2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집

2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집 | 10회 : 쌍곡선 초점 삼각형과 접선 · 대칭 정적분 점화식과 샌드위치 극한 · 사차함수 극값과 정수해 개수 · 평행이동 원들의 중첩 넓이 수열 · 이산확률변수와 표본평균 분포

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 쌍곡선의 초점 거리와 접선의 각이등분선 성질 증명 (20점)

기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.29 탐구 7101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점이 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\)이고 주축의 길이가 \(2a\;(0 \lt a \lt c)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = c^2 - a^2)\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(|\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}| = 2a\)이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)의 두 초점을 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c \gt 0)\)이라 하고, 쌍곡선 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}(8, y_1)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 초점 \(\mathrm{F}\)의 좌표와 점 \(\mathrm{P}(8, y_1)\)의 \(y\)좌표 \(y_1\)을 구하고, 삼각형 \(\mathrm{PF'F}\)의 넓이를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 선분 \(\overline{\mathrm{PF}'}\)과 \(\overline{\mathrm{PF}}\)의 길이를 각각 구하여 \(\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}} = 2a\)가 성립함을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 \(\mathrm{P}(8, y_1)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점 \(\mathrm{T}\)의 좌표를 구하고, \(\overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}\)가 성립함을 통해 접선이 \(\angle\mathrm{F'PF}\)의 이등분선임을 보이시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\mathrm{F}(5, 0),\; y_1 = 3\sqrt{3}\), 넓이 \(15\sqrt{3}\) | [1-2] \(\overline{\mathrm{PF}'} = 14,\; \overline{\mathrm{PF}} = 6\) | [1-3] \(\mathrm{T}(2, 0),\; \overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = 7 : 3 = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}\)

[소문항 1-1 풀이 (6점)] \(a^2 = 16,\; b^2 = 9\)이므로 \(c = \sqrt{16 + 9} = 5\)에서 \(\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F}'(-5, 0)\)이다. \(x_1 = 8\)을 대입하면 \(\dfrac{64}{16} - \dfrac{y_1^2}{9} = 1 \implies y_1^2 = 27\)이므로 \(y_1 = 3\sqrt{3}\)이고, \(\triangle\mathrm{PF'F}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 10\times 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\)이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] \(\overline{\mathrm{PF}'} = \sqrt{(8 + 5)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{169 + 27} = \sqrt{196} = 14\)이고, \(\overline{\mathrm{PF}} = \sqrt{(8 - 5)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = 6\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}} = 14 - 6 = 8 = 2a\)가 성립한다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 점 \(\mathrm{P}(8, 3\sqrt{3})\)에서의 접선은 \(\dfrac{8x}{16} - \dfrac{3\sqrt{3}y}{9} = 1 \iff \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{\sqrt{3}} = 1\)이므로 \(x\)절편은 \(\mathrm{T}(2, 0)\)이다. 이때 \(\overline{\mathrm{F'T}} = 2 - (-5) = 7,\; \overline{\mathrm{FT}} = 5 - 2 = 3\)이므로 \(\overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = 7 : 3 = 14 : 6 = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}\)가 성립하여 접선 \(\mathrm{PT}\)는 \(\angle\mathrm{F'PF}\)를 이등분한다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(c = 5\) 및 \(y_1 = 3\sqrt{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(15\sqrt{3}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\overline{\mathrm{PF}'} = 14,\; \overline{\mathrm{PF}} = 6\) 계산 +4점 / 차 \(8 = 2a\) 확인 +3점
소문항 [1-3]	• 접선의 \(x\)절편 \(\mathrm{T}(2, 0)\) 도출 +4점 / 내분비 \(7 : 3\) 일치로 각이등분선 증명 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선 위의 점에서의 접선은 두 초점과 이루는 내각 \(\angle\mathrm{F'PF}\)를 항상 이등분한다는 광학적 성질을 정수 거리(\(14, 6\) 및 \(7, 3\))로 증명하는 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 대칭구간 축소 함수의 정적분 점화식과 극한의 대소 관계 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 탐구 7102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 우함수 \(f(x)\)는 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx\)이고, 기함수 \(g(x)\)는 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0\)이다.
<제시문 (나)> \(x \to 0+\)일 때 \(h_1(x) \le f(x) \le h_2(x)\)이고 \(\lim_{x \to 0+} h_1(x) = \lim_{x \to 0+} h_2(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to 0+} f(x) = L\)이다.

