[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 유제 15 변형 | 성취기준: [12대수01-07], [12대수01-08]]
전통공학 5회 #7 · $\log_3 x = t$ 치환 이차방정식의 두 근의 합 · [문항 7] Ⅰ. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 두 근의 곱과 근과 계수의 관계
[5회 #7] (10점)
방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #7 · $\log_3 x = t$ 치환 이차방정식의 두 근의 합]
$\log_3 x = t$로 치환하면 두 실근이 $t_1 = \log_3 \alpha, t_2 = \log_3 \beta$가 되며, $t_1+t_2 = \log_3(\alpha\beta)$임을 이용합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 7] Ⅰ. 지수함수와 로그함수 — 로그방정식의 두 근의 곱과 근과 계수의 관계
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #7 · $\log_3 x = t$ 치환 이차방정식의 두 근의 합
[Step 3 · 3점] $\log_3 x = t$로 치환하면 두 실근이 $t_1 = \log_3 \alpha, t_2 = \log_3 \beta$가 되며, $t_1+t_2 = \log_3(\alpha\beta)$임을 이용합니다.
Ans:
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 유제 15 변형 | 성취기준: [12대수02-02]]
전통공학 5회 #8 · $\sin\theta+\cos\theta$로부터 $\sin\theta\cos\theta$ 및 세제곱 합 유도 · [문항 8] Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수 사이의 관계와 사인·코사인 거듭제곱 합
[5회 #8] (10점)
실수 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #8 · $\sin\theta+\cos\theta$로부터 $\sin\theta\cos\theta$ 및 세제곱 합 유도]
양변을 제곱하여 $\sin\theta\cos\theta$를 구한 뒤 곱셈 공식 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$에 대입합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 8] Ⅱ. 삼각함수 — 삼각함수 사이의 관계와 사인·코사인 거듭제곱 합
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #8 · $\sin\theta+\cos\theta$로부터 $\sin\theta\cos\theta$ 및 세제곱 합 유도
[Step 3 · 3점] 양변을 제곱하여 $\sin\theta\cos\theta$를 구한 뒤 곱셈 공식 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$에 대입합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24–25 유제 15 · (교과서 73–74쪽) / Ⅲ-2 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 유제 15 · (교과서 136쪽) 심화 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-03-05]]
자연C형 제5회 #9 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 · [문항 9] Ⅲ. 다항함수의 적분법 — 접선 조건과 역함수 넓이
[5회 #9] (10점)
음이 아닌 실수 $x \ge 0$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3$ ($a \gt 0$)과 역함수 $g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 도형이 그림과 같다. 곡선 위의 점 $(4, f(4))$에서의 접선이 점 $(2, -2)$를 지날 때, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)
[그림] 문항 9번 함수·도형 개형
[자연C형 제5회 #9 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입]
접선 $y = 48ax - 128a$에 $(2, -2)$를 대입하여 $a=1/16$을 얻고, $x \ge 0$이므로 $2\int_0^4 (x - x^3/16)\,dx$로 계산합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 9] Ⅲ. 다항함수의 적분법 — 접선 조건과 역함수 넓이
[Step 2 · 4점] 자연C형 제5회 #9 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입
[Step 3 · 3점] 접선 $y = 48ax - 128a$에 $(2, -2)$를 대입하여 $a=1/16$을 얻고, $x \ge 0$이므로 $2\int_0^4 (x - x^3/16)\,dx$로 계산합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 15 변형 | 성취기준: [12대수03-02], [12대수03-03]]
전통공학 5회 #10 · 등비수열의 공비 방정식과 거듭제곱 항 계산 · [문항 10] Ⅲ. 수열 — 양수 등비수열의 등비중항과 항의 비
[5회 #10] (10점)
모든 항이 양수인 등비수열 $\{z_n\}$이 $z_2 = 6$, $z_4 + z_5 = 72$를 만족시킬 때, 제$6$항 $z_6$의 값을 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #10 · 등비수열의 공비 방정식과 거듭제곱 항 계산]
$z_4=z_2 r^2, z_5=z_2 r^3$으로 나타내어 공비 $r\gt 0$에 대한 삼차방정식을 인수분해합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 10] Ⅲ. 수열 — 양수 등비수열의 등비중항과 항의 비
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #10 · 등비수열의 공비 방정식과 거듭제곱 항 계산
[Step 3 · 3점] $z_4=z_2 r^2, z_5=z_2 r^3$으로 나타내어 공비 $r\gt 0$에 대한 삼차방정식을 인수분해합니다.
