양수 $a$가 $a^{1/2} + a^{-1/2} = 4$를 만족시킬 때, $\dfrac{a^2 + a^{-2} + 2}{a^{3/2} + a^{-3/2}}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

함수 $\psi(x) = 3\cos\dfrac{\pi x}{4} + 2$의 주기를 $P$라 할 때, $P + \psi(1) + \psi(2) + \psi(3) + \psi(4)$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $2$이고 공비가 $4$인 등비수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \log_2 b_k$의 값을 구하시오. (10점)

원점 $O$가 아닌 교점 $A$에서 만나는 직선 $y=x$와 무리곡선 $y=\sqrt{x}$가 있다. 곡선 위의 동점 $B(t, \sqrt{t})$ ($0 \lt t \lt 1$)에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하고, 직선 $y=x$와 포물선 $y=x^2$ 및 직선 $x=t$로 둘러싸인 넓이를 $S(t)$라 할 때, 극한 $\displaystyle\lim_{t\to 1-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

두 다항함수 $\phi(x), \omega(x)$가 $\phi(1) = 3,\ \phi'(1) = -2,\ \omega(1) = 4,\ \omega'(1) = 5$를 만족시킬 때, 곡선 $y = (x^2 + 1)\phi(x)\omega(x)$ 위의 점 $(1, 24)$에서의 접선의 기울기를 구하시오. (10점)

삼차함수 $G(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$에 대하여 $M + m$과 $M - m$의 값을 각각 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 구간별 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-3) & (x\ge 0)\end{cases}$이 주어져 있다. 방정식 $f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, $\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$인 모든 실수 $k$의 합이 $0$이다. 점 $(0,-48)$에서 곡선에 그은 접선 $y=h(x)$와 곡선 $y=ax(x-3)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이를 구하시오. (10점)

정적분 $I = \displaystyle\int_{-1}^2 (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx + \int_2^3 (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

수열 $\{c_n\}$이 $c_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $c_{n+1} = c_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, $c_{10}$의 값을 구하시오. (10점)