2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 거듭제곱근의 지수법칙과 자연수 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 탐구 7011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> \(a \gt 0, b \gt 0\)이고 \(m, n\)이 \(2\) 이상의 자연수일 때, \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)이며, 이 값이 자연수가 되려면 기약분수 지수가 \(0\) 이상의 정수가 되어야 한다.

\(2\) 이상의 두 자연수 \(m, n\;(2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12)\)에 대하여 수 \(N(m, n) = \sqrt[3]{2^m} \times \sqrt[4]{3^n}\)이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(N(m, n)\)을 유리수 지수 꼴 \(2^{\frac{m}{3}} \times 3^{\frac{n}{4}}\)로 나타내고, \(N(m, n)\)이 자연수가 되기 위한 \(m, n\)의 배수 조건을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12\)에서 \(N(m, n)\)이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)의 개수를 구하고, 그때 \(N(m, n)\)의 최솟값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sqrt[6]{N(m, n)}\)이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)을 구하고, 그때의 \(\sqrt[6]{N(m, n)}\)의 값을 구하시오. (단, \(2 \le m \le 30,\; 2 \le n \le 30\)이다.)

🎯 모범 정답 : [1-1] \(m\)은 \(3\)의 배수, \(n\)은 \(4\)의 배수 | [1-2] 순서쌍 \(12\)개, 최솟값 \(6\) | [1-3] \((m, n) = (18, 24)\), 값 \(6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 소인수분해의 유일성에 의해 \(2^{\frac{m}{3}}\)과 \(3^{\frac{n}{4}}\)이 각각 자연수여야 함을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{m}{3}, \dfrac{n}{4}\)가 자연수이므로 \(m \in \{3, 6, 9, 12\}\) (\(4\)개), \(n \in \{4, 8, 12\}\) (\(3\)개)이다. 따라서 순서쌍은 \(4 \times 3 = 12\)개이고, 최솟값은 \(m = 3, n = 4\)일 때 \(2^1 \times 3^1 = 6\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sqrt[6]{N(m, n)} = 2^{\frac{m}{18}} \times 3^{\frac{n}{24}}\)이 자연수가 되려면 \(m\)은 \(18\)의 배수, \(n\)은 \(24\)의 배수여야 하므로 \(2 \le m, n \le 30\)에서 \((m, n) = (18, 24)\)이고 값은 \(2^1 \times 3^1 = 6\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 유리수 지수 표현 +3점 / \(m\)은 \(3\)의 배수, \(n\)은 \(4\)의 배수 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(m\) \(4\)개, \(n\) \(3\)개로 순서쌍 \(12\)개 산출 +4점 / 최솟값 \(N(3, 4) = 6\) 도출 +3점
소문항 [1-3]	• \(\dfrac{m}{18}, \dfrac{n}{24}\) 자연수 조건 유도 +4점 / \((18, 24)\) 및 값 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 서로소인 두 소수 \(2\)와 \(3\)의 유리수 거듭제곱의 곱이 자연수가 되려면 각각의 지수가 독립적으로 자연수가 되어야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 지수함수의 평행·대칭이동과 정의역 구간에서의 최대·최소 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 7012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(f(x) = a^{x-p} + q\;(a \gt 0, a \ne 1)\)의 그래프의 점근선은 직선 \(y = q\)이고, \(a \gt 1\)이면 실수 전체에서 증가하며 \(0 \lt a \lt 1\)이면 감소한다.

함수 \(f(x) = 2^{x-1} + k\)의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 4]\)에서의 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(9\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

