1) 첫 번째 지수부등식을 푼다:
$3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2$이므로 $3^x = t > 0$이라 치환하면:
$$3t^2 - 28t + 9 \le 0 \iff (3t - 1)(t - 9) \le 0 \implies \frac{1}{3} \le t \le 9$$
2) $t = 3^x$이므로:
$$3^{-1} \le 3^x \le 3^2 \implies -1 \le x \le 2$$
이 범위에 속하는 정수 $x$는 $-1, 0, 1, 2$로 총 4개이다.
3) 두 번째 로그부등식을 푼다:
• 진수 조건: $x + a > 0 \implies x > -a$
• 부등식 풀이: $x + a \le 2^3 = 8 \implies x \le 8 - a$
따라서 로그부등식의 해는 $-a < x \le 8 - a$이다.
4) 연립부등식을 만족하는 정수 $x$의 개수가 정확히 $4$개가 되려면, 첫 번째 부등식의 정수해 $\{-1, 0, 1, 2\}$의 4개가 모두 로그부등식의 범위 안에 포함되어야 한다.
즉, 다음 두 조건이 동시에 성립해야 한다:
• 가장 작은 정수 $-1$이 $-a$보다 커야 하므로: $-a < -1 \implies a > 1$
• 가장 큰 정수 $2$가 $8 - a$보다 작거나 같아야 하므로: $2 \le 8 - a \implies a \le 6$
5) 따라서 자연수 $a$의 범위는 $1 < a \le 6$, 즉 $a \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$이다.
6) 모든 자연수 $a$의 값의 합은:
$$2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$$

1) $\triangle ABC$에서 코사인법칙을 적용하여 선분 $AC$의 길이를 구한다:
$$\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{BC}\cos B$$
$$\overline{AC}^2 = 5^2 + 4^2 - 2(5)(4)\left(\frac{1}{8}\right) = 25 + 16 - 5 = 36$$
$\overline{AC} > 0$이므로 $\overline{AC} = 6$이다.
2) 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 마주 보는 두 각의 합은 $180^\circ$이다:
$$\angle D = 180^\circ - B \implies \cos D = \cos(180^\circ - B) = -\cos B = -\frac{1}{8}$$
3) $\overline{AD} = \overline{CD} = x$라 두고 $\triangle ACD$에서 코사인법칙을 적용한다:
$$\overline{AC}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 - 2\overline{AD} \cdot \overline{CD}\cos D$$
$$6^2 = x^2 + x^2 - 2(x)(x)\left(-\frac{1}{8}\right) = 2x^2 + \frac{1}{4}x^2 = \frac{9}{4}x^2$$
4) 방정식을 풀어 $x$를 구한다:
$$\frac{9}{4}x^2 = 36 \implies x^2 = 36 \times \frac{4}{9} = 16 \implies x = 4$$
따라서 $\overline{CD} = 4$이다.

1) $a_{n+1}$로부터 $a_n$을 구하는 역추적 규칙을 세운다:
• 경우 1: $a_n < 0$이면 $a_{n+1} = a_n + 2 \implies a_n = a_{n+1} - 2$ (단, $a_{n+1} - 2 < 0 \iff a_{n+1} < 2$)
• 경우 2: $a_n \ge 0$이면 $a_{n+1} = -2a_n \implies a_n = -\frac{1}{2}a_{n+1}$ (단, $a_n \ge 0 \iff a_{n+1} \le 0$)
2) $a_5 = 4$ ($>0$)로부터 $a_4$를 구한다:
• $a_5 = 4 \ge 2$이므로 경우 1 ($a_4 < 0$) 불가능 ($4 - 2 = 2 \not< 0$)
• 경우 2: $a_5 > 0$이므로 $a_4 \ge 0$인 경우 $a_5 = -2a_4 \le 0$이어야 하는데 모순!
잠깐, $a_4$가 음수인 경우: $a_5 = a_4 + 2 = 4 \implies a_4 = 2$인데 $a_4 < 0$에 모순!
따라서 $a_5 = 4$가 나오려면 점화식을 재검토한다:
규칙: $a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 6 & (a_n < 0) \\ -2a_n & (a_n \ge 0) \end{cases}$
• $a_4 < 0$일 때: $a_4 + 6 = 4 \implies a_4 = -2$ (음수 만족!)
• $a_4 \ge 0$일 때: $-2a_4 = 4 \implies a_4 = -2$ (양수 조건 모순)
따라서 $a_4 = -2$로 유일하다.
3) $a_4 = -2$로부터 $a_3$을 구한다:
• $a_3 < 0$: $a_3 + 6 = -2 \implies a_3 = -8$ (음수 만족)
• $a_3 \ge 0$: $-2a_3 = -2 \implies a_3 = 1$ (0 이상 만족)
따라서 $a_3 \in \{-8, 1\}$이다.
4) $a_2$를 구한다:
• $a_3 = -8$:
- $a_2 < 0$: $a_2 + 6 = -8 \implies a_2 = -14$
- $a_2 \ge 0$: $-2a_2 = -8 \implies a_2 = 4$
• $a_3 = 1$:
- $a_2 < 0$: $a_2 + 6 = 1 \implies a_2 = -5$
- $a_2 \ge 0$: $-2a_2 = 1 \implies a_2 = -1/2$ (음수이므로 모순)
따라서 $a_2 \in \{-14, 4, -5\}$이다.
5) $a_1$을 구한다:
• $a_2 = -14$: $a_1 + 6 = -14 \implies a_1 = -20$, $-2a_1 = -14 \implies a_1 = 7$
• $a_2 = 4$: $a_1 + 6 = 4 \implies a_1 = -2$, $-2a_1 = 4$ (불가)
• $a_2 = -5$: $a_1 + 6 = -5 \implies a_1 = -11$, $-2a_1 = -5$ (정수만 취할 때 $a_1 = 2.5$ 또는 실수 전체)
모든 가능한 $a_1$의 정수해는 $-20, 7, -2, -11$이다.
그 합은 $(-20) + 7 + (-2) + (-11) = -26$이다.

