1줄 (30%)로그의 정의에 의하여 $\alpha = \log_6 42$, $\beta = \log_7 42$이다. (3점)

2줄 (40%)밑변환 공식에 의하여 $\dfrac{1}{\alpha} = \log_{42} 6$, $\dfrac{1}{\beta} = \log_{42} 7$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \log_{42} 6 + \log_{42} 7 = \log_{42}(6 \times 7) = \log_{42} 42 = 1$이다. (3점)

1줄 (30%)외접원의 반지름이 $R = 8$이므로 사인법칙에 의하여 세 변의 길이는 $a = 16\sin A,\ b = 16\sin B,\ c = 16\sin C$이다. (3점)

2줄 (40%)삼각형 $ABC$의 둘레의 길이는 $a + b + c = 16(\sin A + \sin B + \sin C)$이다. (4점)

3줄 (30%)주어진 값 $\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{15}{8}$을 대입하면 둘레의 길이는 $16 \times \dfrac{15}{8} = 30$이다. (3점)

1줄 (30%)$f'(x)=3ax^2+\dfrac{1}{3}$이므로 점 $\left(2, 8a+\dfrac{2}{3}\right)$에서의 접선의 방정식은 $y=\left(12a+\dfrac{1}{3}\right)(x-2)+8a+\dfrac{2}{3}=\left(12a+\dfrac{1}{3}\right)x-16a$이고, $y$절편이 $-16a=-\dfrac{8}{3}$이므로 $a=\dfrac{1}{6}$이다. (3점)

2줄 (40%)$f(x)=x$에서 $\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{3}x=x \iff \dfrac{1}{6}x(x+2)(x-2)=0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x=-2, 0, 2$이다. (4점)

3줄 (30%)대칭성에 의하여 $S=4\displaystyle\int_0^2\{x-f(x)\}\,dx=4\int_0^2\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{6}x^3\right)dx=4\left[\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{1}{24}x^4\right]_0^2=\dfrac{8}{3}$이므로 $3S=8$이다. (3점)

1줄 (30%)$n = 1$일 때 첫째항은 $w_1 = S_1 = 3(1)^2 - 2(1) + 4 = 5$이다. (3점)

2줄 (40%)$n \ge 2$일 때 $w_n = S_n - S_{n-1}$이므로 $w_7 = S_7 - S_6 = (147 - 14 + 4) - (108 - 12 + 4) = 137 - 100 = 37$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $w_1 + w_7 = 5 + 37 = 42$이다. (3점)

1줄 (30%)$P_n\left(2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n, -n\right)$, $Q_n\left(8-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n, -n\right)$이고 높이가 $2$이므로 $a_n = 6 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$이다. (3점)

2줄 (40%)따라서 $6 - a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$이고, $\displaystyle\sum_{n=1}^4(6-a_n) = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{16}\right)}{1-\frac{1}{2}} + \dfrac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{256}\right)}{1-\frac{1}{4}} = \dfrac{15}{16} + \dfrac{85}{256}$이다. (4점)

3줄 (30%)통분하면 $\dfrac{240+85}{256} = \dfrac{325}{256}$이고 $\gcd(256, 325)=1$이므로 $p=256,\ q=325$, $p+q=581$이다. (3점)

1줄 (30%)닫힌구간 $[1, 4]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{M(4) - M(1)}{4 - 1} = \dfrac{(32 - 20 + 1) - (2 - 5 + 1)}{3} = \dfrac{13 - (-2)}{3} = 5$이다. (3점)

2줄 (40%)도함수 $M'(x) = 4x - 5$에 대하여 평균값 정리에 의해 $M'(c) = 4c - 5 = 5$인 $c \in (1, 4)$가 존재한다. (4점)

3줄 (30%)$4c = 10$에서 $c = \dfrac{5}{2}$이며, 이는 열린구간 $(1, 4)$에 속한다. (3점)

1줄 (30%)$\Phi(x) = x^4 - 4x^3 + \lambda$라 하면 $\Phi'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 3$이다. (3점)

2줄 (40%)$x \lt 3$에서 $\Phi'(x) \le 0$이고 $x \gt 3$에서 $\Phi'(x) \gt 0$이므로 함수 $\Phi(x)$는 $x = 3$에서 극소이자 최소이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 모든 실수 $x$에서 $\Phi(x) \ge 0$이려면 최솟값 $\Phi(3) = 81 - 108 + \lambda = \lambda - 27 \ge 0$이어야 하므로 $\lambda$의 최솟값은 $27$이다. (3점)

1줄 (30%)상수 $A = \displaystyle\int_0^2 F(t)\,dt$로 놓으면 $F(x) = 3x^2 - 4x + A$이다. (3점)

2줄 (40%)양변을 $0$부터 $2$까지 정적분하면 $A = \displaystyle\int_0^2 (3t^2 - 4t + A)\,dt = \left[t^3 - 2t^2 + At\right]_0^2 = 8 - 8 + 2A = 2A$이므로 $A = 0$이다. (4점)

3줄 (30%)따라서 $F(x) = 3x^2 - 4x$이므로 $F(3) = 27 - 12 = 15$이다. (3점)

1줄 (30%)두 그래프의 교점의 $x$좌표는 $x^2 - 5x + 6 = x + 1 \iff x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0$에서 $x = 1, 5$이다. (3점)

2줄 (40%)구간 $[1, 5]$에서 직선이 포물선보다 위쪽에 있으므로 $S = \displaystyle\int_1^5 (-x^2 + 6x - 5)\,dx$이다. (4점)

3줄 (30%)정적분을 계산하면 $S = \dfrac{1}{6}(5 - 1)^3 = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}$이다. (3점)