1) 두 곡선의 식을 각각 $f(x) = 4 \cdot 2^x$, $g(x) = -2^{-x} + 4$라 하자.
2) 두 곡선의 차 $f(x) - g(x) = 4 \cdot 2^x + 2^{-x} - 4$를 분석한다.
$2^x = t > 0$이라 두면 $f(x) - g(x) = 4t + \frac{1}{t} - 4$이다.
산술·기하평균 부등식에 의해 $4t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{4t \cdot \frac{1}{t}} = 4$이므로,
$$f(x) - g(x) \ge 4 - 4 = 0$$
등호는 $4t = \frac{1}{t} \iff t^2 = \frac{1}{4} \iff t = \frac{1}{2}$ ($x = -1$)일 때 성립한다.
즉, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge g(x)$이므로 선분 $AB$의 길이는 항상 $f(k) - g(k)$이다.
3) 선분 $AB$의 길이가 $2$ 이하일 조건:
$$4t + \frac{1}{t} - 4 \le 2 \iff 4t + \frac{1}{t} - 6 \le 0$$
양변에 $t > 0$을 곱하여 정리하면:
$$4t^2 - 6t + 1 \le 0$$
4) 이차방정식 $4t^2 - 6t + 1 = 0$의 해는 근의 공식에 의해:
$$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$$
따라서 $t = 2^k$의 범위는 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4} \le 2^k \le \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$이다.
5) $\sqrt{5} \approx 2.236$이므로 값을 어림하면:
$$\frac{3 - 2.236}{4} = \frac{0.764}{4} = 0.191, \quad \frac{3 + 2.236}{4} = \frac{5.236}{4} = 1.309$$
즉, $0.191 \le 2^k \le 1.309$이다.
6) $k$가 정수일 때 $2^k$의 값을 조사한다:
• $k = 1$: $2^1 = 2 > 1.309$ (조건 불만족)
• $k = 0$: $2^0 = 1$ ($0.191 \le 1 \le 1.309$ 만족)
• $k = -1$: $2^{-1} = 0.5$ ($0.191 \le 0.5 \le 1.309$ 만족)
• $k = -2$: $2^{-2} = 0.25$ ($0.191 \le 0.25 \le 1.309$ 만족)
• $k = -3$: $2^{-3} = 0.125 < 0.191$ (조건 불만족)
7) 따라서 만족하는 정수 $k$는 $-2, -1, 0$이다. 그 합은:
$$(-2) + (-1) + 0 = -3$$

1) 함수 $f(x) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)$의 주기를 구한다:
$$T = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3$$
구간 $[0, 6]$은 길이가 $6$이므로 정확히 $2$개의 주기를 포함한다.
2) 한 주기 $[0, 3)$에서의 해를 조사한다:
$|f(x)| = \frac{1}{3} \iff \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right) = \frac{1}{3} \quad \text{또는} \quad \cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right) = -\frac{1}{3}$
코사인 곡선은 한 주기 내에서 $y = \frac{1}{3}$과 $2$개의 점에서 만나고, $y = -\frac{1}{3}$과 $2$개의 점에서 만나므로 한 주기당 $4$개의 서로 다른 실근을 갖는다.
3) 한 주기 $[0, 3)$에서의 대칭성을 이용한 실근의 합:
$\cos\left(\frac{2\pi}{3}x\right)$의 그래프는 $x = \frac{3}{2}$에 대하여 점대칭/선대칭 관계를 가진다.
두 근씩 짝을 지으면 그 합은 대칭축 $x = \frac{3}{2}$의 $2$배인 $3$이 된다.
따라서 한 주기 내 $4$개 실근의 합은 $3 + 3 = 6$이다.
4) 두 번째 주기 $[3, 6]$에서의 실근:
각 실근은 첫 번째 주기의 실근에 주기 $3$을 더한 값이므로, 실근의 개수는 동일하게 $4$개이고, 그 합은 $6 + 4 \times 3 = 18$이다.
5) 전체 실근의 개수 $N$과 모든 실근의 합 $S$:
• $N = 4 + 4 = 8$개
• $S = 6 + 18 = 24$

