2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 등차수열의 제곱합 하한 부등식과 제곱 역수 망원급수 (20점)

대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 임의의 실수 \(a_1, a_2, \dots, a_m\)과 평균 \(c\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{m} (a_k - c)^2 = \sum_{k=1}^{m} a_k^2 - 2c\sum_{k=1}^{m} a_k + mc^2 \ge 0\)이 항상 성립한다.
<제시문 (나)> 공차가 \(d = a_{k+1} - a_k \ne 0\)인 수열에서 \(\dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k^2} - \dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)\)로 부분분수 분해된다.

양의 실수열 \(\{a_k\}\)가 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = 50\)을 만족시킬 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)에서 \(m = 10,\; c = 5\)를 대입하여 \(\sum_{k=1}^{10} a_k^2 \ge 250\)이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 조건을 서술하시오.

[문항 1-2] (7점) 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항이 \(b_n = 2n - 1\;(n \ge 1)\)일 때, \(\sum_{n=1}^{10} b_n\)과 \(\sum_{n=1}^{10} b_n^2\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 수열 \(b_n = 2n - 1\)에 대하여 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 합 \(T = \sum_{n=1}^{9} \dfrac{b_n + b_{n+1}}{b_n^2 b_{n+1}^2}\)의 값을 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\sum_{k=1}^{10}(a_k - 5)^2 \ge 0\)으로 증명 (등호: \(a_1=\cdots=a_{10}=5\)) | [1-2] \(100,\; 1330\) | [1-3] \(\dfrac{180}{361}\)

[소문항 1-1 풀이 (6점)] \(\sum_{k=1}^{10} (a_k - 5)^2 = \sum_{k=1}^{10} a_k^2 - 10\sum_{k=1}^{10} a_k + 250 = \sum_{k=1}^{10} a_k^2 - 500 + 250 = \sum_{k=1}^{10} a_k^2 - 250 \ge 0\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} a_k^2 \ge 250\)이 성립한다. 등호는 모든 \(k\)에 대하여 \(a_k = 5\)일 때 성립한다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] \(\sum_{n=1}^{10} (2n - 1) = 2\cdot\dfrac{10\cdot 11}{2} - 10 = 100\)이다. 또한 \(\sum_{n=1}^{10} (4n^2 - 4n + 1) = 4\cdot\dfrac{10\cdot 11\cdot 21}{6} - 4\cdot 55 + 10 = 1540 - 220 + 10 = 1330\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] \(b_{n+1} - b_n = 2\)이므로 \(\dfrac{b_n + b_{n+1}}{b_n^2 b_{n+1}^2} = \dfrac{b_{n+1}^2 - b_n^2}{2 b_n^2 b_{n+1}^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b_n^2} - \dfrac{1}{b_{n+1}^2}\right)\)이다. 따라서 \(T = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b_1^2} - \dfrac{1}{b_{10}^2}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{19^2}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{360}{361} = \dfrac{180}{361}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(\sum(a_k - 5)^2 \ge 0\) 전개 +4점 / \(\sum a_k^2 \ge 250\) 및 등호 조건 명시 +2점
소문항 [1-2]	• \(\sum_{n=1}^{10} b_n = 100\) 계산 +3점 / \(\sum_{n=1}^{10} b_n^2 = 1330\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 공차 \(d = 2\) 부분분수 분해 +4점 / 망원 소거로 \(\dfrac{180}{361}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2026학년도 이화여대 자연Ⅱ 1번 기출의 핵심인 완전제곱합 부등식 \(\sum(a_k - c)^2 \ge 0\)과 \(\dfrac{b_n + b_{n+1}}{b_n^2 b_{n+1}^2}\) 망원급수 소거법을 정교하게 구현한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 곡선의 접선으로 이루어진 마름모의 넓이와 유리곡선 넓이 비 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 탐구 7072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 양수 \(a, b\)에 대하여 부등식 \(\dfrac{|x|}{a} + \dfrac{|y|}{b} \le 1\)이 나타내는 마름모의 넓이는 \(2ab\)이며, 제\(1\)사분면의 경계 직선은 \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)이다.
<제시문 (나)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.

