방정식 ${}3\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+6\sin x+a=2$가 실근을 갖도록 하는 실수 ${}a$의 최댓값을 ${}M$, 최솟값을 ${}m$이라 할 때, ${}M-m$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

수열 ${}\{a_n\}$이 ${}a_1 = \dfrac{53}{50}$이고, 모든 자연수 ${}n$에 대하여 $${}a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}$$을 만족시킨다. ${}a_{2500} = \dfrac{q}{p}$일 때, ${}\sqrt{p}+q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, ${}p$와 ${}q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

양수 ${}a$에 대하여 함수 ${}f(x)=ax^3$의 역함수를 ${}g(x)$라 하자. 곡선 ${}y=f(x)$ 위의 점 ${}(3, f(3))$에서의 접선이 점 ${}(4, 6)$을 지날 때, 두 곡선 ${}y=f(x)$와 ${}y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 ${}S$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

${}a = \log_8 9,\ b = \log_{27} 25$일 때, $${}\log_5 10 = 1 + \dfrac{1}{pab}, \quad \log_6 10 = \dfrac{1+pab}{1+qa}$$를 만족시키는 유리수 ${}p, q$에 대하여 ${}4p + 2q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 ${}n$에 대하여 직선 ${}y = -n$이 두 곡선 ${}y = \log_2(x-1)$, ${}y = \log_4(5-x)$와 만나는 점을 각각 ${}P_n, Q_n$이라 하고, 점 ${}R_n(3, -n-1)$에 대하여 삼각형 ${}P_n Q_n R_n$의 넓이를 ${}a_n$이라 하자. 수열 ${}\{a_n\}$의 첫째항부터 제${}n$항까지의 합을 ${}S_n$이라 할 때, ${}128 S_3$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

다항함수 ${}f(x)$가 모든 실수 ${}x$에 대하여 $${}\int_1^x f(t)\,dt = x^4 + ax^3 + x^2\int_0^2 t f'(t)\,dt - 11x$$를 만족시킬 때, 상수 ${}a$의 값과 ${}f(2)$의 값의 합 ${}a + f(2)$를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

함수 ${}f(x)$에 대하여 ${}\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(x)-2x} = \dfrac{1}{2}$일 때, $${}\lim_{x \to 0} \dfrac{12x f(x) + 3\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 - 5x f(x) - 4x^2}$$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

자연수 ${}k$에 대하여 정의역이 ${}\{x \mid x \gt 0\}$인 두 함수 ${}f(x) = \log_2(x + 2^k)$, ${}g(x) = \log_2(3x)$가 있다. 함수 ${}h(x)$를 $${}h(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) \le g(x)) \\ g(x) & (f(x) \gt g(x)) \end{cases}$$라 할 때, 방정식 ${}h(x) = k + 1$의 실근을 ${}a_k$라 하자. ${}\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

이차함수 ${}f(x) = x^2 + ax + b$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 ${}a, b$에 대하여 ${}f(a+b)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 양의 실수 ${}u, v$가 ${}\sqrt[3]{u^4} = 27$, ${}\sqrt[4]{v^5} = 32$를 만족시킬 때, 지수식 ${}\left(\dfrac{u^{2/3}}{v^{1/2}}\right)^2 \cdot v^{7/4}$의 값을 계산하는 과정과 답을 기술하시오. (10점)

삼각형 ${}ABC$에서 두 변의 길이가 ${}\overline{AB} = 6$, ${}\overline{AC} = 10$이고 ${}\cos A = \dfrac{3}{5}$이다. 변 ${}BC$의 길이 ${}l$과 삼각형 ${}ABC$의 외접원의 넓이 ${}W$를 각각 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

