연립부등식 $$\begin{cases} 3^{2x+1} - 28 \cdot 3^x + 9 \le 0 \\ \log_2(x + a) \le 3 \end{cases}$$을 만족하는 정수 $x$의 개수가 $4$가 되도록 하는 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하시오.

원 $O$에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 5, \overline{BC} = 4, \cos B = \frac{1}{8}$이고, 삼각형 $ACD$는 $\overline{AD} = \overline{CD}$인 이등변삼각형이다. 선분 $AC$의 길이와 선분 $CD$의 길이를 구하시오.

모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 2 & (a_n < 0) \\ -2a_n & (a_n \ge 0) \end{cases}$$를 만족하는 수열 $\{a_n\}$이 있다. $a_5 = 4$일 때, 가능한 첫째항 $a_1$의 모든 값의 합을 구하시오.

수열 $\{a_n\}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k} = \frac{n}{n+1}$$이 성립할 때, $$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$$의 값을 구하시오.

다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족한다:
(가) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - x^3}{x^2} = -3$
(나) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -9$
함수 $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$이고 $f(0) = 0$이다. 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 오직 $x = \pm 2$에서만 미분가능하지 않을 때, 상수 $k$의 값과 $f(3)$의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값의 차가 $32$이고, $x = 1$에서 극댓값 $20$을 갖는다. 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 20$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$를 만족하는 연속함수 $f(x)$가 있다. $$\int_0^2 f(x)dx = 3, \quad \int_0^2 x f(x)dx = 5$$일 때, 정적분 $$\int_{-2}^2 (3x^2 + 2x - 1)f(x)dx$$의 값을 구하시오.

구간 $[0, \infty)$에서 연속이고 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + 2x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $$\int_0^2 f(x)dx + \int_0^{12} g(x)dx$$의 값을 구하시오.