1) 두 함수의 관계를 확인한다:
$y = 2^{x-1} + 1$에서 $y - 1 = 2^{x-1} \iff x - 1 = \log_2(y - 1) \iff x = \log_2(y - 1) + 1$
$x$와 $y$를 바꾸면 역함수는 $y = \log_2(x-1) + 1$이다.
따라서 두 곡선은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
2) 직선 $y = -x + k$의 기울기는 $-1$이므로 대칭축 $y = x$와 수직이다.
따라서 두 교점 $A, B$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭인 점이다.
3) 두 직선 $y = x$와 $y = -x + k$의 교점(선분 $AB$의 중점)을 $M$이라 하면:
$$x = -x + k \iff 2x = k \implies x = \frac{k}{2} \implies M\left(\frac{k}{2}, \frac{k}{2}\right)$$
4) 선분 $AB$의 길이가 $2\sqrt{2}$이므로 $\overline{AM} = \sqrt{2}$이다.
직선 $y = -x + k$의 기울기가 $-1$이므로 점 $A$와 점 $M$ 사이의 $x$좌표의 차는 $1$, $y$좌표의 차도 $1$이다.
따라서 점 $A$의 좌표를 $\left(\frac{k}{2} - 1, \frac{k}{2} + 1\right)$이라 둘 수 있다.
5) 점 $A$는 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$ 위의 점이므로 대입하면:
$$\frac{k}{2} + 1 = 2^{\left(\frac{k}{2} - 1\right) - 1} + 1 \iff \frac{k}{2} = 2^{\frac{k}{2} - 2}$$
6) $\frac{k}{2} = t$라 두면 $t = 2^{t - 2} \iff 4t = 2^t$이다.
$t = 4$를 대입하면 $4(4) = 16 = 2^4$이 성립한다.
따라서 $\frac{k}{2} = 4 \implies k = 8$이다.

1) $2x = \theta$로 치환하면 $0 \le \theta < 4\pi$이다.
방정식은 $|2\sin\theta - 1| = k$가 된다.
2) 함수 $g(\theta) = |2\sin\theta - 1|$의 그래프 개형을 한 주기 $0 \le \theta < 2\pi$에서 분석한다:
• $-1 \le \sin\theta \le 1$이므로 $-3 \le 2\sin\theta - 1 \le 1$이다.
• 절댓값을 씌우면 $0 \le |2\sin\theta - 1| \le 3$이다.
• $\sin\theta = \frac{1}{2}$일 때 최솟값 $0$을 갖는다 (한 주기에 2개 점).
• $\sin\theta = 1$일 때 높이 $1$인 극댓값을 갖는다 (한 주기에 $\theta = \frac{\pi}{2}$의 1개 점).
• $\sin\theta = -1$일 때 높이 $3$인 최대 극댓값을 갖는다 (한 주기에 $\theta = \frac{3\pi}{2}$의 1개 점).
3) 한 주기 $[0, 2\pi)$에서 $y = |2\sin\theta - 1|$과 직선 $y = k$ ($k > 0$)의 교점 개수를 조사한다:
• $k > 3$: 0개
• $k = 3$: 1개
• $1 \lt k \lt 3$: 2개
• $k = 1$: 높이 $1$인 극댓점에 접하는 점 1개 + 꺾여 올라간 그래프와 만나는 점 2개 $\implies$ 총 3개!
• $0 \lt k \lt 1$: 4개
4) 주어진 범위 $0 \le x < 2\pi$는 $\theta$의 범위로 $0 \le \theta < 4\pi$이므로 정확히 $2$개의 주기를 갖는다.
따라서 전체 교점의 개수는 한 주기 교점 수의 $2$배가 된다.
5) 전체 실근의 개수가 $6$이 되려면, 한 주기당 실근의 개수가 $3$이어야 하므로 $k = 1$이어야 한다.