자연수 \(k\)에 대하여 제\(1\)사분면 위의 곡선 \(y = 4 - x^k\;(0 \le x \le 4^{1/k})\) 위의 점 \(\mathrm{P}(1, 3)\)에서의 접선을 \(l_k\)라 하고, 직선 \(l_k\)를 \(x\)축, \(y\)축, 원점에 대하여 대칭이동한 네 직선으로 둘러싸인 마름모를 \(D_k\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}(1, 3)\)에서의 접선 \(l_k\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l_k\)의 \(x\)절편 \(a_k\)와 \(y\)절편 \(b_k\)를 각각 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 마름모 \(D_k\)의 넓이 \(M_k\)를 \(k\)에 대한 식으로 구하고, \(k = 2\)일 때 \(M_2\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 \(y = 4 - x^k\)와 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 제\(1\)사분면 영역을 네 사분면으로 대칭이동한 도형 전체의 넓이를 \(S_k\)라 할 때, \(k = 1\)에서의 비율 \(\dfrac{S_1}{M_1}\)과 \(k = 2\)에서의 비율 \(\dfrac{S_2}{M_2}\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(l_k: y = -kx + k + 3,\; a_k = \dfrac{k+3}{k},\; b_k = k + 3\) | [2-2] \(M_k = \dfrac{2(k+3)^2}{k},\; M_2 = 25\) | [2-3] \(\dfrac{S_1}{M_1} = 1,\; \dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64}{75}\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] \(f(x) = 4 - x^k\)에서 \(f'(x) = -kx^{k-1}\)이므로 \(f'(1) = -k\)이다. 따라서 점 \((1, 3)\)에서의 접선은 \(y - 3 = -k(x - 1) \iff kx + y = k + 3\)이며, \(x\)절편은 \(a_k = \dfrac{k + 3}{k}\), \(y\)절편은 \(b_k = k + 3\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 마름모 \(D_k\)의 넓이는 \(M_k = 2a_k b_k = \dfrac{2(k + 3)^2}{k}\)이다. \(k = 2\)를 대입하면 \(M_2 = \dfrac{2\times 25}{2} = 25\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(k = 1\)일 때는 곡선 자체가 직선 \(x + y = 4\)이므로 \(S_1 = M_1 = 32\)에서 \(\dfrac{S_1}{M_1} = 1\)이다. \(k = 2\)일 때 제\(1\)사분면 넓이는 \(\int_{0}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{16}{3}\)이므로 \(S_2 = 4\times\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{3}\)이고, 따라서 \(\dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64/3}{25} = \dfrac{64}{75}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 접선 \(y = -kx + k + 3\) 유도 +3점 / 절편 \(a_k = \dfrac{k+3}{k},\; b_k = k + 3\) 산출 +3점
소문항 [2-2]	• 마름모 넓이 \(M_k = \dfrac{2(k+3)^2}{k}\) 도출 +4점 / \(M_2 = 25\) 계산 +3점
소문항 [2-3]	• \(S_2 = 4\int_{0}^{2}(4 - x^2)\,dx = \dfrac{64}{3}\) 산출 +4점 / 비율 \(\dfrac{S_1}{M_1} = 1,\; \dfrac{S_2}{M_2} = \dfrac{64}{75}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2026학년도 이화여대 자연Ⅱ 3번 기출의 마름모 \(\dfrac{|x|}{a} + \dfrac{|y|}{b} = 1\) 접선 조건과 대칭 도형 넓이 비를 다항함수 적분 범위에서 정확히 구현한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 삼차함수의 단조증가 역함수 존재성과 역함수 정적분 항등식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ 1번·자연Ⅱ 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 탐구 7073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\) (유한 개의 점에서만 \(0\))이면 \(f(x)\)는 실수 전체에서 일대일대응이므로 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 증가함수 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\)에 대하여 직사각형 넓이 분할에 의해 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 3x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 이용하여 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)가 존재함을 보이고, \(g(2)\)와 \(g(6)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 정적분 \(\int_{2}^{6} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = f(n)\)이라 할 때, \(I_n = \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx + \int_{a_n}^{a_{n+1}} g(x)\,dx\)를 \(n\)에 대한 다항식으로 나타내고 \(I_2\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(x) = 3x^2 + 3 \gt 0\)이므로 역함수 존재, \(g(2) = 0,\; g(6) = 1\) | [3-2] \(\dfrac{9}{4}\) | [3-3] \(I_n = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6,\; I_2 = 82\)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] \(f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3 \gt 0\)이므로 \(f(x)\)는 실수 전체에서 순증가하여 역함수 \(g(x)\)가 존재한다. \(f(0) = 2,\; f(1) = 6\)이므로 \(g(2) = 0,\; g(6) = 1\)이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] \(\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{0}^{1} = \dfrac{15}{4}\)이다. 제시문 (나)에 의해 \(\int_{2}^{6} g(x)\,dx = 1\cdot f(1) - 0\cdot f(0) - \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 6 - \dfrac{15}{4} = \dfrac{9}{4}\)이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에서 \(a = n,\; b = n + 1\)을 대입하면 \(I_n = (n + 1)f(n + 1) - n f(n) = (n + 1)\{(n+1)^3 + 3(n+1) + 2\} - n(n^3 + 3n + 2) = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6\)이다. \(n = 2\)를 대입하면 \(I_2 = 3\cdot f(3) - 2\cdot f(2) = 3(27 + 9 + 2) - 2(8 + 6 + 2) = 114 - 32 = 82\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f'(x) = 3x^2 + 3 \gt 0\)으로 역함수 존재 증명 +3점 / \(g(2)=0,\; g(6)=1\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \dfrac{15}{4}\) 계산 +3점 / \(\int_{2}^{6} g(x)\,dx = 6 - \dfrac{15}{4} = \dfrac{9}{4}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(I_n = (n+1)f(n+1) - n f(n) = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 6\) 유도 +4점 / \(I_2 = 82\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 이화여대 자연Ⅰ 1번 및 자연Ⅱ 2번 기출의 핵심인 역함수 정적분 \(\int_{f(a)}^{f(b)} g(x)\,dx = bf(b) - af(a) - \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) 관계를 완벽히 적용하는 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 원 위의 동점과 고정 현이 이루는 삼각형 넓이의 최댓값 (20점)

