1) $2^x = t$로 치환한다. $1 \le x \le 3$이므로 $t$의 범위를 구하면:
$$2^1 \le t \le 2^3 \implies 2 \le t \le 8$$
2) $4^x = (2^x)^2 = t^2$이고 $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4t$이므로, 주어진 함수는 $t$에 대한 이차함수가 된다:
$$y = t^2 - 4t + 5 = (t - 2)^2 + 1$$
3) 구간 $2 \le t \le 8$에서 이차함수 그래프의 성질을 분석한다:
• 꼭짓점의 $t$좌표가 $2$이므로, $t = 2$ ($x = 1$)일 때 최솟값을 갖는다:
$$m = (2 - 2)^2 + 1 = 1$$
• 축 $t = 2$에서 가장 먼 $t = 8$ ($x = 3$)일 때 최댓값을 갖는다:
$$M = (8 - 2)^2 + 1 = 6^2 + 1 = 37$$
4) 따라서 최댓값과 최솟값의 합은:
$$M + m = 37 + 1 = 38$$

1) 진수 조건 확인:
$$x - 2 > 0 \implies x > 2 \quad \text{이고} \quad 3x - 2 > 0 \implies x > \frac{2}{3}$$
따라서 공통 진수 조건은 $x > 2$이다.
2) 밑을 $\frac{1}{9}$로 통일한다:
$$\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) = \log_{\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}}}(x - 2) = 2\log_{\frac{1}{9}}(x - 2) = \log_{\frac{1}{9}}(x - 2)^2$$
3) 밑이 $0 < \frac{1}{9} < 1$이므로 진수의 부등호 방향이 반대로 바뀐다:
$$(x - 2)^2 \le 3x - 2$$
4) 부등식을 전개하여 정리한다:
$$x^2 - 4x + 4 \le 3x - 2 \iff x^2 - 7x + 6 \le 0 \iff (x - 1)(x - 6) \le 0 \implies 1 \le x \le 6$$
5) 진수 조건 $x > 2$와 연립하면:
$$2 < x \le 6$$
6) 이를 만족하는 정수 $x$는 $3, 4, 5, 6$이다. 그 합은:
$$3 + 4 + 5 + 6 = 18$$

1) 코사인법칙을 적용하여 선분 $BC$의 길이 $a$를 구한다:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$
$$a^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6)\cos 60^\circ = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$$
2) $a > 0$이므로:
$$a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$
3) 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름 $R$을 구한다:
$$\frac{a}{\sin A} = 2R \implies 2R = \frac{2\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{21}}{3}$$
4) 양변을 $2$로 나누면:
$$R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$$

1) 귀납적 규칙에 따라 각 항을 차례로 구한다:
• $a_1 = 2 < 5$이므로 $a_2 = 2(2) - 1 = 3$
• $a_2 = 3 < 5$이므로 $a_3 = 2(3) - 1 = 5$
• $a_3 = 5 \ge 5$이므로 $a_4 = 5 - 4 = 1$
2) $a_4$ 이후의 항을 조사한다:
• $a_4 = 1 < 5$이므로 $a_5 = 2(1) - 1 = 1$
• $a_5 = 1 < 5$이므로 $a_6 = 2(1) - 1 = 1$
3) $n \ge 4$인 모든 자연수에 대하여 $a_n = 1$로 일정하게 유지된다.
4) 따라서 $a_{10} = 1$이다.

