2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집 | 9회 : 삼차함수 합성 점화식과 귀납법 · 타원 평행현 삼각형 최대 넓이 · 절댓값 꺾인 직선과 접원 반지름 · 우함수 대칭 정적분 미분 · 정사면체 이면각과 정사영

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 삼차함수 고정점 부등식과 합성 점화식 수열의 수학적 귀납법 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 미적분Ⅰ 도함수의 활용 (2022 이화여대 자연 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.11 탐구 7091 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \gt 0\)을 만족시키면 \(x_1 \lt x_2\)일 때 \(f(x_1) \lt f(x_2)\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 \(n = 1\)일 때 성립하고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정할 때 \(n = k + 1\)에서도 성립하면 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.

삼차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x\)와 첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)이고 \(a_{n+1} = f(a_n)\;(n \ge 1)\)으로 귀납적 정의된 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 방정식 \(f(x) = x\)의 모든 실근을 구하고, 도함수 \(f'(x)\)를 완전제곱식으로 변형하여 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가함을 보이시오.

[문항 1-2] (7점) 열린구간 \((0, 1)\)에 속하는 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x \lt f(x) \lt 1\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)의 수학적 귀납법을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{1}{2} \le a_n \lt a_{n+1} \lt 1\)이 성립함을 증명하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] 실근 \(x = 0, 1, 2\), \(f'(x) = \dfrac{3}{4}(x - 1)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0\) | [1-2] \(f(x) - x = \dfrac{1}{4}x(x-1)(x-2) \gt 0\) 및 \(f(x) \lt f(1) = 1\) | [1-3] 수학적 귀납법으로 증명

[소문항 1-1 풀이 (6점)] \(f(x) - x = \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{4}x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 실근은 \(x = 0, 1, 2\)이다. 또한 \(f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}(x - 1)^2 + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} \gt 0\)이므로 \(f(x)\)는 실수 전체에서 순증가한다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] \(0 \lt x \lt 1\)일 때 \(x \gt 0,\; x - 1 \lt 0,\; x - 2 \lt 0\)이므로 \(f(x) - x = \dfrac{1}{4}x(x - 1)(x - 2) \gt 0\), 즉 \(x \lt f(x)\)이다. 또한 \(f(x)\)가 증가함수이고 \(x \lt 1\)이므로 \(f(x) \lt f(1) = 1\)이 성립하여 \(x \lt f(x) \lt 1\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] (i) \(n = 1\)일 때 \(a_1 = \dfrac{1}{2} \in (0, 1)\)이므로 [문항 1-2]에 의해 \(\dfrac{1}{2} = a_1 \lt f(a_1) = a_2 \lt 1\)이 성립한다. (ii) \(n = k\)일 때 \(\dfrac{1}{2} \le a_k \lt a_{k+1} \lt 1\)이라 가정하면 \(f\)가 순증가함수이므로 \(f(1/2) \le f(a_k) \lt f(a_{k+1}) \lt f(1)\), 즉 \(\dfrac{1}{2} \lt a_{k+1} \lt a_{k+2} \lt 1\)이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(f(x) = x\)의 세 실근 \(0, 1, 2\) 도출 +3점 / \(f'(x) = \dfrac{3}{4}(x-1)^2 + \dfrac{3}{4} \gt 0\) 증명 +3점
소문항 [1-2]	• \((0, 1)\)에서 \(f(x) - x \gt 0\) 부호 판정 +4점 / 증가성으로 \(f(x) \lt f(1) = 1\) 증명 +3점
소문항 [1-3]	• \(n = 1\) 초기 성립 확인 +3점 / \(n = k \implies n = k+1\) 단조성 귀납 추론 완결 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 2022학년도 이화여대 자연계열 1번 기출의 핵심 구조인 \(f(x) - x\)의 인수분해 부호 판정과 \(a_{n+1} = f(a_n)\)의 수학적 귀납법 증명을 완벽하게 재현한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 타원에 내접하는 평행현 삼각형의 넓이 함수와 최댓값 (20점)

기하 Ⅰ-1. 타원 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2022 이화여대 자연 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.23 탐구 7092 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)과 축에 평행한 직선 \(x = t\;(-a \lt t \lt a)\)가 만나는 두 교점의 \(y\)좌표는 \(\pm\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - t^2}\)이다.
<제시문 (나)> 양수 값을 갖는 미분가능한 함수 \(S(t)\)는 제곱 함수 \(\{S(t)\}^2\)이 최대일 때 동시에 최대가 된다.