양의 상수 ${}a$에 대하여 삼차함수 ${}f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{2}x$와 그 역함수 ${}g(x)$의 그래프가 그림과 같다. 곡선 ${}y=f(x)$ 위의 점 ${}(3, f(3))$에서 그은 접선이 ${}y$축과 점 ${}(0, -3)$에서 만날 때, 두 곡선 ${}y=f(x), y=g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 ${}S$라 하자. ${}2S$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 ${}5$인 등차수열 ${}\{u_n\}$의 첫째항부터 제${}n$항까지의 합을 ${}T_n$이라 하자. ${}T_9 - T_6 = 99$일 때, 공차 ${}d$와 제${}15$항 ${}u_{15}$를 차례대로 구하시오. (10점)

자연수 ${}n$마다 수평선 ${}y = n$이 두 로그곡선 ${}y = \log_{1/2}(x-2)$, ${}y = \log_{1/4}(6-x)$와 만나는 교점을 ${}P_n, Q_n$이라 하고, 꼭짓점 ${}R_n(4, n+2)$를 연결한 삼각형 ${}P_n Q_n R_n$의 넓이를 ${}a_n$이라 하자. 수열 ${}\{b_n\}$이 ${}a_n + b_n = 4 - \dfrac{1}{3\cdot 2^n}$을 만족시킬 때, 첫째항부터 제${}3$항까지의 합 ${}S_3$에 대하여 ${}192 S_3$를 구하시오. (10점)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 ${}P(x)$가 모든 실수 ${}x$에 대하여 ${}(x - 2)P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$를 만족시킨다. 상수 ${}k$와 ${}P(2)$의 곱 ${}k \cdot P(2)$를 구하시오. (10점)

삼차함수 ${}H(x) = x^3 - 3mx^2 + 9mx - 7$이 극값을 갖지 않도록 하는 모든 정수 ${}m$의 개수를 구하고 그 근거를 서술하시오. (10점)

다항함수 ${}Q(x)$가 모든 실수 ${}x$에 대하여 ${}\displaystyle\int_3^x Q(t)\,dt = x^3 - cx^2 + 5x - 6$을 만족시킬 때, 상수 ${}c$와 ${}Q(c)$의 값을 각각 구하시오. (10점)

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 질점 ${}M$의 시각 ${}t$ (${}0 \le t \le 5$)에서의 속도가 ${}v(t) = 3t^2 - 12t + 9$이다. 시각 ${}t = 0$부터 ${}t = 5$까지 질점 ${}M$이 실제로 움직인 거리 ${}L$을 구하시오. (10점)

부등식 ${}9^x - 12\cdot 3^x + 27 \le 0$을 만족시키는 실수 ${}x$에 대하여 함수 ${}W(x) = 4^x - 6\cdot 2^x + 15$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (10점)

둘레의 길이가 ${}28$인 부채꼴 중에서 넓이가 최대인 부채꼴의 반지름의 길이 ${}r$, 호의 길이 ${}l$, 중심각의 크기 ${}\theta$ (라디안)에 대하여 ${}r + l + \theta$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 ${}a$에 대하여 곡선 ${}y = f(x) = ax^3$과 그 역함수 곡선 ${}y = g(x)$를 좌표평면에 나타내었다. 점 ${}(2, f(2))$에서 곡선 ${}y=f(x)$에 접하는 직선이 점 ${}(3, 5)$를 지날 때, 원점 대칭인 두 곡선 ${}y=f(x), y=g(x)$가 둘러싸는 도형의 전체 넓이 ${}S$를 구하시오. (10점)

합 ${}K = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} \dfrac{4}{(2k - 1)(2k + 1)}$의 값을 기약분수 ${}\dfrac{q}{p}$로 나타낼 때, ${}p + q$의 값을 구하시오. (단, ${}p, q$는 서로소인 자연수이다.) (10점)

자연수 ${}n$에 대하여 직선 ${}y = -n$과 두 곡선 ${}y = \log_3(x-1)$, ${}y = \log_9(7-x)$의 교점을 각각 ${}P_n, Q_n$이라 하자. 점 ${}R_n(4, -n-2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ${}P_n Q_n R_n$의 넓이를 ${}a_n$이라 할 때, 첫 두 항의 합에 ${}81$을 곱한 ${}81(a_1 + a_2)$의 값을 구하시오. (10점)