실수 전체의 집합에서 연속인 우함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(2x) = 4f(x)\)를 만족시키고 \(\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 14\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 구간 \([2, 4]\)에서의 정적분 \(\int_{2}^{4} f(x)\,dx\)가 \(8\int_{1}^{2} f(t)\,dt\)와 같음을 \(x = 2t\)의 관계식을 이용하여 설명하고 그 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n = \int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}} f(x)\,dx\)를 \(n\)에 대한 식으로 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-2}^{2} \{f(x) + x^3 f(x)\}\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(x \gt 0\)인 모든 실수 \(x\)에서 \(6x^2 \le f(x) \le 6x^2 + x^3\)이 성립할 때, 제시문 (나)를 이용하여 \(\lim_{x \to 0+} \dfrac{f(x)}{x^2}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(112\) | [2-2] \(I_n = \dfrac{14}{8^n},\; \int_{-2}^{2}\{f(x)+x^3 f(x)\}\,dx = 32\) | [2-3] \(6\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 구간 \([1, 2]\)의 폭이 \(2\)배인 \([2, 4]\)로 늘어나고 함숫값이 \(f(2t) = 4f(t)\)로 \(4\)배가 되므로 넓이는 \(2\times 4 = 8\)배가 된다. 즉 \(\int_{2}^{4} f(x)\,dx = 8\int_{1}^{2} f(t)\,dt = 8\times 14 = 112\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 같은 원리로 구간이 \(\dfrac{1}{2}\)배 축소될 때마다 정적분은 \(\dfrac{1}{8}\)배가 되므로 \(I_n = \dfrac{14}{8^n}\)이다. 따라서 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{14}{8^n} = \dfrac{14}{1 - 1/8} = 16\)이다. \(x^3 f(x)\)는 기함수이므로 \(\int_{-2}^{2} \{f(x) + x^3 f(x)\}\,dx = 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx + 0 = 32\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(x \gt 0\)에서 부등식의 각 변을 \(x^2\)으로 나누면 \(6 \le \dfrac{f(x)}{x^2} \le 6 + x\)이다. \(\lim_{x \to 0+} (6 + x) = 6\)이므로 극한의 대소 관계에 의해 \(\lim_{x \to 0+} \dfrac{f(x)}{x^2} = 6\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(f(2t) = 4f(t)\) 및 구간 \(2\)배 관계 설명 +3점 / 적분값 \(112\) 산출 +3점
소문항 [2-2]	• \(I_n = \dfrac{14}{8^n}\) 유도 +4점 / 기함수 소거 및 우함수 대칭으로 \(32\) 도출 +3점
소문항 [2-3]	• \(6 \le \dfrac{f(x)}{x^2} \le 6 + x\) 부등식 변형 +4점 / 극한의 대소 관계로 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2024학년도 이화여대 자연Ⅰ 1번 기출의 핵심 구조인 우·기함수 대칭 적분, 축소 구간 정적분 비, 그리고 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)를 완벽하게 재현한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 사차함수의 극값 판정과 방정식의 정수해 개수 매개변수 범위 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 7103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지면 \(f(x)\)는 극댓값 \(1\)개와 극솟값 \(2\)개를 갖는다.
<제시문 (나)> 부등식 \(f(x) \le k\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수는 정수 격자점에서의 함숫값 \(f(n)\)의 대소를 비교하여 결정한다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하고, \(k = 9\)일 때 네 실근의 곱을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 부등식 \(f(x) \le k\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 정확히 \(5\)개가 되도록 하는 자연수 \(k\)의 개수를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(x = 0\)에서 극댓값 \(16\), \(x = \pm 2\)에서 극솟값 \(0\) | [3-2] \(0 \lt k \lt 16\), 네 실근의 곱 \(7\) | [3-3] 자연수 \(k\)는 \(16 \le k \le 24\)로 \(9\)개

