[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 유제 15 변형 | 성취기준: [12대수01-07], [12대수01-08]]
전통공학 5회 #7 · $\log_3 x = t$ 치환 이차방정식의 두 근의 합 | $\log_3 x = t$로 치환하면 두 실근이 $t_1 = \log_3 \alpha, t_2 = \log_3 \beta$가 되며, $t_1+t_2 = \log_3(\alpha\beta)$임을 이용합니다.
[제5회 #7] (10점)
방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)진수 조건 $x \gt 0$에서 $\log_3 x = t$로 치환하면 $t^2 - 4t + 1 = 0$이고 판별식 $D/4 = 4 - 1 = 3 \gt 0$이므로 서로 다른 두 실근 $t_1, t_2$를 갖는다. (3점)
2줄 (40%)이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $t_1 + t_2 = \log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4$이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 로그의 정의에 의하여 $\alpha\beta = 3^4 = 81$이다. (3점)
최종 정답
$81$
| Step |
[문항 7] Ⅰ. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 두 근의 곱과 근과 계수의 관계 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #7 · $\log_3 x = t$ 치환 이차방정식의 두 근의 합 |
3점 |
| Step 2 |
$\log_3 x = t$로 치환하면 두 실근이 $t_1 = \log_3 \alpha, t_2 = \log_3 \beta$가 되며, $t_1+t_2 = \log_3(\alpha\beta)$임을 이용합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $81$ |
3점 |
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 유제 15 변형 | 성취기준: [12대수02-02]]
전통공학 5회 #8 · $\sin\theta+\cos\theta$로부터 $\sin\theta\cos\theta$ 및 세제곱 합 유도 | 양변을 제곱하여 $\sin\theta\cos\theta$를 구한 뒤 곱셈 공식 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$에 대입합니다.
[제5회 #8] (10점)
실수 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$의 양변을 제곱하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$이므로 $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$이다. (3점)
2줄 (40%)곱셈 공식에 의하여 $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) = \dfrac{1}{8} - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{11}{16}$이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta) = 16 \times \dfrac{11}{16} = 11$이다. (3점)
최종 정답
$11$
| Step |
[문항 8] Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수 사이의 관계와 사인·코사인 거듭제곱 합 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #8 · $\sin\theta+\cos\theta$로부터 $\sin\theta\cos\theta$ 및 세제곱 합 유도 |
3점 |
| Step 2 |
양변을 제곱하여 $\sin\theta\cos\theta$를 구한 뒤 곱셈 공식 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$에 대입합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $11$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24–25 유제 15 · (교과서 73–74쪽) / Ⅲ-2 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 유제 15 · (교과서 136쪽) 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-03-05]]
자연C형 제5회 #9 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 | 접선 $y = 48ax - 128a$에 $(2, -2)$를 대입하여 $a=1/16$을 얻고, $x \ge 0$이므로 $2\int_0^4 (x - x^3/16)\,dx$로 계산합니다.
[제5회 #9] (10점)
음이 아닌 실수 $x \ge 0$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3$ ($a \gt 0$)과 역함수 $g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 도형이 그림과 같다. 곡선 위의 점 $(4, f(4))$에서의 접선이 점 $(2, -2)$를 지날 때, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
[그림] 문항 9번 함수·도형 개형
1줄 (30%)$f'(x)=3ax^2$이므로 점 $(4, 64a)$에서의 접선의 방정식은 $y=48a(x-4)+64a=48ax-128a$이고, 점 $(2, -2)$를 지나므로 $-32a=-2 \implies a=\dfrac{1}{16}$이다. (3점)
2줄 (40%)$x\ge 0$에서 방정식 $f(x)=x$, 즉 $\dfrac{1}{16}x^3=x$의 해는 $x=0, 4$이고, 직선 $y=x$에 대한 대칭성에 의해 구하는 넓이 $S$는 $y=x$와 $y=f(x)$ 사이의 넓이의 $2$배이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 $S=2\displaystyle\int_0^4\left(x-\dfrac{1}{16}x^3\right)dx=2\left[\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{64}x^4\right]_0^4=2(8-4)=8$이다. (3점)
최종 정답
$a=\dfrac{1}{16},\ S=8$
| Step |
[문항 9] Ⅲ. 다항함수의 적분법 — 접선 조건과 역함수 넓이 |
Score |
| Step 1 |
자연C형 제5회 #9 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 |
3점 |
| Step 2 |
접선 $y = 48ax - 128a$에 $(2, -2)$를 대입하여 $a=1/16$을 얻고, $x \ge 0$이므로 $2\int_0^4 (x - x^3/16)\,dx$로 계산합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $a=\dfrac{1}{16},\ S=8$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 15 변형 | 성취기준: [12대수03-02], [12대수03-03]]
전통공학 5회 #10 · 등비수열의 공비 방정식과 거듭제곱 항 계산 | $z_4=z_2 r^2, z_5=z_2 r^3$으로 나타내어 공비 $r\gt 0$에 대한 삼차방정식을 인수분해합니다.