타원 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)의 오른쪽 꼭짓점을 \(\mathrm{A}(2, 0)\)이라 하고, 직선 \(x = t\;(-2 \lt t \lt 2)\)가 타원과 만나는 두 점을 \(\mathrm{P},\; \mathrm{Q}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 길이를 \(t\)에 대한 식으로 나타내고, 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(g(t) = \{S(t)\}^2 = \dfrac{1}{4}(2 - t)^3(2 + t)\)의 도함수 \(g'(t)\)를 구하여 구간 \((-2, 2)\)에서 \(g(t)\)가 최대가 되는 \(t\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 넓이 \(S(t)\)의 최댓값을 구하고, 그때 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)가 정삼각형인지 세 변의 길이를 비교하여 판별하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2},\; S(t) = \dfrac{1}{2}(2 - t)\sqrt{4 - t^2}\) | [2-2] \(g'(t) = -(2 - t)^2(t + 1) = 0\)에서 \(t = -1\) | [2-3] 최댓값 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\), \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{3} \ne \overline{\mathrm{AP}} = \dfrac{\sqrt{39}}{2}\)이므로 정삼각형 아님

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 타원 식에서 \(y^2 = 1 - \dfrac{t^2}{4} = \dfrac{4 - t^2}{4}\)이므로 \(y = \pm\dfrac{1}{2}\sqrt{4 - t^2}\)이고 \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2}\)이다. 밑변을 \(\overline{\mathrm{PQ}}\), 높이를 \(2 - t\)로 두면 넓이는 \(S(t) = \dfrac{1}{2}(2 - t)\sqrt{4 - t^2}\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] \(g(t) = \dfrac{1}{4}(2 - t)^3(2 + t)\)를 미분하면 \(g'(t) = \dfrac{1}{4}\left\{-3(2 - t)^2(2 + t) + (2 - t)^3\right\} = \dfrac{1}{4}(2 - t)^2(-4t - 4) = -(2 - t)^2(t + 1)\)이다. 따라서 \(t = -1\)에서 극대이자 최대가 된다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(t = -1\)을 대입하면 최댓값은 \(S(-1) = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot\sqrt{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)이다. 이때 \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \dfrac{\sqrt{39}}{2}\ne \sqrt{3}\)이므로 이등변삼각형이지만 정삼각형은 아니다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{4 - t^2}\) 도출 +3점 / 넓이 \(S(t) = \dfrac{1}{2}(2-t)\sqrt{4-t^2}\) 산출 +3점
소문항 [2-2]	• \(g'(t) = -(2 - t)^2(t + 1)\) 인수분해 +4점 / \(t = -1\) 도출 +3점
소문항 [2-3]	• 최대 넓이 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점 / 변의 길이 비교로 정삼각형 아님 판정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022학년도 이화여대 자연계열 2번 기출의 타원 내접 삼각형 넓이 최대화 문항으로, 무리함수 \(S(t)\)를 직접 미분하는 대신 제곱 함수 \(g(t) = \{S(t)\}^2\)을 미분하면 계산 실수를 완벽히 예방할 수 있습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 절댓값 꺾인 직선에 접하는 원의 반지름 함수와 정적분 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (2022 이화여대 자연 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 7093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 점 \((x_0, y_0)\)에서 직선 \(Ax + By + C = 0\)에 내린 수선의 발까지의 거리는 \(d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)이다.
<제시문 (나)> 원의 중심에서 직선에 내린 수선의 발이 반직선 위의 접점이 될 조건을 기준으로 중심의 위치 구간을 나누면 최소 거리(반지름) 함수를 다항식으로 구할 수 있다.

좌표평면 위의 함수 \(y = \dfrac{3}{4}|x| + 5\)의 그래프 \(G\)와 \(y\)축 위의 점 \(\mathrm{C}(0, s)\;(s \le 5)\)를 중심으로 하고 그래프 \(G\)에 접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(s)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 점 \(\mathrm{C}(0, s)\;(s \lt 5)\)에서 직선 \(3x - 4y + 20 = 0\)에 내린 수선의 길이 \(d(s)\)를 \(s\)에 대한 식으로 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 점 \(\mathrm{C}(0, s)\)에서 직선 \(3x - 4y + 20 = 0\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)의 \(x\)좌표가 \(0\) 이상이 되도록 하는 \(s\)의 범위를 구하고, \(s \le 5\)에서 그래프 \(G\)까지의 최단거리 \(r(s)\)가 \(d(s)\)와 일치함을 설명하시오.

