두 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$과 $y = \log_2(x-1) + 1$에 대하여 기울기가 $-1$인 직선 $y = -x + k$가 두 곡선과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자. 선분 $AB$의 길이가 $2\sqrt{2}$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

$0 \le x < 2\pi$에서 방정식 $$|2\sin 2x - 1| = k$$의 서로 다른 실근의 개수가 $6$이 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하시오.

첫째항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$라 하자. $S_5 = S_{11}$이고 $|S_k|$가 최소가 되는 자연수 $k$가 $16$일 때, 첫째항 $a_1$의 값을 구하시오.

첫째항이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 2 & (a_n > 0) \\ a_n + 5 & (a_n \le 0) \end{cases}$$를 만족하는 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{30} a_k$$의 값을 구하시오.

함수 $$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x < 1) \\ x^2 - 1 & (x \ge 1) \end{cases}$$과 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(x)$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $g(4)$의 값을 구하시오. (단, $g(0) = 6$)

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족하는 모든 실수 $c$의 값의 합을 구하시오.

점 $(1, a)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x$에 그을 수 있는 접선의 개수를 $g(a)$라 할 때, 함수 $g(a)$가 불연속이 되는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오.

함수 $$f(x) = \int_0^x (t - 1)(t - 3)dt + k$$에 대하여 $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에서 $f(x) \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오.

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도가 각각 $$v_1(t) = 3t^2 - 6t, \quad v_2(t) = 2t + 5$$이다. 출발 후 두 점 $P, Q$가 다시 만나는 시각 $t$를 구하시오.