1) \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = 4 \implies 3^x = 2\) (\(3^x > 0\)).
\(3^{-x} = \frac{1}{3^x} = \frac{1}{2}\).
2) 삼차 곱셈공식 변형:
\(3^{3x} + 3^{-3x} = (3^x + 3^{-x})^3 - 3 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}(3^x + 3^{-x}) = (3^x + 3^{-x})\{(3^x + 3^{-x})^2 - 3\}\).
3) 분수식 약분 및 대입:
\[ \frac{3^{3x} + 3^{-3x}}{3^x + 3^{-x}} = (3^x + 3^{-x})^2 - 3 \].
\(3^x + 3^{-x} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)이므로,
\[ \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 3 = \frac{25}{4} - 3 = \frac{25 - 12}{4} = \frac{13}{4} \].

1) 주기 계산: \(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi\).
2) 최댓값 계산: \(M = |a| + d = |3| + 1 = 3 + 1 = 4\).
3) 최솟값 계산: \(m = -|a| + d = -3 + 1 = -2\).

1) 등비수열 일반항 표현:
\(a_1(1 + r) = 6\) …… ①
\(a_3 + a_4 = a_1 r^2(1 + r) = 24\) …… ②
2) ②를 ①로 나누면:
\(r^2 = \frac{24}{6} = 4 \implies r = 2\) (단, 모든 항이 양수인 조건 또는 실비).
\(r = 2\)일 때 ①에서 \(a_1(1 + 2) = 6 \implies 3a_1 = 6 \implies a_1 = 2\).
3) 제 5항 계산: \(a_5 = a_1 r^4 = 2 \times 2^4 = 2 \times 16 = 32\).

1) 연속성의 정의: \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = b\).
2) 극한값 존재 조건: \(x \to 2\)일 때 분모 \(\to 0\)이므로 분자도 \(\to 0\)이어야 한다.
\(2^2 + 2a - 6 = 0 \iff 4 + 2a - 6 = 0 \iff 2a = 2 \implies a = 1\).
3) 극한값 계산:
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5\).
4) 함숫값과 일치: \(b = 5\).

1) 도함수 계산:
\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)\).
2) 임계점: \(x = 0, 1, 2\).
- \(x = 0\): 극솟값 \(f(0) = 1\).
- \(x = 1\): 극댓값 \(f(1) = 1 - 4 + 4 + 1 = 2\).
- \(x = 2\): 극솟값 \(f(2) = 16 - 32 + 16 + 1 = 1\).

1) 운동 방향을 바꾸는 시각: \(v(t) = 0\)이고 부호가 바뀌는 순간.
\(3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0 \implies t = 1, 3\).
따라서 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)이다.
2) 이동 거리: \(s = \int_0^3 |v(t)|\,dt = \int_0^1 (3t^2 - 12t + 9)dt + \int_1^3 -(3t^2 - 12t + 9)dt\).
- \(\int_0^1 (3t^2 - 12t + 9)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 = 1 - 6 + 9 = 4\).
- \(\int_1^3 -(3t^2 - 12t + 9)dt = -[t^3 - 6t^2 + 9t]_1^3 = -[(27 - 54 + 27) - 4] = 4\).
3) 총 움직인 거리: \(4 + 4 = 8\).