2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 원에 접하는 직선의 방정식과 접점 삼각형의 넓이 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 탐구 7031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 원 \(x^2 + y^2 = r^2\)과 직선 \(ax + by + c = 0\)이 접하기 위한 필요충분조건은 원의 중심 \((0, 0)\)에서 직선까지의 거리 \(d = \dfrac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)가 반지름 \(r\)과 같은 것이다.

원 \(C : x^2 + y^2 = 8\)과 직선 \(l : y = x + k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 직선 \(l\)이 원 \(C\)에 접하도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 직선 \(l\)이 원 \(C\)와 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에서 만나고 현 \(\mathrm{AB}\)의 길이가 \(4\)일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(k = \pm 4\) | [1-2] \(k = 2\sqrt{2}\) | [1-3] \(4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 원점 \((0, 0)\)에서 직선 \(x - y + k = 0\)까지의 거리는 \(d = \dfrac{|k|}{\sqrt{2}}\)이고 반지름은 \(r = 2\sqrt{2}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접할 조건 \(d = r\)에서 \(\dfrac{|k|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \implies k = \pm 4\)이다. 현의 길이가 \(4\)이면 반현의 길이가 \(2\)이므로 피타고라스 정리에 의해 \(d = \sqrt{8 - 4} = 2\)이고, \(\dfrac{k}{\sqrt{2}} = 2\;(k \gt 0)\)에서 \(k = 2\sqrt{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 밑변 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4\), 높이 \(d = 2\)이므로 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 거리 공식 \(d = \dfrac{\|k\|}{\sqrt{2}}\) 적용 +3점 / \(k = \pm 4\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 피타고라스 정리로 \(d = 2\) 유도 +4점 / \(k = 2\sqrt{2}\) 산출 +3점
소문항 [1-3]	• 밑변 \(4\)와 높이 \(2\) 결합 +4점 / 넓이 \(4\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원과 직선의 교점 현의 길이는 연립방정식의 근과 계수의 관계보다 중심에서 현에 내린 수선의 발과 피타고라스 정리를 쓰는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 부등식의 수학적 귀납법 증명과 베르누이형 하한 추정 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 7032 변형 | 성취기준: 12대수03-07]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\;(n \ge 2)\)에 대한 부등식 \(A(n) \gt B(n)\)을 수학적 귀납법으로 증명할 때는 \(n = k\)일 때의 가정으로부터 양변에 양수를 곱해 얻은 식과 목표 식의 차가 양수임을 보인다.

\(h \gt 0\)일 때, \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \((1 + h)^n \gt 1 + nh\)가 성립함을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(n = 2\)일 때 좌변과 우변의 차를 구하여 부등식이 성립함을 보이시오.

[문항 2-2] (7점) \(n = k\;(k \ge 2)\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 제시문 (가)의 방법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 증명한 부등식 (또는 이항 전개 하한 \((1 + h)^n \gt 1 + nh + \dfrac{n(n-1)}{2}h^2\))을 이용하여 \(1.1^{10} \gt 2\)임을 보이시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \((1+h)^2 - (1+2h) = h^2 \gt 0\) | [2-2] \((1+kh)(1+h) = 1 + (k+1)h + kh^2 \gt 1 + (k+1)h\) | [2-3] \(h = 0.1, n = 10\) 대입 시 \(1.1^{10} \gt 1 + 10(0.1) = 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(n = 2\)일 때 \((1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2 \gt 1 + 2h\;(h^2 \gt 0)\)이므로 성립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(n = k\)일 때 \((1 + h)^k \gt 1 + kh\)라 가정하고 양변에 \(1 + h \gt 0\)을 곱하면 \((1 + h)^{k+1} \gt (1 + kh)(1 + h) = 1 + (k + 1)h + kh^2 \gt 1 + (k + 1)h\)이므로 \(n = k + 1\)일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(h = 0.1,\; n = 10\)을 대입하면 \(1.1^{10} \gt 1 + 10 \times 0.1 = 2\)가 즉시 성립한다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \((1+h)^2 = 1+2h+h^2\) 전개 +3점 / \(h^2 \gt 0\) 근거 명시 +3점
소문항 [2-2]	• 양변에 \(1+h \gt 0\) 곱하기 +3점 / \(kh^2 \gt 0\) 비교로 \(1+(k+1)h\) 하한 도출 +4점
소문항 [2-3]	• \(h = 0.1, n = 10\) 대입 +4점 / \(1.1^{10} \gt 2\) 연역 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 부등식의 귀납법 증명에서는 \((1+kh)(1+h)\)가 곧바로 \(1+(k+1)h\)가 되는 것이 아니라 \(kh^2 \gt 0\)만큼 더 크다는 중간 부등식을 반드시 서술해야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 다항함수의 도함수 조건과 부정적분 상수의 결정 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 7033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

<제시문 (가)> 두 다항함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = f'(x) + g'(x)\)이고 \(\dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)이다.

