2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 거듭제곱근의 지수법칙과 자연수 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 탐구 7011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> \(a \gt 0, b \gt 0\)이고 \(m, n\)이 \(2\) 이상의 자연수일 때, \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)이며, 이 값이 자연수가 되려면 기약분수 지수가 \(0\) 이상의 정수가 되어야 한다.

\(2\) 이상의 두 자연수 \(m, n\;(2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12)\)에 대하여 수 \(N(m, n) = \sqrt[3]{2^m} \times \sqrt[4]{3^n}\)이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)을 분석하고자 한다. 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(N(m, n)\)을 유리수 지수 꼴 \(2^{\frac{m}{3}} \times 3^{\frac{n}{4}}\)로 나타내고, \(N(m, n)\)이 자연수가 되기 위한 \(m, n\)의 배수 조건을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12\)에서 \(N(m, n)\)이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)의 개수를 구하고, 그때 \(N(m, n)\)의 최솟값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sqrt[6]{N(m, n)}\)이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)을 구하고, 그때의 \(\sqrt[6]{N(m, n)}\)의 값을 구하시오. (단, \(2 \le m \le 30,\; 2 \le n \le 30\)이다.)

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 지수함수의 평행·대칭이동과 정의역 구간에서의 최대·최소 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 7012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(f(x) = a^{x-p} + q\;(a \gt 0, a \ne 1)\)의 그래프의 점근선은 직선 \(y = q\)이고, \(a \gt 1\)이면 실수 전체에서 증가하며 \(0 \lt a \lt 1\)이면 감소한다.

함수 \(f(x) = 2^{x-1} + k\)의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 4]\)에서의 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(9\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

[문항 2-1] (6점) 구간 \([1, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 최댓값을 \(k\)에 대한 식으로 나타내고, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 그래프의 점근선의 방정식과 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 식 및 정의역을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)의 두 교점의 \(x\)좌표를 구하고, 두 교점 사이의 거리를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 일반각의 호도법 변환과 동경의 위치 관계 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 7013 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

<제시문 (가)> 두 각 \(\alpha, \beta\)를 나타내는 동경이 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이면 \(\alpha + \beta = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\) (\(n\)은 정수)이고, 원점에 대하여 대칭(일직선 위 반대 방향)이면 \(\alpha - \beta = (2m + 1)\pi\) (\(m\)은 정수)이다.

\(0 \lt \theta \lt \pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각 \(5\theta\)를 나타내는 동경이 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(6\theta = 2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시키는 모든 각 \(\theta\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 모든 각 \(\theta\)의 값들의 합 \(S\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 구한 각 \(\theta\) 중 둔각인 \(\theta\)를 택할 때, \(\cos^2\theta - \sin^2\theta\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 좌극한과 우극한의 존재 조건 및 합성함수의 극한 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 7014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)의 \(x = a\)에서의 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건은 \(\lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)\)인 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1 & (x \lt 2) \\ -2x + b & (x \ge 2) \end{cases}\)가 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x = 2\)에서의 좌극한과 우극한을 각각 \(a, b\)로 나타내고, 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(\lim_{x \to 0+} f(2 - x)\)와 \(\lim_{x \to 0-} f(2 - x)\)의 값을 각각 구하여 \(\lim_{x \to 0} f(2 - x)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2}\)의 값이 존재하는지 좌극한과 우극한을 각각 구하여 판정하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 접선의 기울기와 법선·삼각형 넓이의 극한 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 7015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t)\)이고, 접선의 방정식은 \(y = f'(t)(x - t) + f(t)\)이다.

곡선 \(y = x^2 + 2x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, t^2 + 2t)\;(t \gt 0)\)에서의 접선 \(l\)이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 좌표를 각각 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t^3}\)의 값과 \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{S(t)}{t^4}\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.