1) $a_{n+1}$로부터 $a_n$을 구하는 역추적 규칙을 세운다:
• $a_n$이 짝수이면: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n \implies a_n = 2a_{n+1}$ (항상 짝수 자연수)
• $a_n$이 홀수이면: $a_{n+1} = a_n + 3 \implies a_n = a_{n+1} - 3$ (단, $a_n > 0$이고 홀수이어야 함)
2) $a_5 = 4$로부터 $a_4$를 구한다:
• 짝수: $a_4 = 2(4) = 8$
• 홀수: $a_4 = 4 - 3 = 1$ (홀수 만족)
따라서 $a_4 \in \{1, 8\}$이다.
3) $a_3$을 구한다:
• $a_4 = 1$인 경우: 짝수 $\implies 2$, 홀수 $\implies 1 - 3 = -2$ (음수 불가) $\implies a_3 = 2$
• $a_4 = 8$인 경우: 짝수 $\implies 16$, 홀수 $\implies 8 - 3 = 5$ (홀수 만족) $\implies a_3 \in \{5, 16\}$
따라서 $a_3 \in \{2, 5, 16\}$이다.
4) $a_2$를 구한다:
• $a_3 = 2$: 짝수 $\implies 4$, 홀수 $\implies 2 - 3 = -1$ (불가) $\implies a_2 = 4$
• $a_3 = 5$: 짝수 $\implies 10$, 홀수 $\implies 5 - 3 = 2$ (짝수이므로 불가) $\implies a_2 = 10$
• $a_3 = 16$: 짝수 $\implies 32$, 홀수 $\implies 16 - 3 = 13$ (홀수 만족) $\implies a_2 \in \{13, 32\}$
따라서 $a_2 \in \{4, 10, 13, 32\}$이다.
5) $a_1$을 구한다:
• $a_2 = 4$: 짝수 $\implies 8$, 홀수 $\implies 4 - 3 = 1$ (홀수 만족) $\implies a_1 \in \{1, 8\}$
• $a_2 = 10$: 짝수 $\implies 20$, 홀수 $\implies 10 - 3 = 7$ (홀수 만족) $\implies a_1 \in \{7, 20\}$
• $a_2 = 13$: 짝수 $\implies 26$, 홀수 $\implies 13 - 3 = 10$ (짝수이므로 불가) $\implies a_1 = 26$
• $a_2 = 32$: 짝수 $\implies 64$, 홀수 $\implies 32 - 3 = 29$ (홀수 만족) $\implies a_1 \in \{29, 64\}$
6) 가능한 $a_1$의 전체 집합은 $\{1, 7, 8, 20, 26, 29, 64\}$이다.
• 최댓값: $M = 64$
• 최솟값: $m = 1$
따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $M + m = 64 + 1 = 65$이다.

1) 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 마주 보는 두 각의 크기의 합은 $180^\circ$이다:
$$\angle C = 180^\circ - \angle A$$
2) $\triangle ABD$에서 코사인법칙을 적용한다:
$$\overline{BD}^2 = 3^2 + 3^2 - 2(3)(3)\cos A = 18 - 18\cos A$$
3) $\triangle BCD$에서 코사인법칙을 적용한다:
$$\overline{BD}^2 = 4^2 + 2^2 - 2(4)(2)\cos(180^\circ - A) = 20 + 16\cos A$$
4) 두 식을 연립하여 $\cos A$를 구한다:
$$18 - 18\cos A = 20 + 16\cos A \iff 34\cos A = -2 \implies \cos A = -\frac{1}{17}$$
5) $\overline{BD}^2$의 값을 계산한다:
$$\overline{BD}^2 = 18 - 18\left(-\frac{1}{17}\right) = 18 + \frac{18}{17} = \frac{324}{17}$$
6) $\sin A$의 값을 구한다:
$$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{289}} = \sqrt{\frac{288}{289}} = \frac{12\sqrt{2}}{17}$$
7) 사각형 $ABCD$의 넓이 $S$는 두 삼각형의 넓이의 합이다:
$$S = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{1}{2}(3)(3)\sin A + \frac{1}{2}(4)(2)\sin(180^\circ - A) = \left(\frac{9}{2} + 4\right)\sin A = \frac{17}{2} \cdot \frac{12\sqrt{2}}{17} = 6\sqrt{2}$$

1) 조건 (가)를 분석한다:
$\lim_{x \to 1}(x - 1) = 0$이므로 $f(1) = 0$이어야 한다.
또한 극한값이 $0$이므로, $f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 0$이다.
따라서 $f(x)$는 $(x - 1)^2$을 인수로 가져야 한다.
2) 조건 (나)를 분석한다:
$\lim_{x \to 2}(x - 2) = 0$이고 극한값 $k$가 존재하므로 $f(2) = 0$이어야 한다.
따라서 $f(x)$는 $x - 2$를 인수로 가진다.
3) 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f(x)$의 식을 확정한다:
$$f(x) = (x - 1)^2(x - 2)$$
4) 조건 (나)의 극한값 $k$를 계산한다:
$$k = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1)^2(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 1)^2 = (2 - 1)^2 = 1$$
5) $f(4)$의 값을 계산한다:
$$f(4) = (4 - 1)^2(4 - 2) = 3^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18$$

1) 함수 $f(x)$의 도함수를 구하여 극값을 찾는다:
$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$$
2) $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다:
• 극댓값 ($x = -1$):
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$$
• 극솟값 ($x = 3$):
$$f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$
3) 함수 $g(x) = |f(x) - t|$의 미분가능성을 기하학적으로 분석한다:
곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = t$가 만나는 점에서, 접하지 않고 단순 교차하는 점에서는 절댓값에 의해 꺾이므로 미분불가능해진다.
반면 접하는 점(중근)에서는 미분계수가 $0$이 되어 꺾여도 미분가능하다.
4) 오직 한 점에서만 미분가능하지 않으려면:
직선 $y = t$가 극댓값보다 크거나 같거나($t \ge 10$), 극솟값보다 작거나 같아야($t \le -22$) 한다.
(만약 $-22 \lt t \lt 10$이면 서로 다른 세 실근을 가져 미분불가능한 점이 3개가 된다.)
5) 따라서 구하는 실수 $t$의 범위는:
$$t \le -22 \quad \text{또는} \quad t \ge 10$$

