2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집 | 8회 : 톱니 주기함수와 직선 넓이 수열 · 절댓값 이차함수 넓이 이등분 · 다항함수 적분방정식과 극값 · 포물선 초점현과 준선 수직 접선 · 공간평면 정사영과 사면체

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 삼각파 주기함수와 원점 직선으로 둘러싸인 넓이 수열의 합 (20점)

대수 Ⅲ-1. 등차수열 · 미적분Ⅰ 넓이 (2023 이화여대 자연 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7081 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 구간 \([2n, 2n + 2]\)에서 \(f(x) = 1 - |x - 2n - 1|\)로 정의된 함수의 그래프는 밑변이 \([2n, 2n + 2]\)이고 꼭짓점이 \((2n + 1, 1)\)인 이등변삼각형 모양의 산을 이룬다.
<제시문 (나)> 두 삼각형이 닮음비가 \(1 : r\)로 닮음이면 넓이의 비는 \(1 : r^2\)이다.

구간 \([0, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 모든 음이 아닌 정수 \(n\)과 \(2n \le x \le 2n + 2\)에서 \(f(x) = 1 - |x - 2n - 1|\)일 때, 양수 \(a = \dfrac{1}{20}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 한 산 구간 \([2n, 2n + 2]\)에서 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 \(T\)를 구하고, 직선 \(y = \dfrac{1}{20}x\)가 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 \(x \gt 0\)인 교점의 총개수를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 구간 \([0, 2]\)에서 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 중 직선 \(y = \dfrac{1}{20}x\)보다 위쪽에 있는 부분과 직선 \(y = \dfrac{1}{20}x\)로 둘러싸인 삼각형의 넓이 \(S_0\)을 기약분수로 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 일반적으로 \(n = 0, 1, \dots, 9\)에 대하여 구간 \([2n, 2n + 2]\)에서 \(y = f(x)\)의 두 변 \(y = x - 2n,\; y = 2n + 2 - x\)와 직선 \(y = \dfrac{1}{20}x\)의 교점의 \(x\)좌표를 각각 \(\alpha_n,\; \beta_n\)이라 할 때, \(\beta_n - \alpha_n\)이 \(10 - n\)에 비례함을 이용하여 \(S_n\)을 구하고 \(\sum_{n=0}^{9} S_n\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(T = 1\), 양의 교점 \(19\)개 | [1-2] \(S_0 = \dfrac{19}{21}\) | [1-3] \(S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399},\; \sum_{n=0}^{9} S_n = \dfrac{10}{3}\)

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 밑변의 길이가 \(2\), 높이가 \(1\)이므로 한 산의 넓이는 \(T = \dfrac{1}{2}\times 2\times 1 = 1\)이다. 직선 \(y = \dfrac{1}{20}x\)는 \(x = 20\)에서 \(y = 1\)이 되므로 \(n = 0, 1, \dots, 8\)인 \(9\)개 산에서는 올라가는 변과 내려가는 변에서 \(2\)번씩 만나고, \(n = 9\;([18, 20])\)에서는 올라가는 변에서 \(1\)번(\(x=20\)은 \(f(20)=0\)이므로 위쪽) 만나 총 \(2\times 9 + 1 = 19\)개의 양의 교점을 갖는다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] \(n = 0\)일 때 \(x = \dfrac{1}{20}x \implies \alpha_0 = 0\)이고, \(2 - x = \dfrac{1}{20}x \implies \beta_0 = \dfrac{40}{21}\)이다. 꼭짓점 \((1, 1)\)과 \((0, 0),\; \left(\dfrac{40}{21}, \dfrac{2}{21}\right)\)이 이루는 삼각형의 넓이는 \(S_0 = \dfrac{1}{2}\left|1\cdot\dfrac{2}{21} - 1\cdot\dfrac{40}{21}\right| = \dfrac{19}{21}\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 구간 \([2n, 2n + 2]\)에서 \(x - 2n = \dfrac{1}{20}x \implies \alpha_n = \dfrac{40n}{19}\)이고 \(2n + 2 - x = \dfrac{1}{20}x \implies \beta_n = \dfrac{40(n + 1)}{21}\)이다. 꼭짓점 \((2n+1, 1)\)에서 직선 \(y = \dfrac{1}{20}x\)까지의 연직 높이는 \(1 - \dfrac{2n+1}{20} = \dfrac{19 - 2n}{20}\)이고 \(\beta_n - \alpha_n = \dfrac{40(19 - 2n)}{399}\)이므로 \(S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399}\)이다. 따라서 \(\sum_{n=0}^{9} S_n = \dfrac{1}{399}\sum_{k=1}^{10} (2k - 1)^2 = \dfrac{1330}{399} = \dfrac{10}{3}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 기본 삼각형 넓이 \(T = 1\) 산출 +3점 / 양의 교점 개수 \(19\)개 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 교점 \(\beta_0 = \dfrac{40}{21}\) 계산 +3점 / 넓이 \(S_0 = \dfrac{19}{21}\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 일반항 \(S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399}\) 유도 +4점 / 홀수 제곱합으로 \(\dfrac{1330}{399} = \dfrac{10}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2023학년도 이화여대 자연계열 1번 기출을 완벽히 재현한 문항으로, \(S_n = \dfrac{(19 - 2n)^2}{399}\)의 분자가 홀수의 제곱 \(19^2, 17^2, \dots, 1^2\)을 이루어 \(399 = 19\times 21\)과 약분되어 \(\dfrac{10}{3}\)이라는 깔끔한 유리수로 귀결됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 절댓값 이차곡선과 원점 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 비 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2023 이화여대 자연 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 7082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\;(a \ne 0)\)의 그래프와 직선이 두 점 \(x = \alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에서 만날 때 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.
<제시문 (나)> 절댓값 기호를 포함한 곡선 \(y = |x(x - 4)|\)와 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 영역의 넓이는 \(x = 4\)를 경계로 구간을 나누어 정적분한다.

