2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 삼차 곱셈 공식과 대칭 다항식의 차수 확장 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.10 탐구 7041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 두 실수 \(x, y\)의 기본 대칭식 \(s = x + y,\; p = xy\)를 알면 \(x^2 + y^2 = s^2 - 2p,\; x^3 + y^3 = s^3 - 3ps\) 및 \(x^n + y^n = s(x^{n-1} + y^{n-1}) - p(x^{n-2} + y^{n-2})\)로 모든 거듭제곱 합을 구할 수 있다.

두 실수 \(x, y\)가 \(x + y = 3,\; x^3 + y^3 = 9\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(xy\)와 \(x^2 + y^2\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(x^4 + y^4\)과 \(x^5 + y^5\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \((x - y)^2\)의 값을 구하고 두 수 \(x, y\)의 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(xy = 2,\; x^2 + y^2 = 5\) | [1-2] \(x^4 + y^4 = 17,\; x^5 + y^5 = 33\) | [1-3] \((x - y)^2 = 1,\; (1, 2)\) 또는 \((2, 1)\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)\)에 \(x + y = 3\)을 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(9 = 27 - 9xy\)에서 \(xy = 2\)이고, \(x^2 + y^2 = 9 - 4 = 5\)이다. 또한 \(x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = 25 - 8 = 17\)이며, \(x^5 + y^5 = 3(17) - 2(9) = 33\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \((x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 9 - 8 = 1\)이고, \(t^2 - 3t + 2 = 0\)의 두 근이므로 \((x, y) = (1, 2)\) 또는 \((2, 1)\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(xy = 2\) 도출 +3점 / \(x^2 + y^2 = 5\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^4 + y^4 = 17\) 유도 +3점 / \(x^5 + y^5 = 33\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• \((x-y)^2 = 1\) 도출 +3점 / \((1, 2), (2, 1)\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 실제 근 \(x, y = 1, 2\)를 구한 뒤 \(1^4 + 2^4 = 17,\; 1^5 + 2^5 = 33\)으로 대입하면 대칭식 점화 계산을 즉시 검산할 수 있습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 복소수의 거듭제곱 주기성과 켤레복소수 조건 (20점)

대수 Ⅱ. 주기성과 거듭제곱 순환 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 탐구 7042 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 허수단위 \(i = \sqrt{-1}\)에 대하여 \(z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}\)는 \(z^2 = i,\; z^4 = -1,\; z^8 = 1\)의 주기를 가지며, 켤레복소수 \(\overline{z}\)와 \(z\overline{z} = 1\)을 만족시킨다.

복소수 \(z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}\)와 자연수 \(n\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(z^2, z^4, z^8\)의 값을 각각 구하고, \(z + \overline{z}\)와 \(z\overline{z}\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(z^n + \overline{z}^n = 0\)을 만족시키는 \(50\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{20} z^{2k}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(z^2 = i,\; z^4 = -1,\; z^8 = 1,\; z + \overline{z} = \sqrt{2},\; z\overline{z} = 1\) | [2-2] \(13\)개 | [2-3] \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(z^2 = \dfrac{1 + 2i - 1}{2} = i\)이고 \(\overline{z}^2 = -i\)임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(z^4 = i^2 = -1,\; z^8 = 1\)이다. \(\overline{z} = z^{-1}\)이므로 \(z^n + \overline{z}^n = 0 \iff z^{2n} = -1 \iff i^n = -1\)이거나 홀수 차수 주기를 조사하면, 주기 \(8\)에서 \(n \equiv 2, 6 \pmod{8}\)일 때 \(z^n + \overline{z}^n = i + (-i) = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(n \equiv 2, 6 \pmod{8}\)은 \(4k - 2\;(k = 1, 2, \ldots, 13)\) 꼴이므로 \(50\) 이하에서 \(13\)개이고, \(z^{2k} = i^k\)는 연속한 \(4\)개 항의 합이 \(i - 1 - i + 1 = 0\)이므로 \(20\)개 항의 합은 \(0\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(z^2=i, z^4=-1, z^8=1\) 계산 +3점 / \(z+\overline{z}=\sqrt{2}, z\overline{z}=1\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• \(z^n + \overline{z}^n = 0 \iff n = 4k - 2\) 유도 +4점 / \(50\) 이하 개수 \(13\)개 산출 +3점
소문항 [2-3]	• \(z^{2k} = i^k\)의 \(4\)주기 합 \(0\) 논증 +4점 / 합 \(0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(n\)이 홀수일 때는 \(z^n + \overline{z}^n = \pm\sqrt{2} \ne 0\)이고, \(n = 4k\)일 때는 \(\pm 2 \ne 0\)이므로 오직 \(n = 4k - 2\)일 때만 \(0\)이 됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 일대일대응 조건과 합성함수·역함수의 방정식 (20점)

