부등식 $9^x - 12\cdot 3^x + 27 \le 0$을 만족시키는 실수 $x$에 대하여 함수 $W(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 15$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (10점)

둘레의 길이가 $28$인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 $r$, 호의 길이 $l$, 중심각의 크기 $\theta$ (라디안)에 대하여 $r + l + \theta$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 $a$에 대하여 곡선 $y = f(x) = ax^3$과 그 역함수 곡선 $y = g(x)$를 좌표평면에 나타내었다. 점 $(2, f(2))$에서 곡선 $y=f(x)$에 접하는 직선이 점 $(3, 5)$를 지날 때, 원점 대칭인 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$가 둘러싸는 도형의 전체 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

합 $K = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)}$의 값을 기약분수 $\dfrac{q}{p}$로 나타낼 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$과 두 곡선 $y = \log_3(x-1)$, $y = \log_9(7-x)$의 교점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하자. 점 $R_n(4, -n-2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 할 때, 첫 두 항의 합에 $81$을 곱한 $81(a_1 + a_2)$의 값을 구하시오. (10점)

극한 등식 $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{3x + 1} - \alpha}{x - 5} = \beta$가 성립하도록 하는 두 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 $8\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

다항식 $x^8 - px^2 + q$를 $(x - 1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $6x - 5$일 때, 두 상수 $p, q$에 대하여 $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 $[0, 3]$에서 삼차함수 $V(x) = x^3 - 3x^2 + c$의 최댓값이 $11$일 때, 같은 구간에서 함수 $V(x)$의 최솟값을 구하시오. (단, $c$는 상수이다.) (10점)

정적분 $J = \displaystyle\int_{-3}^3 (5x^7 - 2x^5 + x^2 - 9x + 4)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)