2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 거듭제곱의 대소 비교와 정수 지수 부등식의 해의 개수 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 7021 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(A, B\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(A \lt B \iff A^n \lt B^n\)이 성립하므로, 서로 다른 거듭제곱근의 대소는 지수의 분모를 통분하여 밑의 크기를 비교함으로써 판정할 수 있다.

세 양수 \(A = \sqrt{2},\; B = \sqrt[3]{3},\; C = \sqrt[6]{6}\)과 자연수 \(m\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(A^6, B^6, C^6\)의 값을 각각 구하고, 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 부등식 \(A^6 \le 2^m \le B^{12}\)를 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값들의 합을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 자연수 \(k\;(1 \le k \le 20)\)에 대하여 \((A \cdot B \cdot C)^k\)이 자연수가 되도록 하는 모든 \(k\)의 값들의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(A^6 = 8,\; B^6 = 9,\; C^6 = 6 \implies C \lt A \lt B\) | [1-2] \(18\) | [1-3] \(36\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 지수의 분모 \(2, 3, 6\)의 최소공배수인 \(6\)제곱을 취하여 자연수로 변환한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(A^6 = 2^3 = 8,\; B^6 = 3^2 = 9,\; C^6 = 6\)이므로 \(6 \lt 8 \lt 9\)에서 \(C \lt A \lt B\)이다. 또한 \(B^{12} = (B^6)^2 = 81\)이므로 \(8 \le 2^m \le 81\)을 만족시키는 자연수 \(m\)은 \(3, 4, 5, 6\)이고 합은 \(18\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(A B C = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}\)이므로 \((ABC)^k = 2^{\frac{2k}{3}} \cdot 3^{\frac{k}{2}}\)이 자연수가 되려면 \(k\)는 \(6\)의 배수여야 한다. 따라서 \(k \in \{6, 12, 18\}\)이고 합은 \(36\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(A^6=8, B^6=9, C^6=6\) 계산 +3점 / \(C \lt A \lt B\) 판정 +3점
소문항 [1-2]	• \(8 \le 2^m \le 81\) 범위 유도 +3점 / \(m \in \{3,4,5,6\}\) 합 \(18\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• \(ABC = 2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\) 정리 +4점 / \(6\)의 배수 합 \(36\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(6^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}\)으로 소인수분해하여 밑을 \(2\)와 \(3\)으로 통일해야 지수의 기약분수 분모를 정확히 찾을 수 있습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 로그함수의 성질을 이용한 수의 대소 비교와 로그부등식 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 탐구 7022 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 로그함수 \(y = \log_a x\)에서 밑 \(a \gt 1\)이면 \(0 \lt x_1 \lt x_2 \iff \log_a x_1 \lt \log_a x_2\)이고, \(0 \lt a \lt 1\)이면 부등호의 방향이 반대가 된다.

세 실수 \(P = 2\log_2 3,\; Q = \log_2 5 + 1,\; R = 3\log_4 3\)과 로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 세 실수 \(P, Q, R\)를 모두 밑이 \(2\)인 단일 로그 \(\log_2 M\) 꼴로 나타내고 대소 관계를 판정하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 로그부등식에서 진수 조건을 구하고, 부등식의 해를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]의 해집합에 속하는 정수 \(x\)에 대하여 \(2^x\)의 값들의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(R = \log_2 3\sqrt{3} \lt P = \log_2 9 \lt Q = \log_2 10\) | [2-2] \(3 \lt x \le 5\) | [2-3] \(48\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑변환 공식과 로그의 성질을 이용하여 세 수를 밑이 \(2\)인 로그로 통일한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P = \log_2 9,\; Q = \log_2 10,\; R = \log_2 3^{\frac{3}{2}} = \log_2 \sqrt{27}\)이고 \(\sqrt{27} \lt 9 \lt 10\)이므로 \(R \lt P \lt Q\)이다. 또한 부등식의 진수 조건은 \(x \gt 3\)이고, \((x - 1)(x - 3) \le 8 \implies x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \le 0\)에서 \(3 \lt x \le 5\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(3 \lt x \le 5\)를 만족시키는 정수 \(x\)는 \(4, 5\)이므로 \(2^4 + 2^5 = 16 + 32 = 48\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(P=\log_2 9,\; Q=\log_2 10,\; R=\log_2\sqrt{27}\) 변환 +3점 / \(R \lt P \lt Q\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 진수 조건 \(x \gt 3\) 명시 +3점 / 해 \(3 \lt x \le 5\) 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 정수 \(x = 4, 5\) 선택 +3점 / \(2^4 + 2^5 = 48\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 로그부등식에서 진수 조건 \(x \gt 3\)을 누락하면 \(-1 \le x \le 5\)로 오답을 내게 되므로 반드시 첫 줄에 진수 조건을 선언해야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 하노이의 탑 점화식의 유도 및 수학적 귀납법 증명 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 7023 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)을 만족시킬 때, 양변에 \(1\)을 더하면 \(a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)\)이 되어 수열 \(\{a_n + 1\}\)은 등비수열을 이룬다.