대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 7043 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 정의된 구간별 일차함수가 일대일대응(역함수가 존재)이기 위한 필요충분조건은 경계점에서 연속이고 두 구간의 기울기의 곱이 양수인 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \ge 1) \\ ax + 3 - a & (x \lt 1) \end{cases}\)의 역함수가 존재하고 \((f \circ f)(-1) = 3\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\)의 부호 조건을 구하고, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 \((f \circ f)(-1) = 3\)을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(f^{-1}(7) + f^{-1}(-3)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a \gt 0,\; f(1) = 3\) | [3-2] \(a = 1\) | [3-3] \(-2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \ge 1\)에서 기울기가 \(2 \gt 0\)이므로 \(x \lt 1\)에서도 기울기 \(a \gt 0\)이어야 하며, \(f(1) = 3\)에서 연속이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(t) = 3\)을 만족시키는 유일한 값은 \(t = 1\)이므로 \(f(-1) = 1\)이다. \(-1 \lt 1\)을 대입하면 \(f(-1) = 3 - 2a = 1\)에서 \(a = 1\;(a \gt 0)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(x) = 7 \ge 3\)은 \(x \ge 1\)에서 \(2x + 1 = 7 \implies x = 3\)이므로 \(f^{-1}(7) = 3\)이고, \(f(x) = -3 \lt 3\)은 \(x \lt 1\)에서 \(x + 2 = -3 \implies x = -5\)이므로 \(f^{-1}(-3) = -5\)이다. 따라서 합은 \(3 + (-5) = -2\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 기울기 부호 \(a \gt 0\) 판정 +3점 / \(f(1) = 3\) 확인 +3점
소문항 [3-2]	• \(f(-1) = 1\) 역추적 +3점 / \(3 - 2a = 1 \implies a = 1\) 도출 +4점
소문항 [3-3]	• \(f^{-1}(7) = 3,\; f^{-1}(-3) = -5\) 계산 +4점 / 합 \(-2\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수 함숫값 \(f^{-1}(k)\)를 구할 때는 치역의 경계값 \(f(1) = 3\)을 기준으로 \(k \ge 3\)인지 \(k \lt 3\)인지 먼저 비교하여 대입할 식을 선택해야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 제한 조건이 있는 조합의 분할과 여사건의 활용 (20점)

대수 Ⅲ-3. 귀납적 경우 분할과 수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 탐구 7044 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 택하는 조합의 수는 \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)이며, '적어도 하나'가 포함되는 경우의 수는 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼서 구한다.

