두 양의 실수 $u, v$가 $\sqrt[3]{u^4} = 27$, $\sqrt[4]{v^5} = 32$를 만족시킬 때, 지수식 $\left(\dfrac{u^{2/3}}{v^{1/2}}\right)^2 \cdot v^{7/4}$의 값을 계산하는 과정과 답을 기술하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 두 변의 길이가 $\overline{AB} = 6$, $\overline{AC} = 10$이고 $\cos A = \dfrac{3}{5}$이다. 변 $BC$의 길이 $l$과 삼각형 $ABC$의 외접원의 넓이 $W$를 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

양의 상수 $a$에 대하여 삼차함수 $f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{2}x$와 그 역함수 $g(x)$의 그래프가 그림과 같다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서 그은 접선이 $y$축과 점 $(0, -3)$에서 만날 때, 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S$라 하자. $2S$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $5$인 등차수열 $\{u_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $T_n$이라 하자. $T_9 - T_6 = 99$일 때, 공차 $d$와 제$15$항 $u_{15}$를 차례대로 구하시오. (10점)

자연수 $n$마다 수평선 $y = n$이 두 로그곡선 $y = \log_{1/2}(x-2)$, $y = \log_{1/4}(6-x)$와 만나는 교점을 $P_n, Q_n$이라 하고, 꼭짓점 $R_n(4, n+2)$를 연결한 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$이 $a_n + b_n = 4 - \dfrac{1}{3\cdot 2^n}$을 만족시킬 때, 첫째항부터 제$3$항까지의 합 $S_3$에 대하여 $192 S_3$를 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $P(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x - 2)P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$를 만족시킨다. 상수 $k$와 $P(2)$의 곱 $k \cdot P(2)$를 구하시오. (10점)

삼차함수 $H(x) = x^3 - 3mx^2 + 9mx - 7$이 극값을 갖지 않도록 하는 모든 정수 $m$의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (10점)

다항함수 $Q(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle\int_3^x Q(t)\,dt = x^3 - cx^2 + 5x - 6$을 만족시킬 때, 상수 $c$와 $Q(c)$의 값을 각각 구하시오. (10점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 질점 $M$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 5$)에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 시각 $t = 0$부터 $t = 5$까지 질점 $M$이 실제로 움직인 거리 $L$을 구하시오. (10점)