[제5회 #10] (10점)
모든 항이 양수인 등비수열 $\{z_n\}$이 $z_2 = 6$, $z_4 + z_5 = 72$를 만족시킬 때, 제$6$항 $z_6$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)등비수열 $\{z_n\}$의 공비를 $r$ ($r \gt 0$)이라 하면 $z_4 = 6r^2$, $z_5 = 6r^3$이므로 $6r^2 + 6r^3 = 72 \implies r^3 + r^2 - 12 = 0$이다. (3점)
2줄 (40%)인수분해하면 $(r - 2)(r^2 + 3r + 6) = 0$이고, $r^2 + 3r + 6 \gt 0$이며 $r \gt 0$이므로 $r = 2$이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 제$6$항은 $z_6 = z_2 \cdot r^4 = 6 \times 2^4 = 96$이다. (3점)
최종 정답
$96$
| Step |
[문항 10] Ⅲ. 수열 — 양수 등비수열의 등비중항과 항의 비 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #10 · 등비수열의 공비 방정식과 거듭제곱 항 계산 |
3점 |
| Step 2 |
$z_4=z_2 r^2, z_5=z_2 r^3$으로 나타내어 공비 $r\gt 0$에 대한 삼차방정식을 인수분해합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $96$ |
3점 |
[출처: 대수 교과서 Ⅰ-2 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.7–8 유제 15 · 로그함수의 그래프 심화 | 성취기준: [12대수01-07], [12대수03-03]]
자연C형 제5회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 | 밑변 $8 - 2(1/2)^n$과 높이 $n$으로부터 $a_n = 4n - n(1/2)^n$을 유도하고 $b_1, b_2, b_3, b_4$를 직접 합산합니다.
[제5회 #11] (10점)
자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 대칭인 두 곡선 $y = \log_{1/2}(x-1)$, $y = \log_{1/2}(9-x)$와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하자. 고정점 $R_n(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 $b_n = 4n - a_n$이라 할 때, $16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n$을 구하시오. (10점)
[그림] 문항 11번 함수·도형 개형
1줄 (30%)$P_n\left(1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n, n\right)$, $Q_n\left(9-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n, n\right)$이므로 선분 $P_n Q_n$의 길이는 $8 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$이다. (3점)
2줄 (40%)점 $R_n(5,0)$과 직선 $y=n$ 사이의 거리는 $n$이므로 $a_n = \dfrac{1}{2}\cdot n\left\{8 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\} = 4n - n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$이고, 따라서 $b_n = 4n - a_n = n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$이다. (4점)
3줄 (30%)$16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n = 16\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{16}\right) = 8 + 8 + 6 + 4 = 26$이다. (3점)
최종 정답
$26$
| Step |
[문항 11] Ⅰ. 로그함수의 그래프 & Ⅲ. 수열의 합 |
Score |
| Step 1 |
자연C형 제5회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 |
3점 |
| Step 2 |
밑변 $8 - 2(1/2)^n$과 높이 $n$으로부터 $a_n = 4n - n(1/2)^n$을 유도하고 $b_1, b_2, b_3, b_4$를 직접 합산합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $26$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-01], [12미적Ⅰ-01-02]]
전통공학 5회 #12 · 다항함수의 차수 결정과 인수분해 약분 | 무한대 극한으로부터 $B(x) = x^3 + 4x^2 + ax + b$로 놓고, $x\to 1$ 극한에서 $B(1)=0, B'(1)=6$을 적용합니다.
[제5회 #12] (10점)
다항함수 $B(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{B(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{B(x)}{x - 1} = 6$을 만족시킬 때, $B(2)$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)첫째 극한 조건에서 $B(x) - x^3$은 최고차항의 계수가 $4$인 이차다항식이므로 $B(x) = x^3 + 4x^2 + ax + b$이다. (3점)
2줄 (40%)둘째 극한 조건에서 분모가 $0$으로 수렴하므로 $B(1) = 1 + 4 + a + b = 0$이고, 미분계수의 정의에 의해 $B'(1) = 3 + 8 + a = 6$이다. (4점)
3줄 (30%)$a = -5,\ b = 0$이므로 $B(x) = x^3 + 4x^2 - 5x$이고, 따라서 $B(2) = 8 + 16 - 10 = 14$이다. (3점)
최종 정답
$14$
| Step |
[문항 12] Ⅰ. 함수의 극한 — 무한대 극한과 영인자 극한의 동시 추론 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #12 · 다항함수의 차수 결정과 인수분해 약분 |
3점 |
| Step 2 |
무한대 극한으로부터 $B(x) = x^3 + 4x^2 + ax + b$로 놓고, $x\to 1$ 극한에서 $B(1)=0, B'(1)=6$을 적용합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $14$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08]]
전통공학 5회 #13 · 극댓값과 극솟값의 부호가 반대일 조건 $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$ | 함수 $Y(x)=x^3-6x^2+9x$의 극댓값과 극솟값 사이에 상수함수 $y=k$가 놓일 조건을 구합니다.