대수 Ⅱ-1. 삼각함수 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2024 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.20 탐구 7074 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(x^2 + y^2 = R^2\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 직선 \(Ax + By + C = 0\)까지의 거리가 최대가 되는 순간은 선분 \(\mathrm{OP}\)가 직선에 수직일 때이다.
<제시문 (나)> 원점 \(\mathrm{O}\)에서 직선 \(Ax + By + C = 0\)까지의 거리는 \(d = \dfrac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)이다.

좌표평면 위의 원 \(C: x^2 + y^2 = 25\)와 직선 \(l: 3x + 4y - 15 = 0\)이 만나는 두 교점을 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 원점 \(\mathrm{O}\)에서 직선 \(l\)까지의 거리 \(d\)를 구하고, 현 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원 \(C\) 위의 동점 \(\mathrm{P}\)가 직선 \(l\)에 대하여 원점 \(\mathrm{O}\)와 같은 쪽의 호 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직일 때, 점 \(\mathrm{P}\)에서 직선 \(l\)까지의 거리의 최댓값 \(h_{\max}\)와 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이의 최댓값 \(S_{\max}\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이가 최대가 되는 원 \(C\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)의 좌표를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(d = 3,\; \overline{\mathrm{AB}} = 8\) | [4-2] \(h_{\max} = 8,\; S_{\max} = 32\) | [4-3] \(\mathrm{P}(-3, -4)\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] 원점 \(\mathrm{O}(0, 0)\)에서 직선 \(3x + 4y - 15 = 0\)까지의 거리는 \(d = \dfrac{|-15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{15}{5} = 3\)이다. 반지름이 \(R = 5\)이므로 피타고라스 정리에 의해 현의 길이는 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 8\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 점 \(\mathrm{P}\)가 원점 \(\mathrm{O}\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선 위에서 직선 \(l\)의 반대편 끝점에 위치할 때 높이가 최대가 되며, \(h_{\max} = R + d = 5 + 3 = 8\)이다. 따라서 넓이의 최댓값은 \(S_{\max} = \dfrac{1}{2}\times \overline{\mathrm{AB}}\times h_{\max} = \dfrac{1}{2}\times 8\times 8 = 32\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 직선 \(l\)에 수직이고 원점을 지나는 직선은 \(4x - 3y = 0\), 즉 \((x, y) = (3t, 4t)\)이다. 원 \(x^2 + y^2 = 25\)와 만나는 점은 \(25t^2 = 25 \implies t = \pm 1\)이고, \(3x + 4y - 15\)와의 거리가 \(8\)이 되는 점은 \(t = -1\)일 때인 \(\mathrm{P}(-3, -4)\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 거리 \(d = 3\) 계산 +3점 / 현의 길이 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 최대 높이 \(h_{\max} = R + d = 8\) 도출 +4점 / 최대 넓이 \(S_{\max} = 32\) 계산 +3점
소문항 [4-3]	• 수직 직선 \((3t, 4t)\) 설정 +4점 / 점 \(\mathrm{P}(-3, -4)\) 좌표 결정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2024학년도 이화여대 자연Ⅰ 3번 및 자연Ⅱ 3번 기출의 원 위 동점 삼각형 넓이 최대화 구조를 반영한 문항으로, 현의 수직이등분선이 원의 중심을 지날 때 높이가 \(R + d\)로 최대가 됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 조건부확률 베이즈 정리와 표본비율에 의한 모비율 추정 (20점)

