[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.18 유제 12 변형 | 성취기준: [12대수01-04], [12대수01-05]]
화공생명 3회 #7 · 로그 밑변환 연쇄 소거와 거듭제곱 지수 정리 | 첫째 괄호는 밑을 $2$로, 둘째 괄호는 밑을 $3$으로 통일한 뒤 $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$을 적용합니다.
[제3회 #7] (10점)
로그 연산식 $E = (\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 16 + \log_9 4)$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)첫째 인수를 밑 $2$로 통일하면 $\log_2 3^2 + \log_{2^2} 3 = 2\log_2 3 + \dfrac{1}{2}\log_2 3 = \dfrac{5}{2}\log_2 3$이다. (3점)
2줄 (40%)둘째 인수를 밑 $3$으로 통일하면 $\log_3 2^4 + \log_{3^2} 2^2 = 4\log_3 2 + \log_3 2 = 5\log_3 2$이다. (4점)
3줄 (30%)밑변환 공식에 의해 $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$이므로 $E = \dfrac{5}{2} \times 5 = \dfrac{25}{2}$이다. (3점)
최종 정답
$\dfrac{25}{2}$
| Step |
[문항 7] Ⅰ. 지수와 로그 — 상용로그와 밑변환 연쇄 곱 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #7 · 로그 밑변환 연쇄 소거와 거듭제곱 지수 정리 |
3점 |
| Step 2 |
첫째 괄호는 밑을 $2$로, 둘째 괄호는 밑을 $3$으로 통일한 뒤 $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$을 적용합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $\dfrac{25}{2}$ |
3점 |
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 12 변형 | 성취기준: [12대수02-03]]
화공생명 3회 #8 · 예각삼각형의 넓이 조건으로부터 끼인각과 대변 길이 추론 | 넓이 공식 $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin B = 10\sqrt{3}$으로 예각 $B$를 구한 뒤 코사인법칙을 적용합니다.
[제3회 #8] (10점)
예각삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 8$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $10\sqrt{3}$일 때, 변 $AC$의 길이를 구하시오. (10점)
1줄 (30%)삼각형의 넓이 공식에서 $\dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \sin B = 20\sin B = 10\sqrt{3}$이므로 $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다. (3점)
2줄 (40%)삼각형 $ABC$가 예각삼각형이므로 $B = \dfrac{\pi}{3}$이고 $\cos B = \dfrac{1}{2}$이다. (4점)
3줄 (30%)코사인법칙에 의해 $\overline{AC}^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8\cos\dfrac{\pi}{3} = 25 + 64 - 40 = 49$이므로 $\overline{AC} = 7$이다. (3점)
최종 정답
$7$
| Step |
[문항 8] Ⅱ. 삼각함수 — 삼각형의 넓이와 코사인법칙의 결합 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #8 · 예각삼각형의 넓이 조건으로부터 끼인각과 대변 길이 추론 |
3점 |
| Step 2 |
넓이 공식 $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin B = 10\sqrt{3}$으로 예각 $B$를 구한 뒤 코사인법칙을 적용합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $7$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 12 변형 | 성취기준: [12대수03-04], [12대수03-05], [12대수03-06]]
화공생명 3회 #9 · $\sum k^2$과 $\sum k$ 공식의 결합 연산 | 일반항을 $3k^2 + 5k - 2$로 전개한 뒤 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용합니다.
