2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 4회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 삼차 곱셈 공식과 대칭 다항식의 차수 확장 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 거듭제곱 대칭식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.10 탐구 7041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 두 실수 \(x, y\)의 기본 대칭식 \(s = x + y,\; p = xy\)를 알면 \(x^2 + y^2 = s^2 - 2p,\; x^3 + y^3 = s^3 - 3ps\) 및 \(x^n + y^n = s(x^{n-1} + y^{n-1}) - p(x^{n-2} + y^{n-2})\)로 모든 거듭제곱 합을 구할 수 있다.

두 실수 \(x, y\)가 \(x + y = 3,\; x^3 + y^3 = 9\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(xy\)와 \(x^2 + y^2\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(x^4 + y^4\)과 \(x^5 + y^5\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \((x - y)^2\)의 값을 구하고 두 수 \(x, y\)의 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 복소수의 거듭제곱 주기성과 켤레복소수 조건 (20점)

대수 Ⅱ. 주기성과 거듭제곱 순환 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.12 탐구 7042 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 허수단위 \(i = \sqrt{-1}\)에 대하여 \(z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}\)는 \(z^2 = i,\; z^4 = -1,\; z^8 = 1\)의 주기를 가지며, 켤레복소수 \(\overline{z}\)와 \(z\overline{z} = 1\)을 만족시킨다.

복소수 \(z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}\)와 자연수 \(n\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(z^2, z^4, z^8\)의 값을 각각 구하고, \(z + \overline{z}\)와 \(z\overline{z}\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(z^n + \overline{z}^n = 0\)을 만족시키는 \(50\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{20} z^{2k}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 일대일대응 조건과 합성함수·역함수의 방정식 (20점)

대수 Ⅰ-2. 역함수의 존재와 일대일대응 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 7043 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 정의된 구간별 일차함수가 일대일대응(역함수가 존재)이기 위한 필요충분조건은 경계점에서 연속이고 두 구간의 기울기의 곱이 양수인 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \ge 1) \\ ax + 3 - a & (x \lt 1) \end{cases}\)의 역함수가 존재하고 \((f \circ f)(-1) = 3\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\)의 부호 조건을 구하고, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 \((f \circ f)(-1) = 3\)을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(f^{-1}(7) + f^{-1}(-3)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 제한 조건이 있는 조합의 분할과 여사건의 활용 (20점)

대수 Ⅲ-3. 귀납적 경우 분할과 수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 탐구 7044 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 택하는 조합의 수는 \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)이며, '적어도 하나'가 포함되는 경우의 수는 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼서 구한다.

남학생 \(5\)명과 여학생 \(4\)명으로 구성된 수학 동아리에서 발표 대회에 참가할 대표 \(4\)명을 뽑으려고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제약 없이 대표 \(4\)명을 뽑는 전체 경우의 수와, 남학생 \(2\)명과 여학생 \(2\)명을 뽑는 경우의 수를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 남학생과 여학생이 각각 적어도 \(1\)명씩 포함되도록 대표 \(4\)명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 특정한 두 학생 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 중 적어도 한 명이 포함되도록 대표 \(4\)명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 닫힌구간에서 연속함수의 최대·최소 정리와 사잇값 정리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.11 탐구 7045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가지며, \(m \le k \le M\)인 임의의 실수 \(k\)에 대하여 \(f(c) = k\)인 \(c \in [a, b]\)가 적어도 하나 존재한다.

닫힌구간 \([0, 3]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 방정식 \(f(x) = 2x - 1\)이 열린구간 \((1, 2)\)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

[문항 5-3] (7점) 구간 \([0, 3]\)에서 \(\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} f(x)\,dx = f(c)\)를 만족시키는 유리수 \(c \in (0, 3)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.