2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집 | 5회 : 삼차 대칭 항등식과 정삼각형 · 연립이차부등식 정수해 · 아폴로니오스의 원 · 집합 원소 개수 최대·최소 · 계차 귀납 추론과 망원급수

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 삼변수 대칭 다항식의 항등식과 정삼각형 판정 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수의 활용과 정삼각형 판정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 탐구 7051 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 세 실수 \(a, b, c\)에 대하여 항등식 \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\)가 성립하며, \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\}\)이다.

세 양수 \(a, b, c\)를 세 변의 길이로 하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 \(a + b + c = 12\)와 \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 항등식을 이용하여 \(a = b = c\)임을 증명하고, 세 변의 길이 \(a, b, c\)를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이와 외접원의 반지름의 길이를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 세 실수 \(x, y, z\)가 \(x + y + z = 4,\; xy + yz + zx = 3,\; xyz = -2\)를 만족시킬 때, \(x^3 + y^3 + z^3\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(a = b = c = 4\) | [1-2] 넓이 \(4\sqrt{3}\), 외접원 반지름 \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) | [1-3] \(22\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a + b + c = 12 \gt 0\)이므로 \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0\)에서 \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{1}{2}\{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\} = 0\)에서 실수의 제곱의 합이 \(0\)이므로 \(a = b = c = 4\)인 정삼각형이다. 따라서 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}\)이고, 외접원 반지름은 \(R = \dfrac{4}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x^2 + y^2 + z^2 = 4^2 - 2(3) = 10\)이므로 \(x^3 + y^3 + z^3 = 4(10 - 3) + 3(-2) = 28 - 6 = 22\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 완전제곱식 합 변형 증명 +3점 / \(a = b = c = 4\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 정삼각형 넓이 \(4\sqrt{3}\) 산출 +3점 / 외접원 반지름 \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점
소문항 [1-3]	• \(x^2+y^2+z^2 = 10\) 계산 +3점 / \(x^3+y^3+z^3 = 22\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)가 성립할 조건은 \(a + b + c = 0\) 또는 \(a = b = c\) 두 가지뿐이며, 삼각형의 세 변은 양수이므로 \(a = b = c\)로 유일하게 결정됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 절댓값과 매개변수를 포함한 연립이차부등식의 정수해 개수 (20점)

대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 탐구 7052 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 인수분해되는 이차부등식 \((x - \alpha)(x - \beta) \le 0\)의 해집합과 다른 부등식의 해집합의 교집합에 속하는 정수의 개수가 주어지면, 수직선 위에서 경계점 \(\beta\)의 위치 범위를 결정할 수 있다.

실수 \(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - 2x - 8 \lt 0 \\ (x - 1)(x - k) \le 0 \end{cases}\;(k \gt 1)\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 첫 번째 부등식 \(x^2 - 2x - 8 \lt 0\)의 해와 그 해에 속하는 모든 정수 \(x\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(k \gt 1\)일 때 두 번째 부등식의 해를 구하고, 연립부등식을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(2\)일 때 그 두 정수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 연립부등식의 정수해가 \(2\)개가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(-2 \lt x \lt 4\), 정수 \(-1, 0, 1, 2, 3\) | [2-2] \(1 \le x \le k\), 두 정수 \(1, 2\) | [2-3] \(2 \le k \lt 3\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \((x + 2)(x - 4) \lt 0 \iff -2 \lt x \lt 4\)이고, \(k \gt 1\)이므로 두 번째 부등식의 해는 \(1 \le x \le k\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 교집합은 \(1 \le x \lt \min(4, k\text{ 이하})\)이므로 가장 작은 정수해 \(1\)부터 차례로 포함된다. 따라서 정수해가 \(2\)개이려면 그 두 정수는 반드시 \(1, 2\)이어야 한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(2\)는 포함되고 \(3\)은 포함되지 않아야 하므로 \(2 \le k \lt 3\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(-2 \lt x \lt 4\) 도출 +3점 / 정수 \(-1, 0, 1, 2, 3\) 나열 +3점
소문항 [2-2]	• \(1 \le x \le k\) 정리 +3점 / 정수해 \(1, 2\) 확정 +4점
소문항 [2-3]	• 경계 등호 판정(\(k=2\) 포함, \(k=3\) 제외) +4점 / \(2 \le k \lt 3\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 번째 부등식이 등호를 포함하므로 \(k = 2\)이면 해가 \(1 \le x \le 2\)가 되어 정수가 \(1, 2\) 두 개이지만, \(k = 3\)이면 \(1, 2, 3\) 세 개가 되므로 \(k = 3\)은 제외됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 선분의 내분·외분점과 아폴로니오스의 원의 넓이 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 7053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 두 정점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에 대하여 거리의 비가 \(\overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n\;(m \ne n,\; m, n \gt 0)\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 자취는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m : n\)으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-3, 0),\; \mathrm{B}(3, 0)\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = 2 : 1\)을 만족시키는 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)가 나타내는 도형을 \(C\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{D}\)와 외분하는 점 \(\mathrm{E}\)의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 원 \(C\)의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하고, 원 \(C\)의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 원 \(C\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이의 최댓값과 \(\angle \mathrm{PAB}\)가 최대가 될 때의 \(\overline{\mathrm{AP}}\)의 길이를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\mathrm{D}(1, 0),\; \mathrm{E}(9, 0)\) | [3-2] 중심 \((5, 0)\), 반지름 \(4\), \((x - 5)^2 + y^2 = 16\) | [3-3] 넓이 최댓값 \(12,\; \overline{\mathrm{AP}} = 4\sqrt{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 내분점과 외분점 공식을 적용하여 지름의 양 끝점을 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 내분점은 \(\mathrm{D}\left(\dfrac{6 - 3}{3}, 0\right) = (1, 0)\), 외분점은 \(\mathrm{E}\left(\dfrac{6 - (-3)}{1}, 0\right) = (9, 0)\)이다. 따라서 중심은 \(\mathrm{M}(5, 0)\), 반지름은 \(r = 4\)이며 방정식은 \((x - 5)^2 + y^2 = 16\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 밑변 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6\)이 고정되어 있으므로 높이가 반지름 \(4\)일 때 넓이의 최댓값은 \(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\)이다. 또한 \(\angle \mathrm{PAB}\)가 최대일 때는 직선 \(\mathrm{AP}\)가 원에 접할 때이므로 \(\overline{\mathrm{AM}} = 8,\; r = 4\)에서 \(\overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 내분점 \(\mathrm{D}(1, 0)\) 도출 +3점 / 외분점 \(\mathrm{E}(9, 0)\) 산출 +3점
소문항 [3-2]	• 중심 \((5, 0)\), 반지름 \(4\) 결정 +3점 / \((x-5)^2 + y^2 = 16\) 작성 +4점
소문항 [3-3]	• 넓이 최댓값 \(12\) 산출 +3점 / 접선 피타고라스 정리로 \(\overline{\mathrm{AP}} = 4\sqrt{3}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이가 최대인 점(\(y = \pm 4\))과 각 \(\angle \mathrm{PAB}\)가 최대인 점(접점)은 서로 다른 점이므로 조건을 정확히 구분해야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 유한집합 원소의 개수와 포함·배제의 원리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 최댓값과 최솟값의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 7054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 전체집합 \(U\)의 두 부분집합 \(A, B\)에 대하여 \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)이고, \(\max\{0, n(A) + n(B) - n(U)\} \le n(A \cap B) \le \min\{n(A), n(B)\}\)이다.