\(x \ge 0\)에서 정의된 곡선 \(y = |x(x - 4)|\)와 원점을 지나는 직선 \(y = mx\;(0 \lt m \lt 4)\)가 원점 \(\mathrm{O}\)가 아닌 두 점 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\;(x_{\mathrm{A}} \lt x_{\mathrm{B}})\)에서 만날 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 두 교점 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)의 \(x\)좌표 \(\alpha,\; \beta\)를 \(m\)에 대한 식으로 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구간 \([0, \alpha]\)에서 곡선 \(y = |x(x - 4)|\)와 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 영역 \(R_1\)의 넓이 \(S_1(m)\)을 \(m\)에 대한 식으로 구하고, \(m = 2\)일 때 \(S_1(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(m = 2\)일 때 구간 \([\alpha, \beta]\)에서 직선 \(y = 2x\)와 곡선 \(y = |x(x - 4)|\)로 둘러싸인 영역 \(R_2\)의 넓이 \(S_2(2)\)를 구하고, 넓이의 비 \(\dfrac{S_2(2)}{S_1(2)}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\alpha = 4 - m,\; \beta = 4 + m\) | [2-2] \(S_1(m) = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; S_1(2) = \dfrac{4}{3}\) | [2-3] \(S_2(2) = 16,\; \dfrac{S_2(2)}{S_1(2)} = 12\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] \(0 \lt x \le 4\)에서는 \(4x - x^2 = mx \implies \alpha = 4 - m\)이고, \(x \gt 4\)에서는 \(x^2 - 4x = mx \implies \beta = 4 + m\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 구간 \([0, 4 - m]\)에서는 포물선 \(y = 4x - x^2\)과 직선 \(y = mx\)로 둘러싸인 도형이므로 제시문 (가)에 의해 \(S_1(m) = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다. \(m = 2\)일 때 \(S_1(2) = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(m = 2\)이면 \(\alpha = 2,\; \beta = 6\)이다. 제시문 (나)에 의해 \(S_2(2) = \int_{2}^{4} \{2x - (4x - x^2)\}\,dx + \int_{4}^{6} \{2x - (x^2 - 4x)\}\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{4} + \left[3x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_{4}^{6} = \dfrac{20}{3} + \dfrac{28}{3} = 16\)이다. 따라서 \(\dfrac{S_2(2)}{S_1(2)} = \dfrac{16}{4/3} = 12\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(0 \lt x \le 4\) 교점 \(\alpha = 4 - m\) 도출 +3점 / \(x \gt 4\) 교점 \(\beta = 4 + m\) 산출 +3점
소문항 [2-2]	• \(S_1(m) = \dfrac{(4 - m)^3}{6}\) 유도 +4점 / \(S_1(2) = \dfrac{4}{3}\) 계산 +3점
소문항 [2-3]	• \([2, 4]\) 적분 \(\dfrac{20}{3}\) 및 \([4, 6]\) 적분 \(\dfrac{28}{3}\) 합산 \(16\) 도출 +4점 / 비율 \(12\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2023학년도 이화여대 자연계열 2번 기출의 절댓값 포물선과 원점 직선 사이 두 영역 넓이 비교 구조를 그대로 반영한 문항으로, 첨점 \(x = 4\)에서 적분 구간을 분할하는 것이 핵심입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 정적분 상수를 포함한 삼차함수의 계수 결정과 극값 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 (2025 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.22 탐구 7083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt\)의 값은 상수이므로 \(k = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하면 \(f(x)\)를 \(k\)를 포함한 다항식으로 나타낸 뒤 다시 정적분하여 \(k\)의 값을 결정할 수 있다.
<제시문 (나)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)에서 \(f'(\alpha) = 0\)이고 \(x = \alpha\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.