[문항 3-3] (7점) 정적분 \(\int_{-5}^{5} r(s)\,ds\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(d(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\) | [3-2] \(s \le 5\)일 때 수선의 발 \(x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25} \ge 0\)이므로 \(r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\) | [3-3] \(40\)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] 점 \((0, s)\;(s \le 5)\)에서 직선 \(3x - 4y + 20 = 0\)까지의 거리는 \(d(s) = \dfrac{|-4s + 20|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{4(5 - s)}{5}\)이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] 점 \(\mathrm{C}(0, s)\)를 지나고 직선 \(3x - 4y + 20 = 0\)에 수직인 직선은 \(y = -\dfrac{4}{3}x + s\)이다. 두 직선을 연립하면 \(\dfrac{25}{12}x = 5 - s \implies x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25}\)이므로 \(s \le 5\)인 모든 실수 \(s\)에서 \(x_{\mathrm{H}} \ge 0\)이 되어 수선의 발이 반직선 \(G\) 위에 놓인다. 따라서 \(r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\)이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] \(\int_{-5}^{5} r(s)\,ds = \dfrac{4}{5}\int_{-5}^{5} (5 - s)\,ds = \dfrac{4}{5}\left[5s - \dfrac{1}{2}s^2\right]_{-5}^{5} = \dfrac{4}{5}\times 50 = 40\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 점과 직선 사이 거리 공식 적용 +3점 / \(d(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 수선의 발 \(x_{\mathrm{H}} = \dfrac{12(5 - s)}{25} \ge 0\) 확인 +4점 / \(r(s) = \dfrac{4}{5}(5 - s)\) 결정 +3점
소문항 [3-3]	• 정적분 \(\dfrac{4}{5}\int_{-5}^{5}(5 - s)\,ds\) 설정 +3점 / 적분값 \(40\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 2022학년도 이화여대 자연계열 3번 기출을 반영한 문항으로, \(y\)축 위의 점 \((0, s)\;(s \le 5)\)에서 반직선 \(y = \dfrac{3}{4}x + 5\;(x \ge 0)\)에 내린 수선의 발이 항상 \(x \ge 0\) 영역에 놓인다는 기하적 사실을 확인하는 것이 핵심입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 우함수 대칭을 이용한 정적분 함수의 미분과 최솟값 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.23 탐구 7094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(-t) = g(t)\)인 우함수는 \(\int_{-a}^{a} g(t)\,dt = 2\int_{0}^{a} g(t)\,dt\)를 만족시키고, \(h(-t) = -h(t)\)인 기함수는 \(\int_{-a}^{a} h(t)\,dt = 0\)을 만족시킨다.
<제시문 (나)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(B(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \(B'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)이다.

우함수 \(f(t) = 3t^2 - 1\)에 대하여 두 정적분 함수 \(A(x) = \int_{-1}^{1} (x - t)^2 f(t)\,dt\)와 \(B(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt\)를 정의할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-1}^{1} f(t)\,dt\)와 \(\int_{-1}^{1} t f(t)\,dt\)가 모두 \(0\)임을 보이고, \(A(x)\)가 \(x\)에 무관한 상수 \(\dfrac{8}{15}\)가 됨을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 \(B(x)\)의 도함수 \(B'(x)\)와 \(B(x)\)의 사차다항식 표현을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 실수 전체의 집합에서 함수 \(F(x) = A(x) + B(x)\)가 최솟값을 갖는 모든 \(x\)의 값과 그때의 최솟값을 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0,\; \int_{-1}^{1} tf(t)\,dt = 0,\; A(x) = \dfrac{8}{15}\) | [4-2] \(B'(x) = x^3 - x,\; B(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2\) | [4-3] \(x = \pm 1\)에서 최솟값 \(\dfrac{17}{60}\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] \(\int_{-1}^{1} (3t^2 - 1)\,dt = 2\left[t^3 - t\right]_{0}^{1} = 0\)이고, \(t(3t^2 - 1)\)은 기함수이므로 \(\int_{-1}^{1} t f(t)\,dt = 0\)이다. 따라서 \(A(x) = x^2\int_{-1}^{1} f(t)\,dt - 2x\int_{-1}^{1} t f(t)\,dt + \int_{-1}^{1} t^2(3t^2 - 1)\,dt = 2\left[\dfrac{3}{5}t^5 - \dfrac{1}{3}t^3\right]_{0}^{1} = \dfrac{8}{15}\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 \(B'(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 1)\,dt = x^3 - x\)이다. \(B(0) = 0\)이므로 적분하면 \(B(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] \(F'(x) = B'(x) = x(x - 1)(x + 1) = 0\)에서 \(F(x) = \dfrac{1}{4}(x^2 - 1)^2 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{15}\)는 \(x = \pm 1\)일 때 최솟값 \(F(\pm 1) = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{17}{60}\)을 갖는다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0\) 및 기함수 적분 \(0\) 확인 +3점 / \(A(x) = \dfrac{8}{15}\) 유도 +3점
소문항 [4-2]	• \(B'(x) = x^3 - x\) 도출 +3점 / \(B(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2\) 산출 +4점
소문항 [4-3]	• 극소점 \(x = \pm 1\) 결정 +3점 / 최솟값 \(\dfrac{17}{60}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 2024학년도 이화여대 자연Ⅰ 1번 기출의 대칭구간 우·기함수 정적분 성질과 정적분으로 정의된 함수의 미분을 결합한 핵심 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 정사면체의 이면각 코사인과 평면 위로의 정사영 넓이 (20점)