극한 등식 ${}\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{3x + 1} - \alpha}{x - 5} = \beta$가 성립하도록 하는 두 실수 ${}\alpha, \beta$에 대하여 ${}8\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

다항식 ${}x^8 - px^2 + q$를 ${}(x - 1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 ${}6x - 5$일 때, 두 상수 ${}p, q$에 대하여 ${}p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (10점)

닫힌구간 ${}[0, 3]$에서 삼차함수 ${}V(x) = x^3 - 3x^2 + c$의 최댓값이 ${}11$일 때, 같은 구간에서 함수 ${}V(x)$의 최솟값을 구하시오. (단, ${}c$는 상수이다.) (10점)

정적분 ${}J = \displaystyle\int_{-3}^3 (5x^7 - 2x^5 + x^2 - 9x + 4)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (10점)

두 양의 실수 ${}\alpha, \beta$가 ${}6^\alpha = 7^\beta = 42$를 만족시킬 때, ${}\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

반지름의 길이가 ${}8$인 원에 내접하는 삼각형 ${}ABC$에서 ${}\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{15}{8}$일 때, 삼각형 ${}ABC$의 둘레의 길이를 구하시오. (10점)

양수 ${}a$에 대하여 단조증가하는 삼차함수 ${}f(x) = ax^3 + \dfrac{1}{3}x$의 역함수를 ${}g(x)$라 하자. 점 ${}(2, f(2))$에서의 접선의 ${}y$절편이 ${}-\dfrac{8}{3}$일 때, 그림과 같이 두 그래프 ${}y=f(x)$와 ${}y=g(x)$가 둘러싸는 영역의 넓이 ${}S$에 대하여 ${}3S$를 구하시오. (10점)

수열 ${}\{w_n\}$의 첫째항부터 제${}n$항까지의 합 ${}S_n$이 ${}S_n = 3n^2 - 2n + 4$일 때, ${}w_1 + w_7$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 ${}n$에 대하여 수평선 ${}y = -n$이 두 로그함수 ${}y = \log_2(x-2)$ 및 ${}y = \log_4(8-x)$의 그래프와 만나는 점을 ${}P_n, Q_n$이라 하고, 점 ${}R_n(5, -n-2)$와 이루는 삼각형 ${}P_n Q_n R_n$의 넓이를 ${}a_n$이라 하자. ${}\displaystyle\sum_{n=1}^4 (6 - a_n) = \dfrac{q}{p}$일 때 서로소인 두 자연수의 합 ${}p+q$를 구하시오. (10점)

이차함수 ${}M(x) = 2x^2 - 5x + 1$에 대하여 닫힌구간 ${}[1, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 ${}c$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

모든 실수 ${}x$에 대하여 부등식 ${}x^4 - 4x^3 + \lambda \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 ${}\lambda$의 최솟값을 구하시오. (10점)

연속함수 ${}F(x)$가 모든 실수 ${}x$에 대하여 ${}F(x) = 3x^2 - 4x + \displaystyle\int_0^2 F(t)\,dt$를 만족시킬 때, ${}F(3)$의 값을 구하시오. (10점)

이차곡선 ${}y = x^2 - 5x + 6$과 직선 ${}y = x + 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 ${}S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

방정식 $(\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 1 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (10점)

실수 $\theta$가 $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$을 만족시킬 때, $16(\sin^3\theta + \cos^3\theta)$의 값을 구하시오. (10점)

음이 아닌 실수 $x \ge 0$에서 정의된 삼차함수 $f(x) = ax^3$ ($a \gt 0$)과 역함수 $g(x)$가 제$1$사분면에서 만나는 도형이 그림과 같다. 곡선 위의 점 $(4, f(4))$에서의 접선이 점 $(2, -2)$를 지날 때, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