[제3회 #9] (10점)
급수 $S = \displaystyle\sum_{k=1}^8 (3k - 1)(k + 2)$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)일반항을 전개하면 $(3k - 1)(k + 2) = 3k^2 + 5k - 2$이다. (3점)
2줄 (40%)거듭제곱의 합 공식에 의해 $\displaystyle\sum_{k=1}^8 k^2 = \dfrac{8\cdot 9\cdot 17}{6} = 204$, $\displaystyle\sum_{k=1}^8 k = \dfrac{8\cdot 9}{2} = 36$이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 $S = 3(204) + 5(36) - 2(8) = 612 + 180 - 16 = 776$이다. (3점)
최종 정답
$776$
| Step |
[문항 9] Ⅲ. 수열 — 시그마의 거듭제곱 합 공식과 이차식 전개 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #9 · $\sum k^2$과 $\sum k$ 공식의 결합 연산 |
3점 |
| Step 2 |
일반항을 $3k^2 + 5k - 2$로 전개한 뒤 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $776$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-1 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 유제 12 · (교과서 12쪽) 예제 1 / Ⅲ-2 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.24–25 유제 12 · (교과서 135–136쪽) 연계 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-02], [12미적Ⅰ-03-05]]
자연D형 제3회 #10 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 | $A(9,3)$에서 $T(t) = \frac{3}{2}\sqrt{t}(3-\sqrt{t})$를 구하고 $729-t^3 = (3-\sqrt{t})(3+\sqrt{t})(81+9t+t^2)$으로 인수분해합니다.
[제3회 #10] (10점)
무리함수 $y=\sqrt{x}$의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{3}x$의 원점 아닌 교점을 $A$라 하자. 점 $B(t, \sqrt{t})$ ($0 \lt t \lt 9$)에 대한 삼각형 $OAB$의 넓이 $T(t)$와, 포물선 $y=x^2$ 및 $x$축, 두 직선 $x=t, x=9$로 둘러싸인 넓이 $S(t)$의 비의 극한 $\displaystyle\lim_{t\to 9-} \dfrac{S(t)}{T(t)}$를 구하시오. (10점)
[그림] 문항 10번 함수·도형 개형
1줄 (30%)$A(9,3)$이므로 $T(t)=\dfrac{1}{2}(9\sqrt{t}-3t)=\dfrac{3}{2}\sqrt{t}(3-\sqrt{t})$이고, $S(t)=\displaystyle\int_t^9 x^2\,dx=\dfrac{729-t^3}{3}$이다. (3점)
2줄 (40%)$729-t^3=(9-t)(81+9t+t^2)=(3-\sqrt{t})(3+\sqrt{t})(81+9t+t^2)$이므로 $\dfrac{S(t)}{T(t)}=\dfrac{2(3+\sqrt{t})(81+9t+t^2)}{9\sqrt{t}}$이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 $\displaystyle\lim_{t\to 9-}\dfrac{S(t)}{T(t)}=\dfrac{2\times 6\times 243}{9\times 3}=108$이다. (3점)
최종 정답
$108$
| Step |
[문항 10] 함수의 극한 + 정적분으로 정의된 넓이 |
Score |
| Step 1 |
자연D형 제3회 #10 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 |
3점 |
| Step 2 |
$A(9,3)$에서 $T(t) = \frac{3}{2}\sqrt{t}(3-\sqrt{t})$를 구하고 $729-t^3 = (3-\sqrt{t})(3+\sqrt{t})(81+9t+t^2)$으로 인수분해합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $108$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 12 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-01], [12미적Ⅰ-02-03], [12미적Ⅰ-02-04]]
화공생명 3회 #11 · 경계점 $x=2$에서의 연속 조건과 좌·우미분계수 일치 | $x=2$에서의 연속 조건(좌극한=함숫값)과 미분가능 조건(좌미분계수=우미분계수)을 연립합니다.