남학생 \(5\)명과 여학생 \(4\)명으로 구성된 수학 동아리에서 발표 대회에 참가할 대표 \(4\)명을 뽑으려고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제약 없이 대표 \(4\)명을 뽑는 전체 경우의 수와, 남학생 \(2\)명과 여학생 \(2\)명을 뽑는 경우의 수를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 남학생과 여학생이 각각 적어도 \(1\)명씩 포함되도록 대표 \(4\)명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 특정한 두 학생 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 중 적어도 한 명이 포함되도록 대표 \(4\)명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 전체 \(126\), 남2·여2는 \(60\) | [4-2] \(120\) | [4-3] \(91\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전체 \(9\)명 중 \(4\)명을 택하는 조합의 수는 \({}_{9}\mathrm{C}_{4} = 126\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 남학생 \(2\)명, 여학생 \(2\)명은 \({}_{5}\mathrm{C}_{2} \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} = 10 \times 6 = 60\)이다. 남·여 적어도 \(1\)명씩 포함되는 여사건은 모두 남학생이거나 모두 여학생인 경우이므로 \(126 - ({}_{5}\mathrm{C}_{4} + {}_{4}\mathrm{C}_{4}) = 126 - (5 + 1) = 120\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)가 모두 제외되는 경우의 수는 나머지 \(7\)명 중 \(4\)명을 뽑는 \({}_{7}\mathrm{C}_{4} = 35\)이므로, 적어도 한 명이 포함되는 경우의 수는 \(126 - 35 = 91\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \({}_{9}\mathrm{C}_{4} = 126\) 산출 +3점 / \({}_{5}\mathrm{C}_{2}\times {}_{4}\mathrm{C}_{2} = 60\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 여사건 \({}_{5}\mathrm{C}_{4} + {}_{4}\mathrm{C}_{4} = 6\) 설정 +4점 / \(120\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 제외 \({}_{7}\mathrm{C}_{4} = 35\) 계산 +4점 / \(126 - 35 = 91\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 여사건을 쓸 때 '모두 남학생인 경우(\({}_{5}\mathrm{C}_{4}\))'와 '모두 여학생인 경우(\({}_{4}\mathrm{C}_{4}\))' 두 가지를 모두 빼야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.11 탐구 7045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가지며, \(m \le k \le M\)인 임의의 실수 \(k\)에 대하여 \(f(c) = k\)인 \(c \in [a, b]\)가 적어도 하나 존재한다.

닫힌구간 \([0, 3]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 방정식 \(f(x) = 2x - 1\)이 열린구간 \((1, 2)\)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

[문항 5-3] (7점) 구간 \([0, 3]\)에서 \(\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} f(x)\,dx = f(c)\)를 만족시키는 유리수 \(c \in (0, 3)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(M = 4,\; m = 0\) | [5-2] \(h(1) = 1 \gt 0,\; h(2) = -3 \lt 0\) 사잇값 정리 | [5-3] \(c = \dfrac{3}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x(x - 2) = 0\)으로부터 구간 \([0, 3]\) 내의 극값과 끝점 값을 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(0) = 4,\; f(2) = 0,\; f(3) = 4\)이므로 \(M = 4,\; m = 0\)이다. 또한 \(h(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5\)는 연속이고 \(h(1) = 1 \gt 0,\; h(2) = -3 \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \((1, 2)\)에 실근이 존재한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 4)\,dx = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{81}{4} - 27 + 12\right) = \dfrac{7}{4}\)이고, \(c^3 - 3c^2 + 4 = \dfrac{7}{4} \iff 4c^3 - 12c^2 + 9 = (2c - 3)(2c^2 - 3c - 3) = 0\)에서 유리수 해는 \(c = \dfrac{3}{2}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 극솟값 \(f(2)=0\) 및 양 끝점 \(f(0)=f(3)=4\) 계산 +3점 / \(M=4, m=0\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(h(x) = f(x) - 2x + 1\) 설정 및 연속성 명시 +3점 / \(h(1)h(2) \lt 0\) 사잇값 정리 서술 +4점
소문항 [5-3]	• 평균값 \(\dfrac{7}{4}\) 적분 산출 +4점 / \(c = \dfrac{3}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)는 변곡점 \(\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{4}\right)\)에 대하여 점대칭이므로 구간 \([0, 3]\)의 평균값은 항상 중점 \(c = \dfrac{3}{2}\)에서의 함숫값과 같습니다.