모든 항이 양수인 등비수열 $\{z_n\}$이 $z_2 = 6$, $z_4 + z_5 = 72$를 만족시킬 때, 제$6$항 $z_6$의 값을 구하시오. (10점)

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 대칭인 두 곡선 $y = \log_{1/2}(x-1)$, $y = \log_{1/2}(9-x)$와 만나는 점을 $P_n, Q_n$이라 하자. 고정점 $R_n(5, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $P_n Q_n R_n$의 넓이 $a_n$에 대하여 $b_n = 4n - a_n$이라 할 때, $16\displaystyle\sum_{n=1}^4 b_n$을 구하시오. (10점)

다항함수 $B(x)$가 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{B(x) - x^3}{x^2} = 4$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{B(x)}{x - 1} = 6$을 만족시킬 때, $B(2)$의 값을 구하시오. (10점)

삼차방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)

삼차함수 $U(x)$의 도함수 $U'(x)$가 $U'(x) = 3x^2 - 6x$이고 $U(0) = 2$일 때, 정적분 $\displaystyle\int_0^3 U(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

삼차곡선 $y = x^3 - 2x$ 위의 점 $(1, -1)$에서의 접선과 이 삼차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 기약분수로 구하시오. (10점)

$a \gt 0,\ b \gt 0$이고, 함수 $f(x)=a\sin\dfrac{x}{2b}+c$의 주기가 $4\pi$, 최솟값이 $-3$이다. $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$일 때, $a\times b\times c$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

일차함수 $f(x)=a(x+2)$와 이차함수 $g(x)=b(x+c)^2$이 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.두 함수 $y=\log_2 f(x)$, $y=\log_2\sqrt{g(x)}$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

첫째항이 $2\sqrt{2}$인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\log_2\dfrac{a_2a_8}{a_3a_4a_6}=6$일 때, $a_m=\dfrac{1}{2^{21}}$을 만족시키는 자연수 $m$과 공비의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

직선 $y=\dfrac{1}{2}x$가 곡선 $y=\sqrt{x}$와 만나는 점 중 원점 $O$가 아닌 점을 $A$라 하고, 점 $B(t,\sqrt{t})$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하자. 곡선 $y=x^2$과 $x$축 및 두 직선 $x=t,\ x=4$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t\to4-}\dfrac{S(t)}{T(t)}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $0 \lt t \lt 4$)

사차함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+2$가 있다. 실수 $t$에 대하여 방정식 $|f(x)|=t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t\to2+}g(t)+\lim_{t\to2-}g(t)+g(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(-1)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $f(x)$의 계수는 모두 정수이다.)

상수 $a\ (a \gt 0)$에 대하여 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-4) & (x\ge0)\end{cases}$이다. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 하고, 점 $(0,-18)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선의 방정식을 $y=h(x)$라 하자. $\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$를 만족시키는 모든 실수 $k$의 값의 합이 $2$일 때, 곡선 $y=ax(x-4)$와 $y$축 및 직선 $y=h(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

$0\le x\le\dfrac{4\pi}{3}$일 때, 방정식 $$\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+a\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{6}\right)-a\cos\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)+3a-4=0$$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 정수 $a$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

양수 $a$가 $a^{1/2} + a^{-1/2} = 4$를 만족시킬 때, $\dfrac{a^2 + a^{-2} + 2}{a^{3/2} + a^{-3/2}}$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

함수 $\psi(x) = 3\cos\dfrac{\pi x}{4} + 2$의 주기를 $P$라 할 때, $P + \psi(1) + \psi(2) + \psi(3) + \psi(4)$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $2$이고 공비가 $4$인 등비수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \log_2 b_k$의 값을 구하시오. (10점)

원점 $O$가 아닌 교점 $A$에서 만나는 직선 $y=x$와 무리곡선 $y=\sqrt{x}$가 있다. 곡선 위의 동점 $B(t, \sqrt{t})$ ($0 \lt t \lt 1$)에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하고, 직선 $y=x$와 포물선 $y=x^2$ 및 직선 $x=t$로 둘러싸인 넓이를 $S(t)$라 할 때, 극한 $\displaystyle\lim_{t\to 1-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