최고차항의 계수가 \(1\)이고 \(f(0) = 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{2} f(t)\,dt + 9\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수 \(k = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)라 할 때, 함수 \(f(x)\)를 \(x\)와 \(k\)에 대한 식으로 나타내고 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖는 모든 \(x\)의 값을 구하고, 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 \(f(x) = m\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(m\)의 개수를 구하고, 그때의 모든 정수 \(m\)의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(x) = x^3 - kx^2 + 9x,\; k = 6\) | [3-2] \(x = 1\)에서 극댓값 \(4\), \(x = 3\)에서 극솟값 \(0\) | [3-3] 정수 \(m = 1, 2, 3\) (\(3\)개), 합 \(6\)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] \(f'(x) = 3x^2 - 2kx + 9\)이고 \(f(0) = 0\)이므로 \(f(x) = x^3 - kx^2 + 9x\)이다. 양변을 \(0\)부터 \(2\)까지 정적분하면 \(k = \left[\dfrac{t^4}{4} - \dfrac{k}{3}t^3 + \dfrac{9}{2}t^2\right]_{0}^{2} = 4 - \dfrac{8}{3}k + 18 = 22 - \dfrac{8}{3}k\)이므로 \(\dfrac{11}{3}k = 22 \implies k = 6\)이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)이므로 \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 4\), \(x = 3\)에서 극솟값 \(f(3) = 0\)을 갖는다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] 방정식 \(f(x) = m\)이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 극솟값과 극댓값 사이인 \(0 \lt m \lt 4\)이다. 따라서 정수 \(m\)은 \(1, 2, 3\)의 \(3\)개이며 그 합은 \(1 + 2 + 3 = 6\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(x) = x^3 - kx^2 + 9x\) 표현 +3점 / 정적분 방정식 \(\dfrac{11}{3}k = 22\)로부터 \(k = 6\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 인수분해 +3점 / 극댓값 \(f(1)=4\), 극솟값 \(f(3)=0\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 세 실근 범위 \(0 \lt m \lt 4\) 도출 +4점 / 정수 \(3\)개 및 합 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 이화여대 자연Ⅰ 3번 기출의 핵심 구조인 정적분 상수 치환(\(k = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\))과 삼차함수의 극값 판정을 결합한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 포물선의 초점 현과 준선 위에서 직교하는 두 접선의 성질 (20점)

기하 Ⅰ-2. 이차곡선과 접선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.26 탐구 7084 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 4px\;(p \gt 0)\)의 초점은 \(\mathrm{F}(p, 0)\), 준선은 \(x = -p\)이며, 포물선 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점까지의 거리는 \(\overline{\mathrm{PF}} = x_1 + p\)이다.
<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 4px\)에 접하고 기울기가 \(m\;(m \ne 0)\)인 접선의 방정식은 \(y = mx + \dfrac{p}{m}\)이다.

포물선 \(y^2 = 8x\)의 초점을 \(\mathrm{F}\), 준선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{D}(-2, 0)\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 포물선 \(y^2 = 8x\) 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 \(\overline{\mathrm{PF}} = 10\)일 때, 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표와 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선 \(l_1\)의 방정식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 \(\mathrm{D}(-2, 0)\)에서 포물선 \(y^2 = 8x\)에 그은 두 접선의 기울기 \(m_1,\; m_2\)를 제시문 (나)를 이용하여 구하고, 두 접선이 서로 수직임을 보이시오.