전체집합 \(U\)의 원소의 개수가 \(n(U) = 50\)이고, 두 부분집합 \(A, B\)가 \(n(A) = 32,\; n(B) = 27\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 교집합의 원소의 개수 \(n(A \cap B)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(n(A^c \cap B^c) = 6\)일 때, \(n(A \cap B)\)와 대칭차집합의 원소의 개수 \(n((A - B) \cup (B - A))\)를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(n(A \cap B)\)가 최솟값 \(m\)을 가질 때, \(n(A - B)\)와 \(n(B - A)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(M = 27,\; m = 9\) | [4-2] \(n(A \cap B) = 15\), 대칭차집합 \(29\) | [4-3] \(n(A - B) = 23,\; n(B - A) = 18\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(B \subset A\)일 때 \(n(A \cap B)\)가 최대이고, \(A \cup B = U\)일 때 최소임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(M = \min(32, 27) = 27\)이고, \(m = 32 + 27 - 50 = 9\)이다. 또한 \(n(A^c \cap B^c) = n((A \cup B)^c) = 6\)이면 \(n(A \cup B) = 44\)이므로 \(n(A \cap B) = 59 - 44 = 15\)이고, 대칭차집합의 원소의 개수는 \(44 - 15 = 29\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(n(A \cap B) = 9\)일 때 \(n(A - B) = 32 - 9 = 23,\; n(B - A) = 27 - 9 = 18\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 최댓값 \(M = 27\) 도출 +3점 / 최솟값 \(m = 9\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 드모르간 법칙으로 \(n(A \cup B) = 44\) 도출 +3점 / \(n(A \cap B)=15\), 대칭차 \(29\) 산출 +4점
소문항 [4-3]	• \(n(A - B) = 23\) 계산 +4점 / \(n(B - A) = 18\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 드모르간의 법칙 \(A^c \cap B^c = (A \cup B)^c\)를 적용하면 여집합의 교집합 조건을 합집합의 원소의 개수로 즉시 바꿀 수 있습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 군수열·계차 규칙의 귀납적 추론과 등비급수형 부분합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 7055 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)의 이웃한 두 항의 차 \(b_n = a_{n+1} - a_n\)이 주어지면, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k\)가 성립한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\sum_{n=2}^{10} \dfrac{1}{a_n - 2}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(a_n = n^2 + 1\) | [5-2] \(395\) | [5-3] \(\dfrac{29}{44}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)에 거듭제곱의 합 공식을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a_n = 2 + (n - 1)^2 + 2(n - 1) = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1\)이다. 따라서 \(\sum_{n=1}^{10} (n^2 + 1) = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} + 10 = 385 + 10 = 395\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a_n - 2 = n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)\)이므로 \(\sum_{n=2}^{10} \dfrac{1}{a_n - 2} = \dfrac{1}{2}\sum_{n=2}^{10} \left(\dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11}\right) = \dfrac{29}{44}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) = n^2 - 1\) 계산 +3점 / \(a_n = n^2 + 1\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385\) 적용 +4점 / 합 \(395\) 산출 +3점
소문항 [5-3]	• \(a_n - 2 = (n-1)(n+1)\) 부분분수 분해 +4점 / 망원급수 합 \(\dfrac{29}{44}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)은 \(3\)부터 \(2n - 1\)까지의 홀수의 합이므로 \(n^2 - 1\)과 같다는 성질을 이용하면 즉시 암산으로 검산할 수 있습니다.