실수 \(a\)와 \(2 \le n \le 10\)인 자연수 \(n\)에 대하여, \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a, n)\)이라 하자. \(f(-8, 3) + f(16, 4) + f(-5, 6)\)의 값을 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.

부등식 \(\log_3(x - 2) + \log_3(x + 6) \le 2\)를 만족하는 모든 정수 \(x\)의 개수를 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.

첫째항이 45이고 공차가 \(-4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_n\)이 최대가 되는 자연수 \(n\)의 값과 그때의 최댓값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^2 + 3} = 3\)과 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 8\)을 만족할 때, \(f(2)\)의 값을 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 \(x = 1\)에서 극댓값 7을 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값을 가질 때, 상수 \(a, b, c\)의 값과 극솟값을 구하시오.

곡선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오.