크기가 서로 다른 \(n\)개의 원판을 규칙에 따라 다른 기둥으로 모두 옮기는 최소 이동 횟수를 \(a_n\)이라 하면 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = 2a_n + 1\;(n \ge 1)\)이 성립한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 2^n - 1\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a_n = 2^n - 1\) | [3-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [3-3] \(2036\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n + 1\)은 첫째항이 \(a_1 + 1 = 2\), 공비가 \(2\)인 등비수열이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a_n + 1 = 2^n \implies a_n = 2^n - 1\)이다. (i) \(n = 1\)일 때 \(a_1 = 2^1 - 1 = 1\) 성립. (ii) \(n = k\)일 때 \(a_k = 2^k - 1\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1\)이므로 \(n = k + 1\)일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sum_{k=1}^{10} (2^k - 1) = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} - 10 = 2046 - 10 = 2036\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(a_n + 1 = 2^n\) 등비수열 유도 +3점 / \(a_n = 2^n - 1\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(n = 1\) 성립 확인 +2점 / \(n = k\) 가정 후 \(a_{k+1} = 2^{k+1} - 1\) 연역 +5점
소문항 [3-3]	• 등비수열 합 \(2046\) 계산 +4점 / 상수항 \(-10\) 차감하여 \(2036\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\sum_{k=1}^{10} (2^k - 1)\)에서 \(-1\)을 \(10\)번 더한 \(-10\)을 빼는 것을 잊지 않도록 주의하십시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 도함수로부터 부정적분 결정과 극값 차 공식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 7024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta)\;(\alpha \lt \beta)\)일 때, 극댓값과 극솟값의 차는 \(\left|\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3\)이다.

삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)이고 \(f(0) = 5\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f'(x) = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 제시문 (가)의 공식으로 극댓값과 극솟값의 차를 검산하시오.

[문항 4-3] (7점) 닫힌구간 \([-2, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5,\; \alpha = -1,\; \beta = 3\) | [4-2] 극댓값 \(10\), 극솟값 \(-22\), 차 \(32\) | [4-3] \(-12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = \int (3x^2 - 6x - 9)\,dx = x^3 - 3x^2 - 9x + C\)이고 \(f(0) = 5\)에서 \(C = 5\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 \(\alpha = -1,\; \beta = 3\)이다. 극댓값은 \(f(-1) = 10\), 극솟값은 \(f(3) = -22\)이며, 차는 \(\dfrac{1}{2}(3 - (-1))^3 = 32\)로 일치한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 양 끝점 함숫값은 \(f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3,\; f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15\)이므로 최댓값은 \(10\), 최솟값은 \(-22\)이며 합은 \(-12\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) 도출 +3점 / \(\alpha = -1, \beta = 3\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 극댓값 \(10\), 극솟값 \(-22\) 계산 +4점 / 공식 차 \(32\) 확인 +3점
소문항 [4-3]	• 양 끝점 \(f(-2)=3, f(4)=-15\) 비교 +4점 / 합 \(-12\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차는 적분상수 \(C\)에 무관하게 항상 \(\dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3\)으로 결정됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 두 평면벡터의 내적과 거리 제곱 합의 최소화 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수의 활용과 좌표 기하 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.10 탐구 7025 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A}(x_1, y_1),\; \mathrm{B}(x_2, y_2),\; \mathrm{C}(x_3, y_3)\)에 대하여 임의의 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)에서 세 점까지의 거리의 제곱의 합 \(\overline{\mathrm{PA}}^2 + \overline{\mathrm{PB}}^2 + \overline{\mathrm{PC}}^2\)은 점 \(\mathrm{P}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 무게중심 \(\mathrm{G}\)와 일치할 때 최솟값을 갖는다.

좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A}(2, 3),\; \mathrm{B}(-2, -1),\; \mathrm{C}(6, 4)\)와 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(S(x, y) = \overline{\mathrm{PA}}^2 + \overline{\mathrm{PB}}^2 + \overline{\mathrm{PC}}^2\)을 \(x\)에 대한 완전제곱식과 \(y\)에 대한 완전제곱식의 합으로 정리하시오.

[문항 5-2] (7점) \(S(x, y)\)가 최솟값을 가질 때의 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표와 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 변의 길이의 제곱의 합 \(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2\)이 [문항 5-2]의 최솟값의 \(3\)배와 같음을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(3(x - 2)^2 + 3(y - 2)^2 + 46\) | [5-2] \(\mathrm{P}(2, 2)\), 최솟값 \(46\) | [5-3] 세 변 제곱 합 \(138 = 3 \times 46\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 \(S(x, y)\)를 전개한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S(x, y) = (3x^2 - 12x + 44) + (3y^2 - 12y + 26) = 3(x - 2)^2 + 3(y - 2)^2 + 46\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{P}(2, 2)\) (무게중심)에서 최솟값 \(46\)을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\overline{\mathrm{AB}}^2 = 16 + 16 = 32,\; \overline{\mathrm{BC}}^2 = 64 + 25 = 89,\; \overline{\mathrm{CA}}^2 = 16 + 1 = 17\)이므로 합은 \(32 + 89 + 17 = 138 = 3 \times 46\)이 성립한다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(x, y\) 이차식 전개 +3점 / \(3(x-2)^2 + 3(y-2)^2 + 46\) 유도 +3점
소문항 [5-2]	• 무게중심 \(\mathrm{P}(2, 2)\) 도출 +3점 / 최솟값 \(46\) 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 세 변 제곱 합 \(32 + 89 + 17 = 138\) 계산 +4점 / \(3 \times 46 = 138\) 확인 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형에서 \(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2 = 3(\overline{\mathrm{GA}}^2 + \overline{\mathrm{GB}}^2 + \overline{\mathrm{GC}}^2)\) 항등식은 계산 검산에 매우 유용합니다.