두 다항함수 $\phi(x), \omega(x)$가 $\phi(1) = 3,\ \phi'(1) = -2,\ \omega(1) = 4,\ \omega'(1) = 5$를 만족시킬 때, 곡선 $y = (x^2 + 1)\phi(x)\omega(x)$ 위의 점 $(1, 24)$에서의 접선의 기울기를 구하시오. (10점)

삼차함수 $G(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$에 대하여 $M + m$과 $M - m$의 값을 각각 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 구간별 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-3) & (x\ge 0)\end{cases}$이 주어져 있다. 방정식 $f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, $\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$인 모든 실수 $k$의 합이 $0$이다. 점 $(0,-48)$에서 곡선에 그은 접선 $y=h(x)$와 곡선 $y=ax(x-3)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이를 구하시오. (10점)

정적분 $I = \displaystyle\int_{-1}^2 (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx + \int_2^3 (4x^3 - 6x^2 + 2)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

수열 $\{c_n\}$이 $c_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $c_{n+1} = c_n + 2n + 3$을 만족시킬 때, $c_{10}$의 값을 구하시오. (10점)

로그 연산식 $E = (\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 16 + \log_9 4)$의 값을 구하시오. (10점)

예각삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 8$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $10\sqrt{3}$일 때, 변 $AC$의 길이를 구하시오. (10점)

급수 $S = \displaystyle\sum_{k=1}^8 (3k - 1)(k + 2)$의 값을 구하시오. (10점)

무리함수 $y=\sqrt{x}$의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{3}x$의 원점 아닌 교점을 $A$라 하자. 점 $B(t, \sqrt{t})$ ($0 \lt t \lt 9$)에 대한 삼각형 $OAB$의 넓이 $T(t)$와, 포물선 $y=x^2$ 및 $x$축, 두 직선 $x=t, x=9$로 둘러싸인 넓이 $S(t)$의 비의 극한 $\displaystyle\lim_{t\to 9-} \dfrac{S(t)}{T(t)}$를 구하시오. (10점)

함수 $L(x) = \begin{cases} x^3 - ax + 2 & (x \lt 2) \\ bx^2 - 3x + 4 & (x \ge 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 미분가능할 때, 두 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오. (10점)

두 곡선 $y = x^3 + ax + 1$과 $y = bx^2 + 4$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 두 상수 $a, b$의 합 $a + b$의 값을 구하시오. (10점)

양의 상수 $a$와 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-2) & (x\ge 0)\end{cases}$에 대하여, 방정식 $f(x)=f(t)$의 실근의 개수 함수 $g(t)$가 $\left|\displaystyle\lim_{t\to k+}g(t)-\lim_{t\to k-}g(t)\right|=2$를 만족시키는 모든 $k$의 합이 $0$이다. 점 $(0,-32)$에서 그은 접선 $y=h(x)$와 곡선 $y=ax(x-2)$ 및 $y$축 사이의 넓이를 기약분수로 구하시오. (10점)

정적분 $A = \displaystyle\int_0^4 |x^2 - 3x|\,dx$의 값을 기약분수로 구하시오. (10점)

두 포물선 $y = 2x^2 - 4x + 1$과 $y = -x^2 + 2x + 10$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오. (10점)

로그부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \le 3$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오. (10점)

$x$에 대한 이차방정식 $x^2 - (2\sin\theta)x + \cos^2\theta = 0$이 실근을 갖도록 하는 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)의 범위가 $\alpha \le \theta \le \beta$일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오. (10점)

첫째항이 $37$이고 공차가 $-4$인 등차수열 $\{d_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$과 그때의 최댓값 $M$을 각각 구하시오. (10점)