1) 등차수열의 합 공식 $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$은 원점을 지나는 $n$에 대한 이차함수 형태이다.
2) $S_5 = S_{11}$이므로 이차함수의 대칭축은 $n = \frac{5 + 11}{2} = 8$이다.
또한 $S_0 = 0$이므로 대칭성에 의해 $S_{16} = S_0 = 0$이다.
3) $S_{16} = 0$을 등차수열의 합 공식에 대입한다:
$$S_{16} = \frac{16(2a_1 + 15d)}{2} = 8(2a_1 + 15d) = 0 \implies 2a_1 + 15d = 0 \implies 15d = -2a_1$$
4) $a_1$은 자연수이므로 $d$는 음수이어야 한다.
또한 $a_1 = -\frac{15}{2}d$이므로, $a_1$이 정수가 되려면 공차 $d$는 $-2$의 배수 형태의 정수이어야 한다.
즉, $d = -2m$ ($m$은 자연수)이라 두면 $a_1 = 15m$이다.
5) $S_n$의 값들을 분석한다:
• $S_{16} = 0$이므로 $|S_{16}| = 0$이다.
문제 조건에서 $|S_k|$가 최소가 되는 $k$가 $16$이라는 사실과 완벽히 부합한다.
문제에서 $a_1$이 두 자리 자연수 중 가장 작은 값(또는 기본 자연수 $m=1$)이므로 $m = 1$일 때 $a_1 = 15$이다.

1) 규칙에 따라 수열의 각 항을 차례로 나열하여 주기를 찾는다:
• $a_1 = 3 > 0 \implies a_2 = 3 - 2 = 1$
• $a_2 = 1 > 0 \implies a_3 = 1 - 2 = -1$
• $a_3 = -1 \le 0 \implies a_4 = -1 + 5 = 4$
• $a_4 = 4 > 0 \implies a_5 = 4 - 2 = 2$
• $a_5 = 2 > 0 \implies a_6 = 2 - 2 = 0$
• $a_6 = 0 \le 0 \implies a_7 = 0 + 5 = 5$
• $a_7 = 5 > 0 \implies a_8 = 5 - 2 = 3 = a_1$
2) $a_8 = a_1 = 3$이므로 수열 $\{a_n\}$은 주기 $7$로 순환한다.
한 주기를 이루는 7개의 항은 다음과 같다:
$$(3, 1, -1, 4, 2, 0, 5)$$
3) 한 주기(7개 항)의 합을 구한다:
$$3 + 1 + (-1) + 4 + 2 + 0 + 5 = 14$$
4) $30$개의 항은 주기 $7$이 $4$번 반복되고 $2$개의 항이 남는다 ($30 = 7 \times 4 + 2$):
$$\sum_{k=1}^{30} a_k = 4 \times (\text{한 주기 합}) + (a_1 + a_2)$$
5) 최종 합 계산:
$$4 \times 14 + (3 + 1) = 56 + 4 = 60$$

1) 함수 $f(x)$의 연속성을 조사한다:
• $x \to 1^-$일 때 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) + 1 = 3$
• $x \to 1^+$일 때 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 1 = 0$
좌극한과 우극한이 다르므로 $f(x)$는 $x = 1$에서 불연속이다.
2) 함수 $g(x)$는 이차함수이므로 실수 전체에서 연속이다.
곱함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속이려면 다음이 성립해야 한다:
$$\lim_{x \to 1^-} f(x)g(x) = 3 \cdot g(1), \quad \lim_{x \to 1^+} f(x)g(x) = 0 \cdot g(1) = 0$$
연속이려면 $3g(1) = 0 \implies g(1) = 0$이어야 한다.
3) $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 $g(1) = 0$이므로, $g(x) = (x - 1)(x - \alpha)$라 둘 수 있다.
4) 조건 $g(0) = 6$을 대입한다:
$$g(0) = (0 - 1)(0 - \alpha) = \alpha = 6$$
따라서 $g(x) = (x - 1)(x - 6)$이다.
5) $g(4)$의 값을 계산한다:
$$g(4) = (4 - 1)(4 - 6) = 3 \times (-2) = -6$$

1) 닫힌구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율을 구한다:
• $f(0) = 0$
• $f(3) = 3^3 - 3(3^2) = 27 - 27 = 0$
따라서 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은:
$$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{0 - 0}{3} = 0$$
2) 도함수를 구한다:
$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
3) 평균값 정리에 의해 $f'(c) = 0$을 만족하는 $c$가 열린구간 $(0, 3)$에 적어도 하나 존재한다:
$$3c^2 - 6c = 0 \iff 3c(c - 2) = 0 \implies c = 0 \quad \text{또는} \quad c = 2$$
4) $c$는 열린구간 $(0, 3)$에 속해야 하므로 $0 \lt c \lt 3$이다.
따라서 조건을 만족하는 실수는 $c = 2$뿐이다.
5) 따라서 구하는 모든 실수 $c$의 합은 $2$이다.