[소문항 3-1 풀이 (6점)] \(f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x - 2)(x + 2) = 0\)이므로 \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 16\)을 갖고, \(x = -2,\; 2\)에서 극솟값 \(f(\pm 2) = 0\)을 갖는다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] 사차함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 네 점에서 만나려면 극솟값과 극댓값 사이여야 하므로 \(0 \lt k \lt 16\)이다. \(k = 9\)일 때 \((x^2 - 4)^2 = 9 \iff x^2 = 1\) 또는 \(x^2 = 7\)이므로 네 실근 \(\pm 1,\; \pm\sqrt{7}\)의 곱은 \((-1)(1)(-\sqrt{7})(\sqrt{7}) = 7\)이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] 정수 \(n\)에 대한 함숫값은 \(f(\pm 2) = 0,\; f(\pm 1) = 9,\; f(0) = 16,\; f(\pm 3) = 25\)이다. 부등식 \(f(x) \le k\)를 만족시키는 정수 \(x\)가 \(-2, -1, 0, 1, 2\)의 \(5\)개가 되려면 \(f(0) \le k \lt f(3)\), 즉 \(16 \le k \lt 25\)여야 하므로 자연수 \(k\)는 \(16, 17, \dots, 24\)의 \(9\)개이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f'(x) = 4x(x-2)(x+2)\) 도출 +3점 / 극댓값 \(16\), 극솟값 \(0\) 산출 +3점
소문항 [3-2]	• 네 실근 범위 \(0 \lt k \lt 16\) 도출 +3점 / \(k = 9\)일 때 네 근의 곱 \(7\) 계산 +4점
소문항 [3-3]	• 정수 함숫값 \(f(\pm 2)=0,\; f(\pm 1)=9,\; f(0)=16,\; f(\pm 3)=25\) 비교 +4점 / \(16 \le k \le 24\)로부터 \(9\)개 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2024학년도 이화여대 자연Ⅰ 2번 기출의 사차함수 그래프 개형 및 정수해 개수 조건 추론을 정교하게 반영한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 평행이동된 원들의 중첩 렌즈 영역과 등차수열 넓이 (20점)

대수 Ⅱ-1. 부채꼴의 넓이 · Ⅲ-1. 등차수열 (2023 이화여대 자연 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.10 탐구 7104 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}r^2\theta\)이고, 한 변의 길이가 \(r\)인 정삼각형의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2\)이다.
<제시문 (나)> 반지름이 \(r\)로 같은 두 원의 중심 거리가 \(r\)일 때, 두 원의 교점과 두 중심을 이으면 두 개의 정삼각형이 만들어진다.

반지름의 길이가 \(2\)이고 중심이 \(\mathrm{C}_k(2k - 2, 0)\;(k = 1, 2, \dots, n)\)인 \(n\)개의 원 \(O_1, O_2, \dots, O_n\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 원 \(O_1: x^2 + y^2 = 4\)와 \(O_2: (x - 2)^2 + y^2 = 4\)의 두 교점 \(\mathrm{P},\; \mathrm{Q}\)에 대하여 \(\angle\mathrm{PC_1Q}\)의 크기를 구하고, 두 원 \(O_1,\; O_2\)가 겹치는 공통부분(렌즈 모양)의 넓이 \(L\)을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원 \(O_1\)의 내부 중 원 \(O_2\)와 겹치지 않는 초승달 모양 영역의 넓이 \(D = 4\pi - L\)을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 일반적으로 \(n\)개의 원 \(O_1, O_2, \dots, O_n\)의 내부를 모두 합친 전체 합집합 영역의 넓이 \(U_n\)이 공차가 \(D\)인 등차수열을 이룸을 설명하고, \(U_5\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\angle\mathrm{PC_1Q} = \dfrac{2\pi}{3},\; L = \dfrac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}\) | [4-2] \(D = \dfrac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\) | [4-3] \(U_n = 4\pi + (n - 1)\left(\dfrac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\right),\; U_5 = \dfrac{28\pi}{3} + 8\sqrt{3}\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] \(\overline{\mathrm{C_1C_2}} = \overline{\mathrm{C_1P}} = \overline{\mathrm{C_2P}} = 2\)이므로 \(\triangle\mathrm{PC_1C_2}\)와 \(\triangle\mathrm{QC_1C_2}\)는 한 변이 \(2\)인 정삼각형이고 \(\angle\mathrm{PC_1Q} = \dfrac{2\pi}{3}\)이다. 부채꼴 \(\mathrm{C_1PQ}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 4\times\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\)이고 \(\triangle\mathrm{C_1PQ}\)의 넓이는 \(\sqrt{3}\)이므로 활꼴 \(2\)개로 이루어진 \(L = 2\left(\dfrac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) = \dfrac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 원 \(O_1\)의 전체 넓이 \(4\pi\)에서 공통부분 \(L\)을 빼면 \(D = 4\pi - \left(\dfrac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 원 \(O_{k+1}\)이 추가될 때마다 직전 원 \(O_k\)와 겹치는 넓이 \(L\)을 제외한 \(D = 4\pi - L\)만큼만 새롭게 늘어나므로 \(U_n = 4\pi + (n - 1)D\)인 등차수열을 이룬다. \(n = 5\)일 때 \(U_5 = 4\pi + 4\left(\dfrac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\right) = \dfrac{28\pi}{3} + 8\sqrt{3}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(\angle\mathrm{PC_1Q} = \dfrac{2\pi}{3}\) 도출 +3점 / 렌즈 넓이 \(L = \dfrac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• \(D = 4\pi - L\) 관계 적용 +3점 / \(D = \dfrac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\) 도출 +4점
소문항 [4-3]	• 등차수열 일반항 \(U_n = 4\pi + (n-1)D\) 유도 +4점 / \(U_5 = \dfrac{28\pi}{3} + 8\sqrt{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2023학년도 이화여대 자연계열 3번 기출의 핵심 구조인 평행이동 원들의 중첩 영역 분할과 등차수열 넓이 합산을 정교하게 구현한 문항입니다.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 이산확률변수의 기댓값·분산과 표본평균의 분포 (20점)