[제5회 #13] (10점)
삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$Y(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$라 하면 $Y'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 $x = 1, 3$이다. (3점)
2줄 (40%)함수 $Y(x)$의 극댓값은 $Y(1) = 1 - 6 + 9 = 4$이고, 극솟값은 $Y(3) = 27 - 54 + 27 = 0$이다. (4점)
3줄 (30%)서로 다른 세 실근을 가지려면 $0 \lt k \lt 4$이어야 하므로 정수 $k$는 $1, 2, 3$이고 그 합은 $6$이다. (3점)
최종 정답
$6$
| Step |
[문항 13] Ⅱ. 도함수의 활용 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #13 · 극댓값과 극솟값의 부호가 반대일 조건 $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$ |
3점 |
| Step 2 |
함수 $Y(x)=x^3-6x^2+9x$의 극댓값과 극솟값 사이에 상수함수 $y=k$가 놓일 조건을 구합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $6$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-02], [12미적Ⅰ-03-03], [12미적Ⅰ-03-04]]
전통공학 5회 #14 · 이차 도함수 적분을 통한 삼차 원시함수 복원 | 부정적분으로 $U(x)$의 식을 먼저 구한 뒤 구간 $[0, 3]$에서 정적분합니다.
[제5회 #14] (10점)
삼차함수 $U(x)$의 도함수 $U'(x)$가 $U'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $U(0) = 2$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^3 U(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$U'(x) = 3x^2 - 6x$를 부정적분하면 $U(x) = x^3 - 3x^2 + C$이고, $U(0) = 2$이므로 $U(x) = x^3 - 3x^2 + 2$이다. (3점)
2줄 (40%)구하는 정적분은 $\displaystyle\int_0^3 (x^3 - 3x^2 + 2)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_0^3$이다. (4점)
3줄 (30%)대입하여 계산하면 $\dfrac{81}{4} - 27 + 6 = \dfrac{81 - 84}{4} = -\dfrac{3}{4}$이다. (3점)
최종 정답
$-\dfrac{3}{4}$
| Step |
[문항 14] Ⅲ. 부정적분과 정적분 — 도함수 그래프 조건으로부터 정적분 계산 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #14 · 이차 도함수 적분을 통한 삼차 원시함수 복원 |
3점 |
| Step 2 |
부정적분으로 $U(x)$의 식을 먼저 구한 뒤 구간 $[0, 3]$에서 정적분합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $-\dfrac{3}{4}$ |
3점 |
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅰ-03-06]]
전통공학 5회 #15 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선 방정식과 정적분 넓이 | 점 $(1, -1)$에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 삼차곡선과의 교점 $(x-1)^2(x+2)=0$을 찾아 적분합니다.
[제5회 #15] (10점)
삼차곡선 $y = x^3 - 2x$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선과 이 삼차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)
1줄 (30%)$y' = 3x^2 - 2$이므로 점 $(1, -1)$에서의 접선의 기울기는 $1$이고, 접선의 방정식은 $y = (x - 1) - 1 = x - 2$이다. (3점)
2줄 (40%)곡선과 접선의 교점은 $x^3 - 2x = x - 2 \iff x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) = 0$에서 $x = -2, 1$이다. (4점)
3줄 (30%)따라서 넓이는 $S = \displaystyle\int_{-2}^1 (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^1 = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \dfrac{3}{4} + 6 = \dfrac{27}{4}$이다. (3점)
최종 정답
$\dfrac{27}{4}$
| Step |
[문항 15] Ⅲ. 정적분의 활용 — 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 |
Score |
| Step 1 |
전통공학 5회 #15 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선 방정식과 정적분 넓이 |
3점 |
| Step 2 |
점 $(1, -1)$에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 삼차곡선과의 교점 $(x-1)^2(x+2)=0$을 찾아 적분합니다. |
4점 |
| Step 3 |
최종 정답: $\dfrac{27}{4}$ |
3점 |