1) 수열의 합 $S_n$과 일반항 $a_n$의 관계식 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$)을 적용한다:
$$a_n = (n^2 + 3n) - \left((n - 1)^2 + 3(n - 1)\right) = (n^2 + 3n) - (n^2 + n - 2) = 2n + 2$$
2) $n = 1$일 때 $a_1 = S_1 = 1^2 + 3(1) = 4$이고, $2(1) + 2 = 4$이므로 일반항은 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2n + 2$이다.
3) 구하고자 하는 식에 $a_k = 2k + 2$를 대입한다:
$$k a_k = k(2k + 2) = 2k^2 + 2k$$
4) 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 시그마를 계산한다:
$$\sum_{k=1}^{10} (2k^2 + 2k) = 2\sum_{k=1}^{10} k^2 + 2\sum_{k=1}^{10} k$$
$$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385, \quad \sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$$
5) 최종값 계산:
$$2(385) + 2(55) = 770 + 110 = 880$$

1) 분자에 $f(1)$을 빼고 더하여 미분계수의 정의 형태를 만든다:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 f(1) - f(1) + f(1) - f(x^2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{(x^2 - 1)f(1)}{x - 1} - \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} \right]$$
2) 첫 번째 항의 극한:
$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1)f(1) = 2f(1) = 2 \times 3 = 6$$
3) 두 번째 항의 극한 (분모와 분자에 $x + 1$을 곱함):
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1) \right] = f'(1) \cdot 2 = 4 \times 2 = 8$$
4) 따라서 구하는 극한값은:
$$6 - 8 = -2$$

1) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 역함수를 가지려면 일대일대응이어야 하므로, 실수 전체에서 항상 증가해야 한다.
즉, 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$이어야 한다.
2) 도함수를 구하면:
$$f'(x) = x^2 - 2kx + (4k - 3)$$
3) 이차부등식 $x^2 - 2kx + (4k - 3) \ge 0$이 항상 성립하려면 판별식 $D/4 \le 0$이어야 한다:
$$\frac{D}{4} = (-k)^2 - (4k - 3) = k^2 - 4k + 3 \le 0$$
4) 이차부등식을 인수분해하여 풀면:
$$(k - 1)(k - 3) \le 0 \implies 1 \le k \le 3$$
5) 따라서 조건을 만족하는 정수 $k$는 $1, 2, 3$으로 총 3개이다.

1) 주어진 항등식의 양변에 $x = 1$을 대입한다:
$$\int_1^1 f(t)dt = 0 = 1^3 - a(1^2) + 2(1) - 1 \implies 0 = 2 - a \implies a = 2$$
2) 구한 $a = 2$를 식에 대입하면:
$$\int_1^x f(t)dt = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$$
3) 양변을 $x$에 대하여 미분한다:
$$\frac{d}{dx}\left(\int_1^x f(t)dt\right) = f(x) = 3x^2 - 4x + 2$$
4) $x = 2$를 대입하여 $f(2)$의 값을 구한다:
$$f(2) = 3(2^2) - 4(2) + 2 = 12 - 8 + 2 = 6$$

1) 운동 방향을 바꿀 때의 조건은 $v(t) = 0$이고 좌우에서 부호가 바뀌는 것이다:
$$v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t - 1)(t - 3) = 0 \implies t = 1 \quad \text{또는} \quad t = 3$$
따라서 점 $P$가 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1$이다.
2) 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$를 구한다 ($x(0) = 0$):
$$x(t) = \int_0^t (3s^2 - 12s + 9)ds = t^3 - 6t^2 + 9t$$
$t = 1$일 때의 위치는 $x(1) = 1^3 - 6(1) + 9(1) = 4$이다.
3) $t = 0$부터 $t = 4$까지 실제로 움직인 거리 $s$는 속도의 절댓값의 정적분이다:
$$s = \int_0^4 |v(t)|dt = \int_0^1 v(t)dt + \int_1^3 (-v(t))dt + \int_3^4 v(t)dt$$
4) 각 구간별 이동 거리 계산:
• $t \in [0, 1]$: $x(1) - x(0) = 4 - 0 = 4$
• $t \in [1, 3]$: $-(x(3) - x(1)) = -(0 - 4) = 4$ (여기서 $x(3) = 27 - 54 + 27 = 0$)
• $t \in [3, 4]$: $x(4) - x(3) = (64 - 96 + 36) - 0 = 4 - 0 = 4$
5) 따라서 총 움직인 거리는 $4 + 4 + 4 = 12$이다.