[제3회 #11] (10점)
함수 $L(x) = \begin{cases} x^3 - ax + 2 & (x \lt 2) \\ bx^2 - 3x + 4 & (x \ge 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 미분가능할 때, 두 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$x = 2$에서 연속이어야 하므로 $8 - 2a + 2 = 4b - 6 + 4 \implies 2a + 4b = 12 \implies a + 2b = 6$이다. (3점)
2줄 (40%)좌·우미분계수가 같아야 하므로 $\left.(3x^2 - a)\right|_{x=2} = \left.(2bx - 3)\right|_{x=2}$에서 $12 - a = 4b - 3 \implies a + 4b = 15$이다. (4점)
3줄 (30%)두 식을 연립하면 $2b = 9 \implies b = \dfrac{9}{2},\ a = -3$이므로 $a + b = \dfrac{3}{2}$이다. (3점)
최종 정답
$\dfrac{3}{2}$
| Step |
[문항 11] Ⅰ. 함수의 연속 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #11 · 경계점 $x=2$에서의 연속 조건과 좌·우미분계수 일치 |
3점 |
| Step 2 |
$x=2$에서의 연속 조건(좌극한=함숫값)과 미분가능 조건(좌미분계수=우미분계수)을 연립합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $\dfrac{3}{2}$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 12 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-02-06]]
화공생명 3회 #12 · 교점에서의 함숫값 일치와 미분계수 일치 | $x=1$에서 두 함수의 함숫값이 같다는 조건과 미분계수가 같다는 조건을 연립합니다.
[제3회 #12] (10점)
두 곡선 $y = x^3 + ax + 1$과 $y = bx^2 + 4$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 두 상수 $a, b$의 합 $a + b$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$x = 1$에서 두 곡선의 $y$좌표가 같으므로 $1 + a + 1 = b + 4 \implies a - b = 2$이다. (3점)
2줄 (40%)두 함수를 각각 미분하여 $x = 1$을 대입하면 접선의 기울기가 같으므로 $3 + a = 2b \implies 2b - a = 3$이다. (4점)
3줄 (30%)두 식을 변변 더하면 $b = 5,\ a = 7$이므로 $a + b = 12$이다. (3점)
최종 정답
$12$
| Step |
[문항 12] Ⅱ. 도함수의 활용 — 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #12 · 교점에서의 함숫값 일치와 미분계수 일치 |
3점 |
| Step 2 |
$x=1$에서 두 함수의 함숫값이 같다는 조건과 미분계수가 같다는 조건을 연립합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $12$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 유제 12 · (교과서 75쪽) 예제 3 점에서 그은 접선 / Ⅲ-2 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.26 유제 12 · (교과서 137쪽) 연계 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-03-05]]
자연D형 제3회 #13 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 | 꼭짓점 최솟값 $-a$로부터 $2 - \sqrt[3]{a} = 0 \implies a=8$을 얻고, $(0,-32)$에서의 접점 $s=2$를 구해 $\int_0^2 8(x-2)^2\,dx$를 계산합니다.
[제3회 #13] (10점)
양의 상수 $a$와 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-2) & (x\ge 0)\end{cases}$에 대하여, 방정식 $f(x)=f(t)$의 실근의 개수 함수 $g(t)$가 $\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$를 만족시키는 모든 $k$의 합이 $0$이다. 점 $(0,-32)$에서 그은 접선 $y=h(x)$와 곡선 $y=ax(x-2)$ 및 $y$축 사이의 넓이를 기약분수로 구하시오. (10점)
[그림] 문항 13번 함수·도형 개형
1줄 (30%)$x\ge 0$에서 $ax(x-2)$의 최솟값은 $f(1)=-a$이므로 $g(t)$의 좌우극한 차가 $2$가 되는 점은 $t=-\sqrt[3]{a}$와 $t=2$이다. (3점)
2줄 (40%)$2-\sqrt[3]{a}=0$에서 $a=8$이다. 접점 $(s,8s^2-16s)\ (s\ge 0)$에서의 접선 $y=(16s-16)(x-s)+8s^2-16s$가 $(0,-32)$를 지나므로 $-8s^2=-32,\ s=2$, 즉 $h(x)=16x-32$이다. (4점)
3줄 (30%)구하는 넓이는 $\displaystyle\int_0^2\{(8x^2-16x)-(16x-32)\}dx=\int_0^2 8(x-2)^2dx=\left[\dfrac{8}{3}(x-2)^3\right]_0^2=\dfrac{64}{3}$이다. (3점)
최종 정답
$\dfrac{64}{3}$
| Step |
[문항 13] 실근의 개수 함수의 불연속 + 접선 + 정적분 넓이 |
Score |
| Step 1 |
자연D형 제3회 #13 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 |
3점 |
| Step 2 |
꼭짓점 최솟값 $-a$로부터 $2 - \sqrt[3]{a} = 0 \implies a=8$을 얻고, $(0,-32)$에서의 접점 $s=2$를 구해 $\int_0^2 8(x-2)^2\,dx$를 계산합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $\dfrac{64}{3}$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 12 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-02], [12미적Ⅰ-03-03], [12미적Ⅰ-03-04]]
화공생명 3회 #14 · 영점을 기준으로 적분 구간을 분할하여 부호 처리 | $x^2-3x = x(x-3)$이므로 구간 $[0, 3]$에서는 $-(x^2-3x)$를, $[3, 4]$에서는 $(x^2-3x)$를 적분합니다.
