1) 거듭제곱근의 실근 개수 정의:
\(n\)이 홀수일 때, 실수 \(a\)의 부호에 관계없이 실수인 \(n\)제곱근은 오직 1개 존재하므로 \(f(a, n) = 1\)이다.
\(n\)이 짝수일 때, \(a > 0\)이면 2개, \(a = 0\)이면 1개, \(a < 0\)이면 0개 존재한다.
2) 각 값 계산:
- \(f(-8, 3)\): \(n=3\) (홀수)이므로 \(f(-8, 3) = 1\).
- \(f(16, 4)\): \(n=4\) (짝수)이고 \(a = 16 > 0\)이므로 \(f(16, 4) = 2\).
- \(f(-5, 6)\): \(n=6\) (짝수)이고 \(a = -5 < 0\)이므로 \(f(-5, 6) = 0\).
3) 총합: \(f(-8, 3) + f(16, 4) + f(-5, 6) = 1 + 2 + 0 = 3\).

1) 로그의 진수 조건:
\(x - 2 > 0 \implies x > 2\)이고 \(x + 6 > 0 \implies x > -6\).
공통 범위: \(x > 2\) …… ①
2) 로그부등식 풀이:
\(\log_3\{(x - 2)(x + 6)\} \le \log_3 3^2 = \log_3 9\).
밑이 3(> 1)이므로 진수의 부등호 방향은 유지된다:
\((x - 2)(x + 6) \le 9 \iff x^2 + 4x - 12 \le 9 \iff x^2 + 4x - 21 \le 0\).
\((x + 7)(x - 3) \le 0 \implies -7 \le x \le 3\) …… ②
3) ①과 ②의 공통 범위: \(2 < x \le 3\).
따라서 만족하는 정수 \(x\)는 \(x = 3\)으로 1개이다.

1) 등차수열의 일반항:
\(a_n = 45 + (n - 1)(-4) = -4n + 49\).
2) 양수 항의 판정:
\(a_n > 0 \iff -4n + 49 > 0 \iff 4n < 49 \iff n < 12.25\).
따라서 제 1항부터 제 12항까지는 양수이고, 제 13항부터는 음수이다 (
\(a_{12} = -48 + 49 = 1\), \(a_{13} = -52 + 49 = -3\)).
따라서 부분합 \(S_n\)은 양수 항만 더한 \(n = 12\)일 때 최대가 된다.
3) 최댓값 계산:
\(S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = 6(45 + 1) = 6 \times 46 = 276\).

1) 무한대 극한 조건 분석:
\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^2 + 3} = 3\)이므로 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(2 \times 3 = 6\)인 2차 다항함수이다.
따라서 \(f(x) = 6x^2 + ax + b\)라 둘 수 있다.
2) \(x \to 1\) 극한 조건 분석:
\(x \to 1\)일 때 분모 \(\to 0\)이고 극한값이 수렴하므로 분자 \(f(1) = 0\)이어야 한다.
\(f(1) = 6 + a + b = 0 \implies b = -a - 6\).
\(f(x) = 6x^2 + ax - a - 6 = 6(x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(6x + 6 + a)\).
3) 극한값 대입:
\(\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(6x + 6 + a)}{x - 1} = 6(1) + 6 + a = 12 + a = 8 \implies a = -4\).
\(b = -(-4) - 6 = -2\).
따라서 \(f(x) = 6x^2 - 4x - 2\).
4) \(f(2)\) 계산: \(f(2) = 6(4) - 4(2) - 2 = 24 - 8 - 2 = 14\).

1) 도함수 계산:
\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\).
2) 극값 조건: \(x = 1, 3\)에서 극값을 가지므로 \(f'(1) = 0, f'(3) = 0\).
\(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9\).
계수 비교: \(2a = -12 \implies a = -6\), \(b = 9\).
3) 상수 \(c\) 산출:
\(f(1) = 1 + a + b + c = 1 - 6 + 9 + c = 4 + c = 7 \implies c = 3\).
따라서 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3\).
4) 극솟값 계산: \(x = 3\)에서의 함숫값
\(f(3) = 27 - 6(9) + 9(3) + 3 = 27 - 54 + 27 + 3 = 3\).

1) 교점의 \(x\)좌표 구하기:
\(x^2 - 2x = x \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \implies x = 0, 3\).
2) 상하 관계 판정:
구간 \([0, 3]\)에서 \(x \ge x^2 - 2x\) (직선이 곡선보다 위에 위치).
3) 정적분 넓이 계산:
\[ S = \int_0^3 \{x - (x^2 - 2x)\}\,dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx \].
\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^3 = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} \].
(이차함수와 직선 공식: \(\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6}(3 - 0)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\))