두 다항함수 \(f(x), g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = 2x + 2,\; \dfrac{d}{dx}\{f(x) - g(x)\} = 6x^2 - 2x - 2\)를 만족시키고 \(f(0) = 1,\; g(0) = -2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 부정적분과 초기값 \(f(0), g(0)\)을 이용하여 \(f(x) + g(x)\)와 \(f(x) - g(x)\)를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 다항함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\int_{0}^{2} \{f(x) - g(x)\}\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(x) + g(x) = x^2 + 2x - 1,\; f(x) - g(x) = 2x^3 - x^2 - 2x + 3\) | [3-2] \(f(x) = x^3 + 1,\; g(x) = -x^3 + x^2 + 2x - 2\) | [3-3] \(\dfrac{22}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) + g(0) = -1,\; f(0) - g(0) = 3\)을 각 부정적분의 적분상수로 사용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(x) + g(x) = x^2 + 2x - 1\)이고 \(f(x) - g(x) = 2x^3 - x^2 - 2x + 3\)이다. 두 식을 더하고 빼서 \(2\)로 나누면 \(f(x) = x^3 + 1,\; g(x) = -x^3 + x^2 + 2x - 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\int_{0}^{2} (2x^3 - x^2 - 2x + 3)\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^4 - \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x\right]_{0}^{2} = 8 - \dfrac{8}{3} - 4 + 6 = \dfrac{22}{3}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 적분상수 \(-1, 3\) 결정 +3점 / \(f+g, f-g\) 식 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 연립으로 \(f(x) = x^3 + 1\) 산출 +3점 / \(g(x) = -x^3 + x^2 + 2x - 2\) 도출 +4점
소문항 [3-3]	• 부정적분 계산 +4점 / 정적분 값 \(\dfrac{22}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 각각 구하기 전에 \(f(0)+g(0)\)과 \(f(0)-g(0)\)으로 적분상수를 먼저 확정하면 계산 실수를 방지할 수 있습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 도함수의 대칭성과 정적분의 구간 결합 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 7034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 우함수(\(f'(-x) = f'(x)\))이면, \(f(x) - f(0)\)은 기함수이므로 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(f(a) + f(-a) = 2f(0)\)이 성립한다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(-x) = f'(x)\)를 만족시키고 \(f(0) = 3,\; f(2) = 7\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 \(f'(x)\)와 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(f(-2)\)의 값과 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f'(x) = 3x^2 - 2,\; f(x) = x^3 - 2x + 3\) | [4-2] \(f(-2) = -1\), 정적분 \(12\) | [4-3] \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 + c\) (일차항 계수 \(0\))이므로 \(f(x) = x^3 + cx + 3\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(2) = 8 + 2c + 3 = 7\)에서 \(c = -2\)이므로 \(f(x) = x^3 - 2x + 3,\; f'(x) = 3x^2 - 2\)이다. 이때 \(f(-2) = -8 + 4 + 3 = -1\)이고, \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x + 3)\,dx = 2\int_{0}^{2} 3\,dx = 12\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f'(x)\)가 우함수이므로 \(x f'(x)\)는 기함수이다. 따라서 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서의 정적분 \(\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx = 0\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 우함수 조건으로 일차항 제거 +3점 / \(f(x) = x^3 - 2x + 3\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• \(f(-2) = -1\) 산출 +3점 / 대칭 구간 적분 \(12\) 도출 +4점
소문항 [4-3]	• \(x f'(x)\)가 기함수임을 논증 +4점 / 정적분 \(0\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 \(f(x)\)의 변곡점이 \((0, 3)\)이므로 \(f(2) + f(-2) = 2f(0) = 6\)에서 \(f(-2) = 6 - 7 = -1\)을 즉시 확인할 수 있습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 절댓값 부등식의 충분조건·필요조건과 미정계수 범위 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 구간 포함 조건 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 탐구 7035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 두 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P, Q\)라 할 때, \(p\)가 \(q\)이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아니려면 \(P \subset Q\)이고 \(P \ne Q\)이어야 한다.

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p : |x - 2| \le 3,\; q : x^2 - 2ax + a^2 - 25 \le 0\)에 대하여 \(p\)가 \(q\)이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 \(a\)를 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 두 조건 \(p, q\)의 진리집합 \(P, Q\)를 각각 닫힌구간으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(P \subset Q\)가 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) [문항 5-2]를 만족시키는 모든 정수 \(a\)의 개수와 값들의 합을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(P = [-1, 5],\; Q = [a - 5, a + 5]\) | [5-2] \(0 \le a \le 4\) | [5-3] \(5\)개, 합 \(10\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(|x - 2| \le 3 \iff -1 \le x \le 5\)이고, \((x - a)^2 \le 25 \iff a - 5 \le x \le a + 5\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P \subset Q\)이려면 \(a - 5 \le -1\)이고 \(5 \le a + 5\)가 동시에 성립해야 하므로 \(0 \le a \le 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 정수 \(a\)는 \(0, 1, 2, 3, 4\)의 \(5\)개이고, 그 합은 \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(P = [-1, 5]\) 도출 +3점 / \(Q = [a-5, a+5]\) 인수분해 +3점
소문항 [5-2]	• 양 끝점 부등식 \(a-5 \le -1,\; a+5 \ge 5\) 수립 +4점 / \(0 \le a \le 4\) 산출 +3점
소문항 [5-3]	• 정수 \(5\)개 확인 +3점 / 합 \(10\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 두 집합 모두 닫힌구간이므로 경계에서 등호가 성립해도 포함 관계 \(P \subset Q\)가 유지됩니다.