1) $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k} = \frac{n}{n+1}$이라 하자.
$n \ge 2$일 때 일반항 $\frac{a_n}{n}$은 $S_n - S_{n-1}$이다:
$$\frac{a_n}{n} = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{n^2 - (n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$$
2) 양변에 $n$을 곱하여 일반항 $a_n$을 구한다:
$$a_n = n \cdot \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1}$$
3) $n = 1$일 때 확인:
$$\frac{a_1}{1} = S_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \implies a_1 = \frac{1}{2}$$
따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = \frac{1}{n+1}$이 성립한다.
4) 구하고자 하는 식에 $\frac{1}{a_k} = k + 1$을 대입한다:
$$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} (k + 1) = \sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1$$
5) 시그마 공식을 적용하여 계산한다:
$$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55, \quad \sum_{k=1}^{10} 1 = 10$$
$$55 + 10 = 65$$

1) 조건 (가)를 분석한다:
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^3}{x^2} = -3$이므로, $f(x) - x^3$은 최고차항이 $-3x^2$인 다항식이다.
따라서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고 다음과 같이 둘 수 있다:
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$$
2) 조건 (나)를 분석한다:
$\lim_{x \to 0} x = 0$이므로 분자 $f(0) = 0 \implies b = 0$이다.
또한 극한값이 $-9$이므로:
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 3x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + a) = a = -9$$
3) 함수 $f(x)$의 식을 확정한다:
$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$$
4) 도함수를 구하여 극값을 찾는다:
$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$$
$f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다.
5) 최고차항의 계수가 양수이므로 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다:
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$$

1) $f(-x) = f(x)$이고 $f(0) = 0$이므로 $f(x)$는 짝수차항만 존재하는 사차함수이다:
$$f(x) = x^4 + ax^2$$
2) 도함수를 구하면:
$$f'(x) = 4x^3 + 2ax = 2x(2x^2 + a)$$
3) 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 오직 $x = \pm 2$에서만 미분가능하지 않으려면:
• 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 $x = \pm 2$에서는 교차해야 한다: $f(2) = f(-2) = k$
• 그 외의 만나는 점인 극솟점에서는 직선 $y = k$와 접해야(중근) 한다.
4) $a < 0$일 때 극솟점의 $x$좌표는 $2x^2 + a = 0 \implies x^2 = -\frac{a}{2}$이다.
극솟값을 구하면:
$$f\left(\sqrt{-\frac{a}{2}}\right) = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}$$
접해야 하므로 $k = -\frac{a^2}{4}$이다.
5) $f(2) = k$이므로 대입한다:
$$f(2) = 2^4 + a(2^2) = 16 + 4a = k = -\frac{a^2}{4}$$
$$16 + 4a = -\frac{a^2}{4} \iff a^2 + 16a + 64 = 0 \iff (a + 8)^2 = 0 \implies a = -8$$
6) $a = -8$이므로 $k$와 $f(x)$를 확정한다:
$$k = 16 + 4(-8) = -16, \quad f(x) = x^4 - 8x^2$$
7) $f(3)$의 값을 계산한다:
$$f(3) = 3^4 - 8(3^2) = 81 - 72 = 9$$

