2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 원에 접하는 직선의 방정식과 접점 삼각형의 넓이 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수와 단위원의 현 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 탐구 7031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 원 \(x^2 + y^2 = r^2\)과 직선 \(ax + by + c = 0\)이 접하기 위한 필요충분조건은 원의 중심 \((0, 0)\)에서 직선까지의 거리 \(d = \dfrac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)가 반지름 \(r\)과 같은 것이다.

원 \(C : x^2 + y^2 = 8\)과 직선 \(l : y = x + k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 직선 \(l\)이 원 \(C\)에 접하도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 직선 \(l\)이 원 \(C\)와 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에서 만나고 현 \(\mathrm{AB}\)의 길이가 \(4\)일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 부등식의 수학적 귀납법 증명과 베르누이형 하한 추정 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 7032 변형 | 성취기준: 12대수03-07]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\;(n \ge 2)\)에 대한 부등식 \(A(n) \gt B(n)\)을 수학적 귀납법으로 증명할 때는 \(n = k\)일 때의 가정으로부터 양변에 양수를 곱해 얻은 식과 목표 식의 차가 양수임을 보인다.

\(h \gt 0\)일 때, \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \((1 + h)^n \gt 1 + nh\)가 성립함을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(n = 2\)일 때 좌변과 우변의 차를 구하여 부등식이 성립함을 보이시오.

[문항 2-2] (7점) \(n = k\;(k \ge 2)\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 제시문 (가)의 방법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 증명한 부등식 (또는 이항 전개 하한 \((1 + h)^n \gt 1 + nh + \dfrac{n(n-1)}{2}h^2\))을 이용하여 \(1.1^{10} \gt 2\)임을 보이시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 다항함수의 도함수 조건과 부정적분 상수의 결정 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 7033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

<제시문 (가)> 두 다항함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = f'(x) + g'(x)\)이고 \(\dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)이다.

두 다항함수 \(f(x), g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = 2x + 2,\; \dfrac{d}{dx}\{f(x) - g(x)\} = 6x^2 - 2x - 2\)를 만족시키고 \(f(0) = 1,\; g(0) = -2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 부정적분과 초기값 \(f(0), g(0)\)을 이용하여 \(f(x) + g(x)\)와 \(f(x) - g(x)\)를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 다항함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\int_{0}^{2} \{f(x) - g(x)\}\,dx\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 도함수의 대칭성과 정적분의 구간 결합 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 7034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 우함수(\(f'(-x) = f'(x)\))이면, \(f(x) - f(0)\)은 기함수이므로 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(f(a) + f(-a) = 2f(0)\)이 성립한다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(-x) = f'(x)\)를 만족시키고 \(f(0) = 3,\; f(2) = 7\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 \(f'(x)\)와 함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(f(-2)\)의 값과 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 절댓값 부등식의 충분조건·필요조건과 미정계수 범위 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 연속함수의 구간 포함 조건 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.10 탐구 7035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 두 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P, Q\)라 할 때, \(p\)가 \(q\)이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아니려면 \(P \subset Q\)이고 \(P \ne Q\)이어야 한다.

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p : |x - 2| \le 3,\; q : x^2 - 2ax + a^2 - 25 \le 0\)에 대하여 \(p\)가 \(q\)이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 \(a\)를 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 두 조건 \(p, q\)의 진리집합 \(P, Q\)를 각각 닫힌구간으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(P \subset Q\)가 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) [문항 5-2]를 만족시키는 모든 정수 \(a\)의 개수와 값들의 합을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.