직선 $y=\dfrac{1}{2}x$와 곡선 $y=\sqrt{x}$의 제$1$사분면 교점을 $A$라 하고, 곡선 위의 점 $B(t, \sqrt{t})$ ($0 \lt t \lt 4$)와 원점 $O$가 이루는 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하자. 두 그래프 $y=\sqrt{x}, y=\dfrac{1}{2}x$와 직선 $x=t$ 사이의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{t\to 4-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

이차함수 $R(x) = x^2 + px + q$가 $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{R(x)}{x^2 - 9} = \dfrac{2}{3}$를 만족시킬 때, $R(5)$의 값을 구하시오. (10점)

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 접하고 기울기가 $9$인 두 직선의 $y$절편의 합을 구하시오. (10점)

양수 $a$에 대하여 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-6) & (x\ge 0)\end{cases}$에서 실근 개수 함수 $g(t)$의 좌·우극한 차의 절댓값이 $2$가 되는 모든 $k$의 값의 합이 $3$이다. 점 $(0,-27)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선 $y=h(x)$와 곡선 $y=ax(x-6)$ 및 $y$축이 둘러싸는 넓이를 구하시오. (10점)

함수 $W(x) = \displaystyle\int_1^x (3t^2 - 15t + 12)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오. (10점)

직선 궤도를 $24\,\text{m/s}$의 속도로 달리던 열차가 제동을 건 후 $t$초에서의 속도가 $v(t) = 24 - 4t$ ($\text{m/s}$)라 한다. 제동을 건 순간부터 열차가 완전히 정지할 때까지 이동한 거리 $D$를 구하시오. (10점)

함수 $y = 2^{x - m} + n$의 그래프의 점근선이 직선 $y = -3$이고, 이 그래프가 점 $(2, 5)$를 지날 때, 두 상수 $m, n$에 대하여 $m + n$의 값을 구하시오. (10점)

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$일 때, 가장 큰 내각 $C$의 크기(라디안)를 구하시오. (10점)

합 $T = \displaystyle\sum_{k=1}^{21} \dfrac{3}{\sqrt{3k + 1} + \sqrt{3k - 2}}$의 값을 구하시오. (10점)

포물선 $y=x^2$과 직선 $y=2x$의 원점 아닌 교점 $A$ 및 곡선 위의 점 $B(t, t^2)$ ($0 \lt t \lt 2$)가 이루는 삼각형 $OAB$의 넓이를 $T(t)$라 하자. 직선 $y=4x$와 삼차곡선 $y=x^3$ 및 $x=t, x=2$로 둘러싸인 넓이를 $S(t)$라 할 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{t\to 2-} \dfrac{S(t)}{\{T(t)\}^2}$을 구하시오. (10점)

함수 $J(x) = \dfrac{2x + 5}{x^2 - 2kx + 3k + 4}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 합을 구하시오. (10점)

삼차함수 $N(x) = x^3 + 3ax^2 + (6a + 9)x + 5$의 역함수가 존재하도록 하는 실수 $a$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$에 대하여 $M - m$의 값을 구하시오. (10점)

양의 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=\begin{cases}x^3 & (x \lt 0)\\ ax(x-4) & (x\ge 0)\end{cases}$과 방정식 $f(x)=f(t)$의 실근 개수 $g(t)$가 있다. 좌·우극한 차가 $2$인 모든 $k$의 합이 $0$일 때, 점 $(0,-64)$에서 그은 접선 $y=h(x)$와 이차곡선 $y=ax(x-4)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이를 기약분수로 구하시오. (10점)

다항함수 $Z(x) = 4x^3 - 5x + 3$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2} \int_2^x Z(t)\,dt$를 구하시오. (10점)

상수 $k$ ($k \gt 3$)에 대하여 곡선 $y = x(x - 3)$과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이와, 이 곡선과 $x$축 및 직선 $x = k$로 둘러싸인 부분($3 \le x \le k$)의 넓이가 서로 같을 때, $k$의 값을 구하시오. (10점)