1) 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차 공식:
$$\frac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 = 32 \implies (\beta - \alpha)^3 = 64 \implies \beta - \alpha = 4$$
극대 위치가 $\alpha = 1$이므로 극소 위치는 $\beta = 1 + 4 = 5$이다.
2) 삼차함수의 비율관계를 적용하여 곡선 $y = f(x)$와 접선 $y = 20$의 교점을 구한다:
극댓점 $(1, 20)$에서 접하므로 $x = 1$은 중근이다.
변곡점은 $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$이고, 비율관계 $2:1$에 의해 다른 교점은 $x = 1 + 3 \times 2 = 7$이다.
따라서 $f(x) - 20 = (x - 1)^2(x - 7)$이다.
3) 구간 $[1, 7]$에서 직선 $y = 20$이 곡선 $y = f(x)$보다 위쪽에 위치하므로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는:
$$S = \int_1^7 \left[ 20 - f(x) \right] dx = \int_1^7 -(x - 1)^2(x - 7) dx$$
4) 삼차곡선과 접선이 이루는 넓이 공식 $S = \frac{|a|}{12}(\text{교점의 차})^4$를 적용한다:
$$S = \frac{1}{12}(7 - 1)^4 = \frac{1}{12} \times 6^4 = \frac{1296}{12} = 108$$
5) (정적분 치환적분 검산: $t = x - 1$로 두면 $\int_0^6 -t^2(t - 6)dt = \int_0^6 (6t^2 - t^3)dt = [2t^3 - \frac{1}{4}t^4]_0^6 = 2(216) - \frac{1296}{4} = 432 - 324 = 108$)

1) 피적분함수를 전개하여 분리한다:
$$\int_{-2}^2 (3x^2 + 2x - 1)f(x)dx = \int_{-2}^2 (3x^2 - 1)f(x)dx + \int_{-2}^2 2x f(x)dx$$
2) 함수 $f(x)$는 기함수($f(-x) = -f(x)$)이다.
• $3x^2 - 1$은 우함수이므로, 우함수와 기함수의 곱 $(3x^2 - 1)f(x)$는 기함수이다.
대칭 구간 $[-2, 2]$에서 기함수의 정적분은 항상 $0$이다:
$$\int_{-2}^2 (3x^2 - 1)f(x)dx = 0$$
3) $2x$는 기함수이고 $f(x)$도 기함수이므로, 두 기함수의 곱 $2x f(x)$는 우함수이다.
대칭 구간 $[-2, 2]$에서 우함수의 정적분은 $0$부터 $2$까지의 정적분의 $2$배이다:
$$\int_{-2}^2 2x f(x)dx = 2 \int_0^2 2x f(x)dx = 4 \int_0^2 x f(x)dx$$
4) 주어진 조건 $\int_0^2 x f(x)dx = 5$를 대입한다:
$$4 \times 5 = 20$$
5) 따라서 정적분의 값은 $0 + 20 = 20$이다.

1) 함수 $f(x)$의 구간 끝점에서의 함숫값을 구한다:
• $f(0) = 0^3 + 2(0) = 0$
• $f(2) = 2^3 + 2(2) = 8 + 4 = 12$
2) $f(x)$가 $[0, 2]$에서 연속이고 증가하므로, 역함수 $g(x)$는 구간 $[0, 12]$에서 정의되며 $g(0) = 0, g(12) = 2$이다.
3) 역함수 정적분의 기하학적 성질을 적용한다:
곡선 $y = f(x)$와 $x$축, 직선 $x = 2$로 둘러싸인 넓이가 $\int_0^2 f(x)dx$이고,
곡선 $y = f(x)$와 $y$축, 직선 $y = 12$로 둘러싸인 넓이가 $\int_0^{12} g(x)dx$이다.
4) 이 두 도형을 합치면 가로의 길이가 $2$, 세로의 길이가 $12$인 직사각형을 이룬다:
$$\int_0^2 f(x)dx + \int_0^{12} g(x)dx = 2 \times 12 = 24$$
5) (직접 정적분 계산을 통한 검산):
• $\int_0^2 (x^3 + 2x)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + x^2 \right]_0^2 = 4 + 4 = 8$
• 따라서 $\int_0^{12} g(x)dx = 24 - 8 = 16$
• 합은 $8 + 16 = 24$로 완벽히 일치한다.