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 모비율의 추정 (2022 개정 12확통03-06) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 7075 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A,\; A^c\)에 대하여 \(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A) + \mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(B|A^c)\)이며, \(\mathrm{P}(A|B) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}\)이다.
<제시문 (나)> 표본의 크기 \(n\)이 충분히 클 때 표본비율 \(\hat{p}\)에 대하여 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간은 \(\left[\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}},\; \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\right]\)이다. (단, \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\))

어느 공장에서 생산되는 전체 부품의 \(40\%\)는 기계 \(A\)에서, \(60\%\)는 기계 \(B\)에서 생산되며, 기계 \(A\)와 기계 \(B\)에서 생산된 부품이 우량품일 확률은 각각 \(0.8,\; 0.7\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장에서 임의로 선택한 부품 \(1\)개가 우량품일 확률 \(p\)를 구하고, 선택된 부품이 우량품이었을 때 그 부품이 기계 \(A\)에서 생산되었을 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장의 부품 중 \(n = 400\)개를 임의추출하여 조사한 결과 우량품의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.64\)였다고 할 때, \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)의 값을 소수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)에서 구간의 길이 \(L = b - a\)를 구하고, 표본의 크기를 \(n' = 1600\)으로 \(4\)배 늘릴 때 동일한 표본비율에서 신뢰구간의 길이가 몇 배가 되는지 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(p = 0.74 = \dfrac{37}{50}\), 조건부확률 \(\dfrac{16}{37}\) | [5-2] \(0.024\) | [5-3] \(L = 0.09408\), 길이 \(\dfrac{1}{2}\)배

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 우량품일 사건을 \(E\)라 하면 \(p = \mathrm{P}(E) = 0.4\times 0.8 + 0.6\times 0.7 = 0.32 + 0.42 = 0.74 = \dfrac{37}{50}\)이다. 따라서 베이즈 정리에 의해 \(\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{0.32}{0.74} = \dfrac{16}{37}\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(\hat{p} = 0.64,\; 1 - \hat{p} = 0.36,\; n = 400\)이므로 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{0.64\times 0.36}{400}} = \dfrac{0.8\times 0.6}{20} = \dfrac{0.48}{20} = 0.024\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2\times 1.96\times 0.024 = 3.92\times 0.024 = 0.09408\)이다. 표본의 크기 \(n\)이 \(4\)배가 되면 \(\sqrt{n}\)이 \(2\)배가 되어 신뢰구간의 길이는 \(\dfrac{1}{2}\)배가 된다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 \(p = 0.74\) 계산 +3점 / 조건부확률 \(\dfrac{16}{37}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\hat{p}(1 - \hat{p}) = 0.2304\) 대입 +3점 / 표준오차 \(0.024\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 \(L = 0.09408\) 계산 +4점 / 표본 \(4\)배 시 길이 \(\dfrac{1}{2}\)배 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계에 재도입된 핵심 성취기준인 모비율 추정(\(12\text{확통}03\text{-}06\))과 조건부확률을 결합한 필수 대비 문항입니다.