2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 거듭제곱의 대소 비교와 정수 지수 부등식의 해의 개수 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 7021 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(A, B\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(A \lt B \iff A^n \lt B^n\)이 성립하므로, 서로 다른 거듭제곱근의 대소는 지수의 분모를 통분하여 밑의 크기를 비교함으로써 판정할 수 있다.

세 양수 \(A = \sqrt{2},\; B = \sqrt[3]{3},\; C = \sqrt[6]{6}\)과 자연수 \(m\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(A^6, B^6, C^6\)의 값을 각각 구하고, 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 부등식 \(A^6 \le 2^m \le B^{12}\)를 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값들의 합을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 자연수 \(k\;(1 \le k \le 20)\)에 대하여 \((A \cdot B \cdot C)^k\)이 자연수가 되도록 하는 모든 \(k\)의 값들의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 로그함수의 성질을 이용한 수의 대소 비교와 로그부등식 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 탐구 7022 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 로그함수 \(y = \log_a x\)에서 밑 \(a \gt 1\)이면 \(0 \lt x_1 \lt x_2 \iff \log_a x_1 \lt \log_a x_2\)이고, \(0 \lt a \lt 1\)이면 부등호의 방향이 반대가 된다.

세 실수 \(P = 2\log_2 3,\; Q = \log_2 5 + 1,\; R = 3\log_4 3\)과 로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 세 실수 \(P, Q, R\)를 모두 밑이 \(2\)인 단일 로그 \(\log_2 M\) 꼴로 나타내고 대소 관계를 판정하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 로그부등식에서 진수 조건을 구하고, 부등식의 해를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]의 해집합에 속하는 정수 \(x\)에 대하여 \(2^x\)의 값들의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 하노이의 탑 점화식의 유도 및 수학적 귀납법 증명 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 7023 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)을 만족시킬 때, 양변에 \(1\)을 더하면 \(a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)\)이 되어 수열 \(\{a_n + 1\}\)은 등비수열을 이룬다.

크기가 서로 다른 \(n\)개의 원판을 규칙에 따라 다른 기둥으로 모두 옮기는 최소 이동 횟수를 \(a_n\)이라 하면 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = 2a_n + 1\;(n \ge 1)\)이 성립한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 2^n - 1\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 도함수로부터 부정적분 결정과 극값 차 공식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 7024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta)\;(\alpha \lt \beta)\)일 때, 극댓값과 극솟값의 차는 \(\left|\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3\)이다.

삼차함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)이고 \(f(0) = 5\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 부정적분을 이용하여 함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f'(x) = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 제시문 (가)의 공식으로 극댓값과 극솟값의 차를 검산하시오.

[문항 4-3] (7점) 닫힌구간 \([-2, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 두 평면벡터의 내적과 거리 제곱 합의 최소화 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수의 활용과 좌표 기하 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.10 탐구 7025 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A}(x_1, y_1),\; \mathrm{B}(x_2, y_2),\; \mathrm{C}(x_3, y_3)\)에 대하여 임의의 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)에서 세 점까지의 거리의 제곱의 합 \(\overline{\mathrm{PA}}^2 + \overline{\mathrm{PB}}^2 + \overline{\mathrm{PC}}^2\)은 점 \(\mathrm{P}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 무게중심 \(\mathrm{G}\)와 일치할 때 최솟값을 갖는다.

좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A}(2, 3),\; \mathrm{B}(-2, -1),\; \mathrm{C}(6, 4)\)와 점 \(\mathrm{P}(x, y)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(S(x, y) = \overline{\mathrm{PA}}^2 + \overline{\mathrm{PB}}^2 + \overline{\mathrm{PC}}^2\)을 \(x\)에 대한 완전제곱식과 \(y\)에 대한 완전제곱식의 합으로 정리하시오.

[문항 5-2] (7점) \(S(x, y)\)가 최솟값을 가질 때의 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표와 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 변의 길이의 제곱의 합 \(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2\)이 [문항 5-2]의 최솟값의 \(3\)배와 같음을 확인하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.