<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)를 만족시키는 삼차함수는 짝수 차수 항이 없으므로 \(f(x) = ax^3 + bx\;(a \ne 0)\) 꼴로 표현된다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속이고 열린구간 \((0, 1)\)에서 미분가능한 함수 \(h(x)\)가 \(h(0) = h(1)\)을 만족시키면 \(h'(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 열린구간 \((0, 1)\)에 적어도 하나 존재한다.

<제시문 (가)> 서로 다른 세 실수 \(b_1, b_2, b_3\)에 대하여 \(Q(x) = (x - b_1)(x - b_2)(x - b_3)\)를 미분하면 곱의 미분법에 의하여 \(Q'(b_1) = (b_1 - b_2)(b_1 - b_3) \ne 0\)이다.
<제시문 (나)> 이차 이하의 다항식 \(P(x)\)에 대하여 유리식 항등식 \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{c_1}{x - b_1} + \dfrac{c_2}{x - b_2} + \dfrac{c_3}{x - b_3}\)의 양변에 \(Q(x)\)를 곱한 다항식 항등식에 \(x = b_k\)를 대입하면 \(c_k = \dfrac{P(b_k)}{Q'(b_k)}\)가 성립한다.

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 함수 \(f(t)\)에 대하여 \(H(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{x}^{1} f(t)\,dt\)라 하면, 정적분의 성질에 의해 \(H(x) = 2\int_{0}^{x} f(t)\,dt - \int_{0}^{1} f(t)\,dt\)이므로 \(H(x)\)는 미분가능하고 \(H'(x) = 2f(x)\)이다.
<제시문 (나)> \(F(x) = \int_{0}^{x} H(t)\,dt\)라 할 때 \(F(0) = F(1) = 0\)이면 롤의 정리에 의해 \(F'(c) = H(c) = 0\)인 \(c\)가 열린구간 \((0, 1)\)에 적어도 하나 존재한다.

<제시문 (가)> 좌표평면 위의 두 정점 \(\mathrm{F}(0, c),\; \mathrm{F}'(0, -c)\)로부터의 거리의 합이 \(2b\;(b \gt c \gt 0)\)로 일정한 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)가 그리는 도형은 타원 \(\dfrac{x^2}{b^2 - c^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)이다.
<제시문 (나)> 정점 \(\mathrm{A}(0, c)\)까지의 거리와 직선까지의 거리의 합 조건이 주어지면 무리방정식을 이항하여 양변을 제곱함으로써 포물선의 방정식을 유도할 수 있다.

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 모든 자연수 \(n\)과 \(2n \le x \le 2n + 2\)에서 \(f(x) = r^n f(x - 2n)\;(0 \lt r \lt 1)\)을 만족시키면, 구간 \([2n, 2n + 2]\)에서의 정적분은 \(\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = r^n \int_{0}^{2} f(x)\,dx\)이다.
<제시문 (나)> 첫째항이 \(A_1\)이고 공비가 \(r\;(r \ne 1)\)인 등비수열의 첫째항부터 제\(m\)항까지의 합은 \(\dfrac{A_1(1 - r^m)}{1 - r}\)이다.