[문항 2-1] (6점) 구간 \([1, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 최댓값을 \(k\)에 대한 식으로 나타내고, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 그래프의 점근선의 방정식과 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 식 및 정의역을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)의 두 교점의 \(x\)좌표를 구하고, 두 교점 사이의 거리를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 최솟값 \(1 + k\), 최댓값 \(8 + k,\; k = 0\) | [2-2] 점근선 \(y = 0,\; f^{-1}(x) = \log_2 x + 1\;(x \gt 0)\) | [2-3] 교점 \(x = 1, 2\), 거리 \(\sqrt{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)이므로 \(f(x)\)는 증가함수이며 \(x = 1\)에서 최소, \(x = 4\)에서 최대이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 최솟값은 \(f(1) = 1 + k\), 최댓값은 \(f(4) = 8 + k\)이고 두 값의 합이 \((1 + k) + (8 + k) = 9 + 2k = 9\)이므로 \(k = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = 2^{x-1}\)이고 점근선은 \(y = 0\), 역함수는 \(f^{-1}(x) = \log_2 x + 1\;(x \gt 0)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 곡선 \(y = 2^{x-1}\)과 직선 \(y = x\)의 교점은 \(2^{x-1} = x\)를 만족시키는 \(x = 1, 2\)이므로 두 교점은 \((1, 1), (2, 2)\)이고 두 점 사이의 거리는 \(\sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 증가함수 성질로 \(f(1)=1+k,\; f(4)=8+k\) 도출 +3점 / 합 조건으로 \(k = 0\) 산출 +3점
소문항 [2-2]	• 점근선 \(y = 0\) 명시 +3점 / \(f^{-1}(x) = \log_2 x + 1\;(x \gt 0)\) 유도 +4점
소문항 [2-3]	• \(2^{x-1} = x\)의 두 교점 \((1, 1), (2, 2)\) 확인 +4점 / 거리 \(\sqrt{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 지수함수의 치역 \(y \gt k\)가 곧 로그함수인 역함수의 정의역 \(x \gt k\)가 되므로 역함수 서술 시 정의역을 반드시 함께 명시해야 합니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 일반각의 호도법 변환과 동경의 위치 관계 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 7013 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

<제시문 (가)> 두 각 \(\alpha, \beta\)를 나타내는 동경이 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이면 \(\alpha + \beta = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\) (\(n\)은 정수)이고, 원점에 대하여 대칭(일직선 위 반대 방향)이면 \(\alpha - \beta = (2m + 1)\pi\) (\(m\)은 정수)이다.

\(0 \lt \theta \lt \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각 \(5\theta\)를 나타내는 동경이 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(6\theta = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시키는 모든 각 \(\theta\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 모든 각 \(\theta\)의 값들의 합 \(S\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 구한 각 \(\theta\) 중 둔각인 \(\theta\)를 택할 때, \(\cos^2\theta - \sin^2\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\theta = \dfrac{\pi}{12},\; \dfrac{5\pi}{12},\; \dfrac{3\pi}{4}\) | [3-2] \(S = \dfrac{5\pi}{4}\) | [3-3] \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 동경이 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로 \(\theta + 5\theta = 6\theta = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\) (\(n\)은 정수)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(0 \lt 6\theta \lt 6\pi\)이므로 \(n = 0, 1, 2\)가 가능하고, \(6\theta = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}\)에서 \(\theta = \dfrac{\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{4}\)이다. 세 각의 합은 \(S = \dfrac{1 + 5 + 9}{12}\pi = \dfrac{15\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 세 각 중 둔각(\(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\))인 것은 \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\)이고, 이때 \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; \sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이므로 \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(6\theta = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\) 관계식 수립 +3점 / \(\theta = \dfrac{\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{3\pi}{4}\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 정수 \(n = 0, 1, 2\) 범위 판정 +3점 / 합 \(S = \dfrac{5\pi}{4}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 조건을 만족시키는 \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\) 선택 +4점 / \(\cos^2\dfrac{3\pi}{4} - \sin^2\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\)일 때 \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이므로 제곱의 차는 \(0\)이 됩니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 좌극한과 우극한의 존재 조건 및 합성함수의 극한 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 7014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)의 \(x = a\)에서의 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건은 \(\lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)\)인 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1 & (x \lt 2) \\ -2x + b & (x \ge 2) \end{cases}\)가 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x = 2\)에서의 좌극한과 우극한을 각각 \(a, b\)로 나타내고, 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(\lim_{x \to 0+} f(2 - x)\)와 \(\lim_{x \to 0-} f(2 - x)\)의 값을 각각 구하여 \(\lim_{x \to 0} f(2 - x)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2}\)의 값이 존재하는지 좌극한과 우극한을 각각 구하여 판정하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a = -1,\; b = 7\) | [4-2] \(3\) | [4-3] 좌극한 \(3\), 우극한 \(-2\)로 서로 달라 존재하지 않음

