2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 삼변수 대칭 다항식의 항등식과 정삼각형 판정 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수의 활용과 정삼각형 판정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 탐구 7051 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 세 실수 \(a, b, c\)에 대하여 항등식 \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\)가 성립하며, \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\}\)이다.

세 양수 \(a, b, c\)를 세 변의 길이로 하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 \(a + b + c = 12\)와 \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 항등식을 이용하여 \(a = b = c\)임을 증명하고, 세 변의 길이 \(a, b, c\)를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이와 외접원의 반지름의 길이를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 세 실수 \(x, y, z\)가 \(x + y + z = 4,\; xy + yz + zx = 3,\; xyz = -2\)를 만족시킬 때, \(x^3 + y^3 + z^3\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 절댓값과 매개변수를 포함한 연립이차부등식의 정수해 개수 (20점)

대수 Ⅰ-2. 부등식의 정수해 개수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.11 탐구 7052 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 인수분해되는 이차부등식 \((x - \alpha)(x - \beta) \le 0\)의 해집합과 다른 부등식의 해집합의 교집합에 속하는 정수의 개수가 주어지면, 수직선 위에서 경계점 \(\beta\)의 위치 범위를 결정할 수 있다.

실수 \(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - 2x - 8 \lt 0 \\ (x - 1)(x - k) \le 0 \end{cases}\;(k \gt 1)\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 첫 번째 부등식 \(x^2 - 2x - 8 \lt 0\)의 해와 그 해에 속하는 모든 정수 \(x\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(k \gt 1\)일 때 두 번째 부등식의 해를 구하고, 연립부등식을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(2\)일 때 그 두 정수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 연립부등식의 정수해가 \(2\)개가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 선분의 내분·외분점과 아폴로니오스의 원의 넓이 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 도함수와 접선의 기하 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.13 탐구 7053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 두 정점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에 대하여 거리의 비가 \(\overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = m : n\;(m \ne n,\; m, n \gt 0)\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 자취는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m : n\)으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-3, 0),\; \mathrm{B}(3, 0)\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = 2 : 1\)을 만족시키는 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)가 나타내는 도형을 \(C\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{D}\)와 외분하는 점 \(\mathrm{E}\)의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 원 \(C\)의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하고, 원 \(C\)의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 원 \(C\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이의 최댓값과 \(\angle \mathrm{PAB}\)가 최대가 될 때의 \(\overline{\mathrm{AP}}\)의 길이를 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 유한집합 원소의 개수와 포함·배제의 원리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 최댓값과 최솟값의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 7054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 전체집합 \(U\)의 두 부분집합 \(A, B\)에 대하여 \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)이고, \(\max\{0, n(A) + n(B) - n(U)\} \le n(A \cap B) \le \min\{n(A), n(B)\}\)이다.

전체집합 \(U\)의 원소의 개수가 \(n(U) = 50\)이고, 두 부분집합 \(A, B\)가 \(n(A) = 32,\; n(B) = 27\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 교집합의 원소의 개수 \(n(A \cap B)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(n(A^c \cap B^c) = 6\)일 때, \(n(A \cap B)\)와 대칭차집합의 원소의 개수 \(n((A - B) \cup (B - A))\)를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(n(A \cap B)\)가 최솟값 \(m\)을 가질 때, \(n(A - B)\)와 \(n(B - A)\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 군수열·계차 규칙의 귀납적 추론과 등비급수형 부분합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 합과 귀납적 추론 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.17 탐구 7055 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)의 이웃한 두 항의 차 \(b_n = a_{n+1} - a_n\)이 주어지면, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k\)가 성립한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\sum_{n=2}^{10} \dfrac{1}{a_n - 2}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.