기하 Ⅲ-2. 정사영과 공간좌표 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.20 탐구 7095 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 한 모서리의 길이가 \(a\)인 정삼각형의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\)이고, 정사면체의 한 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발은 밑면인 정삼각형의 무게중심 \(\mathrm{G}\)와 일치한다.
<제시문 (나)> 평면 \(\alpha\) 위의 도형(넓이 \(S\))을 평면 \(\beta\) 위로 정사영한 도형의 넓이 \(S'\)은 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(S' = S\cos\theta\)이다.

한 모서리의 길이가 \(6\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에서 모서리 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\), 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑면 \(\mathrm{BCD}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{G}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정삼각형 \(\mathrm{BCD}\)의 한 변의 길이가 \(6\)일 때, 중선 \(\overline{\mathrm{DM}}\)의 길이와 넓이 \(S\), 그리고 선분 \(\overline{\mathrm{GM}}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 삼수선의 정리와 직각삼각형 \(\mathrm{AGM}\)을 이용하여 두 면 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{BCD}\)가 이루는 이면각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)의 값과 정사면체의 높이 \(\overline{\mathrm{AG}}\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 모서리 \(\mathrm{AC},\; \mathrm{AD}\)의 중점을 각각 \(\mathrm{P},\; \mathrm{Q}\)라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{BPQ}\)의 밑면 \(\mathrm{BCD}\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\overline{\mathrm{DM}} = 3\sqrt{3},\; S = 9\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{GM}} = \sqrt{3}\) | [5-2] \(\cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6}\) | [5-3] \(\dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 한 변이 \(6\)인 정삼각형 \(\mathrm{BCD}\)에서 높이는 \(\overline{\mathrm{DM}} = 3\sqrt{3}\), 넓이는 \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 36 = 9\sqrt{3}\)이다. 무게중심 \(\mathrm{G}\)는 중선을 \(2:1\)로 내분하므로 \(\overline{\mathrm{GM}} = \dfrac{1}{3}\overline{\mathrm{DM}} = \sqrt{3}\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(\overline{\mathrm{AM}} = 3\sqrt{3}\)이고 \(\triangle\mathrm{AGM}\)이 직각삼각형이므로 \(\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{GM}}}{\overline{\mathrm{AM}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}\)이다. 또한 높이는 \(\overline{\mathrm{AG}} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 점 \(\mathrm{P},\; \mathrm{Q}\)의 밑면 \(\mathrm{BCD}\) 위로의 정사영 \(\mathrm{P}',\; \mathrm{Q}'\)은 각각 \(\overline{\mathrm{GC}},\; \overline{\mathrm{GD}}\)의 중점이다. \(\triangle\mathrm{GBC} = \triangle\mathrm{GCD} = \triangle\mathrm{GBD} = 3\sqrt{3}\)이므로 \(\triangle\mathrm{BP'C} = \triangle\mathrm{BQ'D} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)이고 \(\triangle\mathrm{CP'Q'} = \dfrac{3}{4}\triangle\mathrm{GCD} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)이다. 따라서 정사영 \(\triangle\mathrm{BP'Q'}\)의 넓이는 \(9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - \dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(\overline{\mathrm{DM}} = 3\sqrt{3},\; S = 9\sqrt{3}\) 산출 +3점 / 무게중심 성질로 \(\overline{\mathrm{GM}} = \sqrt{3}\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\) 계산 +4점 / 높이 \(\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6}\) 산출 +3점
소문항 [5-3]	• \(\mathrm{P}',\; \mathrm{Q}'\)이 \(\overline{\mathrm{GC}},\; \overline{\mathrm{GD}}\)의 중점임을 파악 +3점 / 넓이 분할로 정사영 넓이 \(\dfrac{15\sqrt{3}}{4}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 정사면체의 이면각 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)과 꼭짓점 수선의 발 \(\mathrm{G}\)를 이용한 정사영 꼭짓점 추적은 공간도형 논술의 가장 대표적인 필수 해법입니다.