \tan\dfrac{\pi x}{2}$와 만나는 두 교점의 $x$좌표를 $a, b$ ($a \lt b$)라 하자. $3a + b = \dfrac{2}{3}$일 때, $\sin\left(\dfrac{b - a}{2}\pi\right)$의 값을 구하시오. (10점)

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 3$ 위의 점 $(2, 3)$을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 구하시오. (10점)

다항함수 $\zeta(x)$가 $\zeta(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int (2x^3 - 5x^2 + 4x - 1)\,dx$를 만족시킬 때, $\zeta(2)$의 값을 구하시오. (10점)

점 $A(-8, 0)$과 함수 $f(x) = \log_2(x + 8)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점 $B$에 대하여, $4$ 이상인 자연수 $n$마다 곡선 위의 점 $P(2^n - 8, n)$을 잡는다. 두 삼각형 $PBO, PAO$의 넓이의 차 $S_n$이 $S_n \gt 1500$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (10점)

함수 $\tau(x) = x^3 + x + 1$의 역함수를 $\tau^{-1}(x)$라 할 때, 정적분 합 $\displaystyle\int_0^2 \tau(x)\,dx + \int_1^{11} \tau^{-1}(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)