[제3회 #14] (10점)
정적분 $A = \displaystyle\int_0^4 |x^2 - 3x|\,dx$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$x^2 - 3x = x(x - 3)$이므로 구간 $[0, 3]$에서 $x^2 - 3x \le 0$이고 구간 $[3, 4]$에서 $x^2 - 3x \ge 0$이다. (3점)
2줄 (40%)따라서 $A = \displaystyle\int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx + \int_3^4 (x^2 - 3x)\,dx = \dfrac{1}{6}(3 - 0)^3 + \left[\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2\right]_3^4$이다. (4점)
3줄 (30%)계산하면 $\dfrac{9}{2} + \left(\dfrac{64}{3} - 24\right) - \left(9 - \dfrac{27}{2}\right) = \dfrac{9}{2} - \dfrac{8}{3} + \dfrac{9}{2} = 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3}$이다. (3점)
최종 정답
$\dfrac{19}{3}$
| Step |
[문항 14] Ⅲ. 부정적분과 정적분 — 절댓값 기호가 포함된 이차함수의 정적분 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #14 · 영점을 기준으로 적분 구간을 분할하여 부호 처리 |
3점 |
| Step 2 |
$x^2-3x = x(x-3)$이므로 구간 $[0, 3]$에서는 $-(x^2-3x)$를, $[3, 4]$에서는 $(x^2-3x)$를 적분합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $\dfrac{19}{3}$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 12 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅰ-03-06]]
화공생명 3회 #15 · 위로 볼록 포물선과 아래로 볼록 포물선 사이의 넓이 | 연립방정식 $3x^2 - 6x - 9 = 0$의 두 실근 $x=-1, 3$을 구하고 최고차항 계수 차 $3$에 넓이 공식을 적용합니다.
[제3회 #15] (10점)
두 포물선 $y = 2x^2 - 4x + 1$과 $y = -x^2 + 2x + 10$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
1줄 (30%)두 곡선의 교점의 $x$좌표는 $2x^2 - 4x + 1 = -x^2 + 2x + 10 \iff 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x = -1, 3$이다. (3점)
2줄 (40%)구하는 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-1}^3 (-3x^2 + 6x + 9)\,dx$이다. (4점)
3줄 (30%)이차함수 넓이 공식에 의하여 $S = \dfrac{3}{6}\{3 - (-1)\}^3 = \dfrac{1}{2} \times 64 = 32$이다. (3점)
최종 정답
$32$
| Step |
[문항 15] Ⅲ. 정적분의 활용 — 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 |
Score |
| Step 1 |
화공생명 3회 #15 · 위로 볼록 포물선과 아래로 볼록 포물선 사이의 넓이 |
3점 |
| Step 2 |
연립방정식 $3x^2 - 6x - 9 = 0$의 두 실근 $x=-1, 3$을 구하고 최고차항 계수 차 $3$에 넓이 공식을 적용합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $32$ |
3점 |