2027학년도 대비 이화여자대학교 수리논술 모의고사 10회 문제집

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 1] 쌍곡선의 초점 거리와 접선의 각이등분선 성질 증명 (20점)

기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.29 탐구 7101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점이 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\)이고 주축의 길이가 \(2a\;(0 \lt a \lt c)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = c^2 - a^2)\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(|\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}}| = 2a\)이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)의 두 초점을 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c \gt 0)\)이라 하고, 쌍곡선 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}(8, y_1)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 초점 \(\mathrm{F}\)의 좌표와 점 \(\mathrm{P}(8, y_1)\)의 \(y\)좌표 \(y_1\)을 구하고, 삼각형 \(\mathrm{PF'F}\)의 넓이를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 선분 \(\overline{\mathrm{PF}'}\)과 \(\overline{\mathrm{PF}}\)의 길이를 각각 구하여 \(\overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{PF}} = 2a\)가 성립함을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 \(\mathrm{P}(8, y_1)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점 \(\mathrm{T}\)의 좌표를 구하고, \(\overline{\mathrm{F'T}} : \overline{\mathrm{FT}} = \overline{\mathrm{PF}'} : \overline{\mathrm{PF}}\)가 성립함을 통해 접선이 \(\angle\mathrm{F'PF}\)의 이등분선임을 보이시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 2] 대칭구간 축소 함수의 정적분 점화식과 극한의 대소 관계 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · Ⅲ-1. 정적분 (2024 이화여대 자연Ⅰ 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 탐구 7102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 우함수 \(f(x)\)는 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx\)이고, 기함수 \(g(x)\)는 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0\)이다.
<제시문 (나)> \(x \to 0+\)일 때 \(h_1(x) \le f(x) \le h_2(x)\)이고 \(\lim_{x \to 0+} h_1(x) = \lim_{x \to 0+} h_2(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to 0+} f(x) = L\)이다.

실수 전체의 집합에서 연속인 우함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(2x) = 4f(x)\)를 만족시키고 \(\int_{1}^{2} f(x)\,dx = 14\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 구간 \([2, 4]\)에서의 정적분 \(\int_{2}^{4} f(x)\,dx\)가 \(8\int_{1}^{2} f(t)\,dt\)와 같음을 \(x = 2t\)의 관계식을 이용하여 설명하고 그 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n = \int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}} f(x)\,dx\)를 \(n\)에 대한 식으로 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-2}^{2} \{f(x) + x^3 f(x)\}\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(x \gt 0\)인 모든 실수 \(x\)에서 \(6x^2 \le f(x) \le 6x^2 + x^3\)이 성립할 때, 제시문 (나)를 이용하여 \(\lim_{x \to 0+} \dfrac{f(x)}{x^2}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 3] 사차함수의 극값 판정과 방정식의 정수해 개수 매개변수 범위 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2024 이화여대 자연Ⅰ 2번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 7103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지면 \(f(x)\)는 극댓값 \(1\)개와 극솟값 \(2\)개를 갖는다.
<제시문 (나)> 부등식 \(f(x) \le k\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수는 정수 격자점에서의 함숫값 \(f(n)\)의 대소를 비교하여 결정한다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하고, \(k = 9\)일 때 네 실근의 곱을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 부등식 \(f(x) \le k\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 정확히 \(5\)개가 되도록 하는 자연수 \(k\)의 개수를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 4] 평행이동된 원들의 중첩 렌즈 영역과 등차수열 넓이 (20점)

대수 Ⅱ-1. 부채꼴의 넓이 · Ⅲ-1. 등차수열 (2023 이화여대 자연 3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.10 탐구 7104 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}r^2\theta\)이고, 한 변의 길이가 \(r\)인 정삼각형의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2\)이다.
<제시문 (나)> 반지름이 \(r\)로 같은 두 원의 중심 거리가 \(r\)일 때, 두 원의 교점과 두 중심을 이으면 두 개의 정삼각형이 만들어진다.

반지름의 길이가 \(2\)이고 중심이 \(\mathrm{C}_k(2k - 2, 0)\;(k = 1, 2, \dots, n)\)인 \(n\)개의 원 \(O_1, O_2, \dots, O_n\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 원 \(O_1: x^2 + y^2 = 4\)와 \(O_2: (x - 2)^2 + y^2 = 4\)의 두 교점 \(\mathrm{P},\; \mathrm{Q}\)에 대하여 \(\angle\mathrm{PC_1Q}\)의 크기를 구하고, 두 원 \(O_1,\; O_2\)가 겹치는 공통부분(렌즈 모양)의 넓이 \(L\)을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원 \(O_1\)의 내부 중 원 \(O_2\)와 겹치지 않는 초승달 모양 영역의 넓이 \(D = 4\pi - L\)을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 일반적으로 \(n\)개의 원 \(O_1, O_2, \dots, O_n\)의 내부를 모두 합친 전체 합집합 영역의 넓이 \(U_n\)이 공차가 \(D\)인 등차수열을 이룸을 설명하고, \(U_5\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 이화여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술100% · 수능최저 3합6)

[대문항 5] 이산확률변수의 기댓값·분산과 표본평균의 분포 (20점)

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 7105 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05]

<제시문 (가)> 이산확률변수 \(X\)가 값 \(x_i\)를 가질 확률이 \(p_i\)일 때 \(\sum p_i = 1\)이며, 기댓값은 \(\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i\), 분산은 \(\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2\)이다.
<제시문 (나)> 모평균이 \(m\), 모분산이 \(\sigma^2\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)에 대하여 \(\mathrm{E}(\bar{X}) = m,\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}\)이다.

주머니 속에 숫자 \(1, 2, 4\)가 적힌 공이 들어 있으며, 임의로 \(1\)개의 공을 꺼낼 때 적힌 숫자를 확률변수 \(X\)라 하자. \(\mathrm{P}(X = 1) = a,\; \mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{1}{2},\; \mathrm{P}(X = 4) = b\)이고 기댓값이 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)를 연립하여 두 상수 \(a,\; b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\mathrm{E}(X^2)\)과 분산 \(\mathrm{V}(X)\)를 각각 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 이 모집단에서 크기가 \(n = 15\)인 표본을 복원추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값 \(\mathrm{E}(\bar{X})\)와 분산 \(\mathrm{V}(\bar{X})\)를 구하고, \(\mathrm{V}(4\bar{X} + 1)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.