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\lim_{x \to 2-} (x^2 + ax + 1) = 3\)과 \(\lim_{x \to 2+} (-2x + b) = 3\)을 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(4 + 2a + 1 = 3 \implies a = -1\)이고, \(-4 + b = 3 \implies b = 7\)이다. 또한 \(t = 2 - x\)로 치환하면 \(x \to 0+\)일 때 \(t \to 2-\)이므로 극한은 \(3\)이고, \(x \to 0-\)일 때 \(t \to 2+\)이므로 극한은 \(3\)이어서 \(\lim_{x \to 0} f(2 - x) = 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\lim_{x \to 2-} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2-} (x + 1) = 3\)이고, \(\lim_{x \to 2+} \dfrac{-2x + 4}{x - 2} = -2\)이므로 좌극한(\(3\))과 우극한(\(-2\))이 서로 달라 극한값은 존재하지 않는다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌극한 \(5+2a=3\), 우극한 \(-4+b=3\) 수립 +3점 / \(a = -1,\; b = 7\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• \(t = 2-x\) 방향 전환 확인 +4점 / 극한값 \(3\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• 좌미분계수 \(3\), 우미분계수 \(-2\) 계산 +4점 / 불일치로 존재하지 않음 판정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속(\(f(2) = 3\))이더라도 좌미분계수와 우미분계수가 다르면 첨점이 되어 미분계수 극한은 존재하지 않습니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 접선의 기울기와 법선·삼각형 넓이의 극한 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 7015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t)\)이고, 접선의 방정식은 \(y = f'(t)(x - t) + f(t)\)이다.

곡선 \(y = x^2 + 2x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, t^2 + 2t)\;(t \gt 0)\)에서의 접선 \(l\)이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 좌표를 각각 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t^3}\)의 값과 \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{S(t)}{t^4}\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(y = (2t + 2)x - t^2,\; \mathrm{A}\left(\dfrac{t^2}{2t + 2}, 0\right),\; \mathrm{B}(0, -t^2)\) | [5-2] \(S(t) = \dfrac{t^4}{4(t + 1)}\) | [5-3] \(\dfrac{1}{4},\; \dfrac{1}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(t) = 2t + 2\)이므로 접선 \(l\)의 방정식은 \(y = (2t + 2)(x - t) + t^2 + 2t = (2t + 2)x - t^2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(y = 0\)일 때 \(x = \dfrac{t^2}{2(t + 1)}\)이므로 \(\mathrm{A}\left(\dfrac{t^2}{2(t + 1)}, 0\right)\)이고, \(x = 0\)일 때 \(\mathrm{B}(0, -t^2)\)이다. 따라서 \(t \gt 0\)에서 넓이는 \(S(t) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^2}{2(t + 1)} \cdot t^2 = \dfrac{t^4}{4(t + 1)}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t^3} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{t^4}{4t^3(t + 1)} = \dfrac{1}{4}\)이고, \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{S(t)}{t^4} = \lim_{t \to 0+} \dfrac{1}{4(t + 1)} = \dfrac{1}{4}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 접선 \(y = (2t+2)x - t^2\) 유도 +3점 / \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 좌표 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 밑변·높이 양수 처리 +3점 / \(S(t) = \dfrac{t^4}{4(t+1)}\) 산출 +4점
소문항 [5-3]	• \(t \to \infty\) 극한 \(\dfrac{1}{4}\) 도출 +4점 / \(t \to 0+\) 극한 \(\dfrac{1}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 \(\mathrm{B}\)의 \(y\)좌표가 \(-t^2 \lt 0\)이므로 삼각형의 높이를 구할 때는 반드시 절댓값 \(|-t^2| = t^2\)을 취해야 합니다.