[문항 4-3] (7점) [문항 4-2]의 두 접선이 포물선과 접하는 두 접점을 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{DAB}\)의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\mathrm{P}(8, 8),\; l_1: y = \dfrac{1}{2}x + 4\) | [4-2] \(m_1 = 1,\; m_2 = -1,\; m_1 m_2 = -1\) | [4-3] 넓이 \(16\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] \(4p = 8 \implies p = 2\)이므로 초점은 \(\mathrm{F}(2, 0)\)이다. \(\overline{\mathrm{PF}} = x_1 + 2 = 10\)에서 \(x_1 = 8\)이고 \(y_1 = \sqrt{64} = 8\)이므로 \(\mathrm{P}(8, 8)\)이다. 접선 \(l_1\)은 \(8y = 4(x + 8) \iff y = \dfrac{1}{2}x + 4\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 접선 \(y = mx + \dfrac{2}{m}\)이 점 \(\mathrm{D}(-2, 0)\)을 지나므로 \(0 = -2m + \dfrac{2}{m} \implies m^2 = 1\)에서 \(m_1 = 1,\; m_2 = -1\)이다. \(m_1 m_2 = -1\)이므로 두 접선은 서로 수직이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] \(m = 1\)인 접선 \(y = x + 2\)를 \(y^2 = 8x\)에 대입하면 \((y - 2)^2 = 0\)이 아니라 \((x + 2)^2 = 8x \iff (x - 2)^2 = 0\)이므로 접점은 \(\mathrm{A}(2, 4)\)이고 대칭성에 의해 \(\mathrm{B}(2, -4)\)이다. 따라서 삼각형 \(\mathrm{DAB}\)는 밑변 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8\), 높이 \(2 - (-2) = 4\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 8\times 4 = 16\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(p = 2\) 및 \(\mathrm{P}(8, 8)\) 산출 +3점 / 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• \(-2m + \dfrac{2}{m} = 0\)으로부터 \(m = \pm 1\) 산출 +4점 / \(m_1 m_2 = -1\) 수직 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 접점 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(2, -4)\) 도출 +4점 / 삼각형 넓이 \(16\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선의 준선 위의 점에서 그은 두 접선은 항상 직교하며, 두 접점을 잇는 현은 반드시 초점 \(\mathrm{F}(p, 0)\)을 지납니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간도형과 공간좌표 (2022 개정 12기하03-05) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.36 탐구 7085 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간에서 법선벡터가 \(\vec{n} = (a, b, c)\)이고 점 \((x_0, y_0, z_0)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)이다.
<제시문 (나)> 두 평면 \(\alpha,\; \beta\)의 법선벡터가 \(\vec{n}_1,\; \vec{n}_2\)일 때 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}\)이고, 정사영의 넓이는 \(S' = S\cos\theta\)이다.

좌표공간의 세 좌표축 위의 점 \(\mathrm{A}(3, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 6, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 3)\)을 지나는 평면을 \(\alpha\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 평면 \(\alpha\)의 방정식을 \(2x + y + 2z = 6\)으로 유도하고, 원점 \(\mathrm{O}\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)의 좌표와 선분 \(\overline{\mathrm{OH}}\)의 길이 \(d\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 평면 \(\alpha\)와 \(xy\)평면이 이루는 예각을 \(\theta\)라 할 때, 제시문 (나)를 이용하여 \(\cos\theta\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 \(\mathrm{OABC}\)의 부피 \(V\)를 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d\)로 계산하여 직각사면체 부피 공식 \(\dfrac{1}{6}\overline{\mathrm{OA}}\cdot\overline{\mathrm{OB}}\cdot\overline{\mathrm{OC}}\)의 값과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\mathrm{H}\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right),\; d = 2\) | [5-2] \(\cos\theta = \dfrac{2}{3},\; S = \dfrac{27}{2}\) | [5-3] \(V = 9\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 세 절편이 \(3, 6, 3\)이므로 평면 \(\alpha\)의 방정식은 \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{3} = 1 \iff 2x + y + 2z = 6\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (2, 1, 2)\)이다. 수선의 발 \(\mathrm{H}(2t, t, 2t)\)를 대입하면 \(9t = 6 \implies t = \dfrac{2}{3}\)이므로 \(\mathrm{H}\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\)이고 \(d = \dfrac{6}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 2\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(xy\)평면의 법선벡터는 \((0, 0, 1)\)이므로 \(\cos\theta = \dfrac{|(2,1,2)\cdot(0,0,1)|}{3\cdot 1} = \dfrac{2}{3}\)이다. 정사영 \(\triangle\mathrm{OAB}\)의 넓이는 \(S' = \dfrac{1}{2}\times 3\times 6 = 9\)이므로 \(S = \dfrac{S'}{\cos\theta} = \dfrac{9}{2/3} = \dfrac{27}{2}\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{27}{2}\times 2 = 9\)이며, 이는 \(\dfrac{1}{6}\times 3\times 6\times 3 = 9\)와 정확히 일치한다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(2x + y + 2z = 6\) 유도 +3점 / \(\mathrm{H}\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right),\; d = 2\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\cos\theta = \dfrac{2}{3}\) 계산 +3점 / 정사영 역산으로 \(S = \dfrac{27}{2}\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• \(V = \dfrac{1}{3}Sd = 9\) 계산 +4점 / 절편 곱 부피 \(9\) 일치 확인 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 법선벡터 \(\vec{n} = (2, 1, 2)\)의 크기가 \(\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = 3\)으로 정수여서 거리 \(d = 2\)와 \(\cos\theta = \dfrac{2}{3}\)가 모두 유리수로 깔끔하게 계산됩니다.