1) 곡선 위의 점 $(t, t^3 - 3t)$에서의 접선의 방정식을 세운다:
$y' = 3x^2 - 3$이므로 기울기는 $3t^2 - 3$이다.
$$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t) \iff y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$$
2) 이 접선이 점 $(1, a)$를 지나므로 대입한다:
$$a = (3t^2 - 3)(1) - 2t^3 \iff 2t^3 - 3t^2 + a + 3 = 0$$
접선의 개수 $g(a)$는 이 $t$에 관한 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
3) $h(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3$이라 두면, 방정식은 $h(t) = a$가 된다.
$h(t)$의 도함수를 구하여 극값을 찾는다:
$$h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0 \implies t = 0 \quad \text{또는} \quad t = 1$$
4) $h(t)$의 극값을 계산한다:
• $t = 0$일 때 극솟값: $h(0) = -3$
• $t = 1$일 때 극댓값: $h(1) = -2(1) + 3(1) - 3 = -2$
5) $h(t) = a$의 실근의 개수 $g(a)$는 다음과 같다:
• $a < -3$ 또는 $a > -2$일 때: $g(a) = 1$
• $a = -3$ 또는 $a = -2$일 때: $g(a) = 2$
• $-3 \lt a \lt -2$일 때: $g(a) = 3$
6) 따라서 함수 $g(a)$가 불연속이 되는 $a$의 값은 극값인 $a = -3$과 $a = -2$이다.
그 합은 $(-3) + (-2) = -5$이다.

1) $f'(x) = (x - 1)(x - 3)$이다.
$f'(x) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$이다.
2) $x \ge 0$에서의 $f(x)$의 증감을 조사한다:
• $0 \le x < 1$: $f'(x) > 0$ (증가)
• $1 \lt x \lt 3$: $f'(x) < 0$ (감소)
• $x > 3$: $f'(x) > 0$ (증가)
따라서 $f(x)$는 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소를 갖는다.
3) $x \ge 0$에서 $f(x)$의 최솟값 후보는 구간의 시작점 $x = 0$과 극솟점 $x = 3$이다.
• $f(0) = \int_0^0 (t-1)(t-3)dt + k = k$
• $f(3) = \int_0^3 (t^2 - 4t + 3)dt + k = \left[ \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t \right]_0^3 + k = (9 - 18 + 9) + k = 0 + k = k$
4) $x=0$과 $x=3$에서의 함숫값이 모두 $k$이고, $0 \le x \le 3$에서 $f(x)$는 증가했다가 감소하여 다시 $k$로 돌아오며, $x \ge 3$에서는 계속 증가하므로,
$x \ge 0$에서 $f(x)$의 최솟값은 $k$이다.
5) 따라서 모든 $x \ge 0$에 대하여 $f(x) \ge 0$이 성립하려면 최솟값 $k \ge 0$이어야 한다.
따라서 실수 $k$의 최솟값은 $0$이다.

1) 두 점 $P, Q$의 시각 $t$에서의 위치 $x_1(t), x_2(t)$를 구한다 ($x_1(0) = 0, x_2(0) = 0$):
$$x_1(t) = \int_0^t (3s^2 - 6s)ds = t^3 - 3t^2$$
$$x_2(t) = \int_0^t (2s + 5)ds = t^2 + 5t$$
2) 두 점이 다시 만나려면 위치가 같아야 하므로 $x_1(t) = x_2(t)$이다:
$$t^3 - 3t^2 = t^2 + 5t \iff t^3 - 4t^2 - 5t = 0$$
3) 방정식을 인수분해한다:
$$t(t^2 - 4t - 5) = 0 \iff t(t - 5)(t + 1) = 0$$
4) 출발 후 시각이므로 $t > 0$이어야 한다.
따라서 구하는 만나는 시각은 $t = 5$이다.