Ans:
[출처: 대수 교과서 Ⅰ-2 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.7–8 유제 15 · 로그함수의 그래프 심화 | 성취기준: [12대수01-07], [12대수03-03]]
자연C형 제5회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입 · [문항 11] Ⅰ. 로그함수의 그래프 & Ⅲ. 수열의 합
[5회 #11] (10점)
자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 대칭인 두 곡선 $y = \log_{1/2}(x-1)$, $y = \log_{1/2}(9-x)$와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하자. 고정점 $R_n(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 $b_n = 4n - a_n$이라 할 때, $16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n$을 구하시오. (10점)
[그림] 문항 11번 함수·도형 개형
[자연C형 제5회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입]
밑변 $8 - 2(1/2)^n$과 높이 $n$으로부터 $a_n = 4n - n(1/2)^n$을 유도하고 $b_1, b_2, b_3, b_4$를 직접 합산합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 11] Ⅰ. 로그함수의 그래프 & Ⅲ. 수열의 합
[Step 2 · 4점] 자연C형 제5회 #11 · 기하·함수 그래프 해석 아키타입
[Step 3 · 3점] 밑변 $8 - 2(1/2)^n$과 높이 $n$으로부터 $a_n = 4n - n(1/2)^n$을 유도하고 $b_1, b_2, b_3, b_4$를 직접 합산합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-01], [12미적Ⅰ-01-02]]
전통공학 5회 #12 · 다항함수의 차수 결정과 인수분해 약분 · [문항 12] Ⅰ. 함수의 극한 — 무한대 극한과 영인자 극한의 동시 추론
[5회 #12] (10점)
다항함수 $B(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{B(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{B(x)}{x - 1} = 6$을 만족시킬 때, $B(2)$의 값을 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #12 · 다항함수의 차수 결정과 인수분해 약분]
무한대 극한으로부터 $B(x) = x^3 + 4x^2 + ax + b$로 놓고, $x\to 1$ 극한에서 $B(1)=0, B'(1)=6$을 적용합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 12] Ⅰ. 함수의 극한 — 무한대 극한과 영인자 극한의 동시 추론
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #12 · 다항함수의 차수 결정과 인수분해 약분
[Step 3 · 3점] 무한대 극한으로부터 $B(x) = x^3 + 4x^2 + ax + b$로 놓고, $x\to 1$ 극한에서 $B(1)=0, B'(1)=6$을 적용합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08]]
전통공학 5회 #13 · 극댓값과 극솟값의 부호가 반대일 조건 $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$ · [문항 13] Ⅱ. 도함수의 활용 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건
[5회 #13] (10점)
삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #13 · 극댓값과 극솟값의 부호가 반대일 조건 $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$]
함수 $Y(x)=x^3-6x^2+9x$의 극댓값과 극솟값 사이에 상수함수 $y=k$가 놓일 조건을 구합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 13] Ⅱ. 도함수의 활용 — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #13 · 극댓값과 극솟값의 부호가 반대일 조건 $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$
[Step 3 · 3점] 함수 $Y(x)=x^3-6x^2+9x$의 극댓값과 극솟값 사이에 상수함수 $y=k$가 놓일 조건을 구합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-02], [12미적Ⅰ-03-03], [12미적Ⅰ-03-04]]
전통공학 5회 #14 · 이차 도함수 적분을 통한 삼차 원시함수 복원 · [문항 14] Ⅲ. 부정적분과 정적분 — 도함수 그래프 조건으로부터 정적분 계산
[5회 #14] (10점)
삼차함수 $U(x)$의 도함수 $U'(x)$가 $U'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $U(0) = 2$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^3 U(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #14 · 이차 도함수 적분을 통한 삼차 원시함수 복원]
부정적분으로 $U(x)$의 식을 먼저 구한 뒤 구간 $[0, 3]$에서 정적분합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 14] Ⅲ. 부정적분과 정적분 — 도함수 그래프 조건으로부터 정적분 계산
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #14 · 이차 도함수 적분을 통한 삼차 원시함수 복원
[Step 3 · 3점] 부정적분으로 $U(x)$의 식을 먼저 구한 뒤 구간 $[0, 3]$에서 정적분합니다.
Ans:
[출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 15 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅰ-03-06]]
전통공학 5회 #15 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선 방정식과 정적분 넓이 · [문항 15] Ⅲ. 정적분의 활용 — 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이
[5회 #15] (10점)
삼차곡선 $y = x^3 - 2x$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선과 이 삼차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)
[전통공학 5회 #15 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선 방정식과 정적분 넓이]
점 $(1, -1)$에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 삼차곡선과의 교점 $(x-1)^2(x+2)=0$을 찾아 적분합니다.
[Step 1 · 3점] [문항 15] Ⅲ. 정적분의 활용 — 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이
[Step 2 · 4점] 전통공학 5회 #15 · 삼차곡선 위의 점에서의 접선 방정식과 정적분 넓이
[Step 3 · 3점] 점 $(1, -1)$에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 삼차곡선과의 교점 $(x-1)^2(x+2)=0$을 찾아 적분합니다.
Ans: