2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 7회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 등차수열의 제곱합 하한 부등식과 제곱 역수 망원급수 (20점)

대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (2026 이화여대 자연Ⅱ 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 7071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 임의의 실수 \(a_1, a_2, \dots, a_m\)과 평균 \(c\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{m} (a_k - c)^2 = \sum_{k=1}^{m} a_k^2 - 2c\sum_{k=1}^{m} a_k + mc^2 \ge 0\)이 항상 성립한다.
<제시문 (나)> 공차가 \(d = a_{k+1} - a_k \ne 0\)인 수열에서 \(\dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k^2} - \dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)\)로 부분분수 분해된다.

양의 실수열 \(\{a_k\}\)가 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = 50\)을 만족시킬 때 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)에서 \(m = 10,\; c = 5\)를 대입하여 \(\sum_{k=1}^{10} a_k^2 \ge 250\)이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 조건을 서술하시오.

[문항 1-2] (7점) 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항이 \(b_n = 2n - 1\;(n \ge 1)\)일 때, \(\sum_{n=1}^{10} b_n\)과 \(\sum_{n=1}^{10} b_n^2\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 수열 \(b_n = 2n - 1\)에 대하여 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 합 \(T = \sum_{n=1}^{9} \dfrac{b_n + b_{n+1}}{b_n^2 b_{n+1}^2}\)의 값을 기약분수로 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 곡선의 접선으로 이루어진 마름모의 넓이와 유리곡선 넓이 비 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 접선의 방정식 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2026 이화여대 자연Ⅱ 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 탐구 7072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 양수 \(a, b\)에 대하여 부등식 \(\dfrac{|x|}{a} + \dfrac{|y|}{b} \le 1\)이 나타내는 마름모의 넓이는 \(2ab\)이며, 제\(1\)사분면의 경계 직선은 \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)이다.
<제시문 (나)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.

자연수 \(k\)에 대하여 제\(1\)사분면 위의 곡선 \(y = 4 - x^k\;(0 \le x \le 4^{1/k})\) 위의 점 \(\mathrm{P}(1, 3)\)에서의 접선을 \(l_k\)라 하고, 직선 \(l_k\)를 \(x\)축, \(y\)축, 원점에 대하여 대칭이동한 네 직선으로 둘러싸인 마름모를 \(D_k\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}(1, 3)\)에서의 접선 \(l_k\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l_k\)의 \(x\)절편 \(a_k\)와 \(y\)절편 \(b_k\)를 각각 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 마름모 \(D_k\)의 넓이 \(M_k\)를 \(k\)에 대한 식으로 구하고, \(k = 2\)일 때 \(M_2\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 \(y = 4 - x^k\)와 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 제\(1\)사분면 영역을 네 사분면으로 대칭이동한 도형 전체의 넓이를 \(S_k\)라 할 때, \(k = 1\)에서의 비율 \(\dfrac{S_1}{M_1}\)과 \(k = 2\)에서의 비율 \(\dfrac{S_2}{M_2}\)를 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 삼차함수의 단조증가 역함수 존재성과 역함수 정적분 항등식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · Ⅲ-2. 정적분의 활용 (2025 이화여대 자연Ⅰ 1번·자연Ⅱ 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.32 탐구 7073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\) (유한 개의 점에서만 \(0\))이면 \(f(x)\)는 실수 전체에서 일대일대응이므로 역함수 \(g(x) = f^{-1}(x)\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 증가함수 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\)에 대하여 직사각형 넓이 분할에 의해 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 3x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 이용하여 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)가 존재함을 보이고, \(g(2)\)와 \(g(6)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)의 항등식을 이용하여 정적분 \(\int_{2}^{6} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = f(n)\)이라 할 때, \(I_n = \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx + \int_{a_n}^{a_{n+1}} g(x)\,dx\)를 \(n\)에 대한 다항식으로 나타내고 \(I_2\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 원 위의 동점과 고정 현이 이루는 삼각형 넓이의 최댓값 (20점)

대수 Ⅱ-1. 삼각함수 · 미적분Ⅰ 최대·최소 (2024 이화여대 자연Ⅰ 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.20 탐구 7074 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(x^2 + y^2 = R^2\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 직선 \(Ax + By + C = 0\)까지의 거리가 최대가 되는 순간은 선분 \(\mathrm{OP}\)가 직선에 수직일 때이다.
<제시문 (나)> 원점 \(\mathrm{O}\)에서 직선 \(Ax + By + C = 0\)까지의 거리는 \(d = \dfrac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)이다.

좌표평면 위의 원 \(C: x^2 + y^2 = 25\)와 직선 \(l: 3x + 4y - 15 = 0\)이 만나는 두 교점을 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 원점 \(\mathrm{O}\)에서 직선 \(l\)까지의 거리 \(d\)를 구하고, 현 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원 \(C\) 위의 동점 \(\mathrm{P}\)가 직선 \(l\)에 대하여 원점 \(\mathrm{O}\)와 같은 쪽의 호 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직일 때, 점 \(\mathrm{P}\)에서 직선 \(l\)까지의 거리의 최댓값 \(h_{\max}\)와 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이의 최댓값 \(S_{\max}\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이가 최대가 되는 원 \(C\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)의 좌표를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 조건부확률 베이즈 정리와 표본비율에 의한 모비율 추정 (20점)

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 모비율의 추정 (2022 개정 12확통03-06) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 7075 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A,\; A^c\)에 대하여 \(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A) + \mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(B|A^c)\)이며, \(\mathrm{P}(A|B) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}\)이다.
<제시문 (나)> 표본의 크기 \(n\)이 충분히 클 때 표본비율 \(\hat{p}\)에 대하여 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간은 \(\left[\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}},\; \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\right]\)이다. (단, \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\))

어느 공장에서 생산되는 전체 부품의 \(40\%\)는 기계 \(A\)에서, \(60\%\)는 기계 \(B\)에서 생산되며, 기계 \(A\)와 기계 \(B\)에서 생산된 부품이 우량품일 확률은 각각 \(0.8,\; 0.7\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장에서 임의로 선택한 부품 \(1\)개가 우량품일 확률 \(p\)를 구하고, 선택된 부품이 우량품이었을 때 그 부품이 기계 \(A\)에서 생산되었을 조건부확률을 기약분수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장의 부품 중 \(n = 400\)개를 임의추출하여 조사한 결과 우량품의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.64\)였다고 할 때, \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)의 값을 소수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)에서 구간의 길이 \(L = b - a\)를 구하고, 표본의 크기를 \(n' = 1600\)으로 \(4\)배 늘릴 때 동일한 표본비율에서 신뢰구간의 길이가 몇 배가 되는지 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.