1) $f(-x) = f(x)$이므로 $f(x)$는 $y$축 대칭(우함수)이다.
$x = 2$에서 극솟값을 가지므로 대칭성에 의해 $x = -2$에서도 동일한 극솟값 $-9$를 가지며, $x = 0$에서 극댓값을 갖는다.
2) 도함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $4$이고 세 근이 $-2, 0, 2$이다:
$$f'(x) = 4x(x - 2)(x + 2) = 4x(x^2 - 4) = 4x^3 - 16x$$
3) 적분하여 $f(x)$를 구한다:
$$f(x) = x^4 - 8x^2 + C$$
$x = 2$에서 극솟값이 $-9$이므로:
$$f(2) = 2^4 - 8(2^2) + C = 16 - 32 + C = C - 16 = -9 \implies C = 7$$
따라서 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 7$이다.
4) $x = 0$에서의 극댓값을 구하면:
$$f(0) = 7$$
5) $y = |f(x)|$의 그래프 개형을 분석한다:
• 극솟값 $-9$는 꺾여 올라가서 높이 $9$의 봉우리가 된다.
• 극댓값 $7$은 양수이므로 그대로 높이 $7$에 위치한다.
• 직선 $y = c$ ($c > 0$)와의 교점 개수:
- $c > 9$: $2$개
- $c = 9$: $4$개 (극솟값 꺾인 두 점에 접함)
- $7 \lt c \lt 9$: $8$개
- $c = 7$: 극댓점 $(0, 7)$에 접하고, 꺾여 올라간 그래프와 $4$개, 양쪽 바깥 날개와 $2$개 $\implies$ 총 $1 + 4 + 1 = 6$개!
- $0 \lt c \lt 7$: $8$개
6) 따라서 서로 다른 실근의 개수가 $6$이 되도록 하는 양수 $c$의 값은 극댓값과 같은 $7$이다.

1) 양변을 $x$에 대하여 미분하여 도함수 $g'(x)$를 구한다:
$$g'(x) = (x^2 - 4)(x - 1) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)$$
2) $g'(x) = 0$의 실근은 크기순으로 $x = -2, 1, 2$이다.
3) $g'(x)$의 부호 변화를 조사한다:
• $x < -2$: $g'(x) < 0$
• $-2 \lt x \lt 1$: $g'(x) > 0$ (따라서 $x = -2$에서 극소)
• $1 \lt x \lt 2$: $g'(x) < 0$ (따라서 $x = 1$에서 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극대)
• $x > 2$: $g'(x) > 0$ (따라서 $x = 2$에서 극소)
4) 따라서 함수 $g(x)$는 $x = 1$에서 극댓값을 갖는다.
5) 극댓값 $g(1)$을 정적분으로 계산한다:
피적분함수를 전개하면 $(t^2 - 4)(t - 1) = t^3 - t^2 - 4t + 4$이다.
$$g(1) = \int_0^1 (t^3 - t^2 - 4t + 4)dt = \left[ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 4t \right]_0^1$$
$$= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4 = 2 + \frac{3 - 4}{12} = 2 - \frac{1}{12} = \frac{23}{12}$$

1) $y' = 3x^2 - 6x + 2$이므로 $x = 2$에서의 접선의 기울기는:
$$m = 3(2^2) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$$
2) 점 $(2, 0)$에서의 접선의 방정식:
$$y - 0 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 4$$
3) 곡선과 접선의 교점의 $x$좌표를 구한다:
$$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x - 4 \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0$$
$x = 2$에서 접하므로 $(x - 2)^2$을 인수로 가진다:
$$(x - 2)^2(x + 1) = 0 \implies x = -1 \quad \text{또는} \quad x = 2$$
4) 구간 $[-1, 2]$에서 삼차곡선이 접선보다 위쪽에 위치하므로 둘러싸인 넓이 $S$는:
$$S = \int_{-1}^2 \left[ (x^3 - 3x^2 + 2x) - (2x - 4) \right] dx = \int_{-1}^2 (x^3 - 3x^2 + 4) dx$$
5) 부정적분을 계산하여 값을 구한다:
$$\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \right]_{-1}^2 = \left( \frac{1}{4}(16) - 8 + 8 \right) - \left( \frac{1}{4}(1) - (-1) + 4(-1) \right)$$
$$= 4 - \left( \frac{1}{4} + 1 - 4 \right) = 4 - \left( -\frac{11}{4} \right) = 4 + \frac{11}{4} = \frac{27}{4}$$