$a \gt 0,\ b \gt 0$이고, 함수 $f(x)=a\sin\dfrac{x}{2b}+c$의 주기가 $4\pi$, 최솟값이 $-3$이다. $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$일 때, $a\times b\times c$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

일차함수 $f(x)=a(x+2)$와 이차함수 $g(x)=b(x+c)^2$이 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.두 함수 $y=\log_2 f(x)$, $y=\log_2\sqrt{g(x)}$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

첫째항이 $2\sqrt{2}$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\log_2\dfrac{a_2a_8}{a_3a_4a_6}=6$일 때, $a_m=\dfrac{1}{2^{21}}$을 만족시키는 자연수 $m$과 공비의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

직선 $y=\dfrac{1}{2}x$가 곡선 $y=\sqrt{x}$와 만나는 점 중 원점 $O$가 아닌 점을 $A$라 하고, 점 $B(t,\sqrt{t})$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하자. 곡선 $y=x^2$과 $x$축 및 두 직선 $x=t,\ x=4$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t\to4-}\dfrac{S(t)}{T(t)}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $0 \lt t \lt 4$)

사차함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+2$가 있다. 실수 $t$에 대하여 방정식 $|f(x)|=t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t\to2+}g(t)+\lim_{t\to2-}g(t)+g(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(-1)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $f(x)$의 계수는 모두 정수이다.)

상수 $a\ (a \gt 0)$에 대하여 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-4) & (x\ge0)\end{cases}$이다. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하고, 점 $(0,-18)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선의 방정식을 $y=h(x)$라 하자. $\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$를 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합이 $2$일 때, 곡선 $y=ax(x-4)$와 $y$축 및 직선 $y=h(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

$0\le x\le\dfrac{4\pi}{3}$일 때, 방정식 $$\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+a\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{6}\right)-a\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)+3a-4=0$$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 정수 $a$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.