방정식 $3\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+6\sin x+a=2$가 실근을 갖도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M-m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = \dfrac{53}{50}$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}$$을 만족시킨다. $a_{2500} = \dfrac{q}{p}$일 때, $\sqrt{p}+q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=ax^3$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, f(3))$에서의 접선이 점 $(4, 6)$을 지날 때, 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

$a = \log_8 9,\ b = \log_{27} 25$일 때, $$\log_5 10 = 1 + \dfrac{1}{pab}, \quad \log_6 10 = \dfrac{1+pab}{1+qa}$$를 만족시키는 유리수 $p, q$에 대하여 $4p + 2q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = -n$이 두 곡선 $y = \log_2(x-1)$, $y = \log_4(5-x)$와 만나는 점을 각각 $P_n, Q_n$이라 하고, 점 $R_n(3, -n-1)$에 대하여 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $128 S_3$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_1^x f(t)\,dt = x^4 + ax^3 + x^2\int_0^2 t f'(t)\,dt - 11x$$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값과 $f(2)$의 값의 합 $a + f(2)$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(x)-2x} = \dfrac{1}{2}$일 때, $$\lim_{x \to 0} \dfrac{12x f(x) + 3\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 - 5x f(x) - 4x^2}$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 $k$에 대하여 정의역이 $\{x \mid x \gt 0\}$인 두 함수 $f(x) = \log_2(x + 2^k)$, $g(x) = \log_2(3x)$가 있다. 함수 $h(x)$를 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) \le g(x)) \\ g(x) & (f(x) \gt g(x)) \end{cases}$$라 할 때, 방정식 $h(x) = k + 1$의 실근을 $a_k$라 하자. $\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

이차함수 $f(x) = x^2 + ax + b$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $a, b$에 대하여 $f(a+b)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)