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 7105 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05]

<제시문 (가)> 이산확률변수 \(X\)가 값 \(x_i\)를 가질 확률이 \(p_i\)일 때 \(\sum p_i = 1\)이며, 기댓값은 \(\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i\), 분산은 \(\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2\)이다.
<제시문 (나)> 모평균이 \(m\), 모분산이 \(\sigma^2\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)에 대하여 \(\mathrm{E}(\bar{X}) = m,\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}\)이다.

주머니 속에 숫자 \(1, 2, 4\)가 적힌 공이 들어 있으며, 임의로 \(1\)개의 공을 꺼낼 때 적힌 숫자를 확률변수 \(X\)라 하자. \(\mathrm{P}(X = 1) = a,\; \mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{1}{2},\; \mathrm{P}(X = 4) = b\)이고 기댓값이 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)를 연립하여 두 상수 \(a,\; b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\mathrm{E}(X^2)\)과 분산 \(\mathrm{V}(X)\)를 각각 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 이 모집단에서 크기가 \(n = 15\)인 표본을 복원추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값 \(\mathrm{E}(\bar{X})\)와 분산 \(\mathrm{V}(\bar{X})\)를 구하고, \(\mathrm{V}(4\bar{X} + 1)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(a = \dfrac{1}{4},\; b = \dfrac{1}{4}\) | [5-2] \(\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{25}{4},\; \mathrm{V}(X) = \dfrac{19}{16}\) | [5-3] \(\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{19}{240},\; \mathrm{V}(4\bar{X} + 1) = \dfrac{19}{15}\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] \(a + \dfrac{1}{2} + b = 1 \implies a + b = \dfrac{1}{2}\)이고, \(\mathrm{E}(X) = a + 1 + 4b = \dfrac{9}{4} \implies a + 4b = \dfrac{5}{4}\)이다. 두 식을 빼면 \(3b = \dfrac{3}{4} \implies b = \dfrac{1}{4}\)이고 \(a = \dfrac{1}{4}\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(\mathrm{E}(X^2) = 1^2\cdot\dfrac{1}{4} + 2^2\cdot\dfrac{1}{2} + 4^2\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + 2 + 4 = \dfrac{25}{4}\)이다. 따라서 \(\mathrm{V}(X) = \dfrac{25}{4} - \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 = \dfrac{100 - 81}{16} = \dfrac{19}{16}\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] \(\mathrm{E}(\bar{X}) = \mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)이고 \(\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\mathrm{V}(X)}{15} = \dfrac{19}{240}\)이다. 또한 \(\mathrm{V}(4\bar{X} + 1) = 16\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{16\times 19}{240} = \dfrac{19}{15}\)이다.

평가 소문항	이화여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(a + b = \dfrac{1}{2},\; a + 4b = \dfrac{5}{4}\) 연립 +3점 / \(a = \dfrac{1}{4},\; b = \dfrac{1}{4}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{25}{4}\) 계산 +3점 / \(\mathrm{V}(X) = \dfrac{19}{16}\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• \(\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{19}{240}\) 산출 +4점 / \(\mathrm{V}(4\bar{X}+1) = \dfrac{19}{15}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 확률분포표의 총합 \(1\) 조건과 \(\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2\), 그리고 표본평균의 분산 \(\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}\)을 정확히 결합하는 문항입니다.