1) 진수 부분의 식을 완전제곱식으로 변형하면:
$$x^2 - 6x + 25 = (x - 3)^2 + 16$$
2) $x$가 자연수이므로 $(x - 3)^2 \ge 0$에서 진수의 최솟값은 $16$이다.
3) $\log_2 ((x - 3)^2 + 16) = m$ ($m$은 자연수)이라 두면:
$$(x - 3)^2 + 16 = 2^m$$
4) 진수의 최솟값이 $16$이므로 $2^m \ge 16 = 2^4$에서 $m \ge 4$이어야 한다.
5) $1 \le x \le 100$의 범위에서 $(x - 3)^2 + 16 \le 97^2 + 16 = 9425$이다.
각 $m$에 대하여 $(x - 3)^2 = 2^m - 16$이 완전제곱수가 되는 경우를 조사한다:
• $m = 4$일 때: $(x - 3)^2 = 16 - 16 = 0 \implies x = 3$ (자연수 1개)
• $m = 5$일 때: $(x - 3)^2 = 32 - 16 = 16 \implies x - 3 = \pm 4 \implies x = 7$ ($x = -1$은 자연수가 아니므로 제외, 1개)
• $m \ge 6$일 때: $2^m - 16 = 16(2^{m-4} - 1)$이 제곱수가 되려면 $2^{m-4} - 1$이 제곱수이어야 하나, $2^{m-4} - 1$이 제곱수가 되는 자연수 $m$은 존재하지 않는다 ($m=5$인 경우 $2^1-1=1$로 유일).
6) 따라서 조건을 만족하는 자연수 $x$는 $3, 7$로 총 2개이다.

1) 삼각함수의 항등식 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하여 코사인에 관한 식을 정리한다:
$$4(1 - \cos^2 x) - 4\cos x - 1 = 0 \iff 4\cos^2 x + 4\cos x - 3 = 0$$
2) 좌변을 인수분해하면:
$$(2\cos x - 1)(2\cos x + 3) = 0$$
3) $-1 \le \cos x \le 1$이므로 $2\cos x + 3 \ne 0$이다. 따라서:
$$\cos x = \frac{1}{2}$$
4) $0 \le x < 2\pi$의 범위에서 $\cos x = \frac{1}{2}$의 실근을 구하면:
$$x = \frac{\pi}{3} \quad \text{또는} \quad x = \frac{5\pi}{3}$$
5) 따라서 모든 실근의 합은 $\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = 2\pi$이다.

1) 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하면:
$$a_n = 25 + (n - 1)(-3) = 28 - 3n$$
2) 항의 부호가 바뀌는 경계를 판정한다:
$$a_n > 0 \iff 28 - 3n > 0 \iff n < \frac{28}{3} = 9.33\dots$$
즉, $1 \le n \le 9$일 때 $a_n > 0$이고, $n \ge 10$일 때 $a_n < 0$이다.
3) 양수인 항들의 합 ($k = 1$부터 $9$까지):
$a_1 = 25, a_9 = 28 - 27 = 1$이므로:
$$\sum_{k=1}^9 a_k = \frac{9(25 + 1)}{2} = \frac{9 \times 26}{2} = 117$$
4) 음수인 항들의 절댓값의 합 ($k = 10$부터 $15$까지):
$a_{10} = -2, a_{15} = 28 - 45 = -17$이므로 $|a_k| = -a_k$이다:
$$\sum_{k=10}^{15} |a_k| = \sum_{k=10}^{15} (-a_k) = \frac{6(2 + 17)}{2} = \frac{6 \times 19}{2} = 57$$
5) 따라서 구하는 총합은:
$$\sum_{k=1}^{15} |a_k| = 117 + 57 = 174$$

1) 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은:
$$a_n = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2n - 1$$
2) 공차가 $2$이므로 $a_{k+1} - a_k = 2$이다. 부분분수 공식을 적용하면:
$$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{a_{k+1} - a_k}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)$$
3) 시그마에 대입하여 망원급수(소거형) 형태로 전개한다:
$$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_{10}} - \frac{1}{a_{11}}\right)\right]$$
4) 이웃한 항들이 순차적으로 소거되므로:
$$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}}\right)$$
5) $a_1 = 1$, $a_{11} = 2(11) - 1 = 21$이므로:
$$\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{21}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$$

1) $x \to 2$일 때 분모 $\lim_{x \to 2}(x - 2) = 0$이고 극한값이 $7$로 존재하므로, 분자의 극한도 $0$이어야 한다:
$$\lim_{x \to 2}(x^2 + ax + b) = 4 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 4$$
2) $b = -2a - 4$를 분자에 대입하고 인수분해한다:
$$x^2 + ax - 2a - 4 = (x^2 - 4) + a(x - 2) = (x - 2)(x + 2 + a)$$
3) 주어진 극한식에 대입하여 $x - 2$를 약분한다:
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2 + a)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2 + a) = 4 + a$$
4) $4 + a = 7$이므로 $a = 3$이다.
이를 $b = -2a - 4$에 대입하면 $b = -2(3) - 4 = -10$이다.
5) 따라서 구하는 값은:
$$a^2 + b^2 = 3^2 + (-10)^2 = 9 + 100 = 109$$

1) $x = 3$은 $x \ge 1$의 범위에 속하므로:
$$f(3) = 3^2 - 2(3) + a = 9 - 6 + a = 3 + a = 10 \implies a = 7$$
2) 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 연속이려면 다음이 성립해야 한다:
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$$
3) 우극한 및 함숫값 계산 ($a = 7$ 반영):
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 2(1) + 7 = 6$$
4) 좌극한 계산:
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3(1) + b = 3 + b$$
5) 연속 조건에 의해 $3 + b = 6 \implies b = 3$이다.
6) 따라서 $a + b = 7 + 3 = 10$이다.

1) 접점의 좌표를 $(t, t^3 + 4)$라 하자.
2) $y' = 3x^2$이므로 접선의 기울기는 $3t^2$이다.
3) 접선의 방정식은 다음과 같다:
$$y - (t^3 + 4) = 3t^2(x - t) \iff y = 3t^2 x - 2t^3 + 4$$
4) 이 직선이 점 $(0, 2)$를 지나므로 대입하면:
$$2 = 3t^2(0) - 2t^3 + 4 \iff 2 = -2t^3 + 4 \iff 2t^3 = 2 \iff t^3 = 1$$
5) $t$는 실수이므로 $t = 1$이다.
6) $t = 1$을 접선의 방정식에 대입하면 접점은 $(1, 5)$이고 기울기는 $3(1)^2 = 3$이다:
$$y = 3x - 2(1)^3 + 4 \implies y = 3x + 2$$

1) 도함수를 구하면:
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + a$$
2) 함수 $f(x)$가 $x = 3$에서 극솟값을 가지므로 $f'(3) = 0$이어야 한다:
$$f'(3) = 3(3^2) - 6(3) + a = 27 - 18 + a = 9 + a = 0 \implies a = -9$$
3) $x = 3$에서의 극솟값이 $-20$이므로 $f(3) = -20$이다:
$$f(3) = 3^3 - 3(3^2) + (-9)(3) + b = 27 - 27 - 27 + b = b - 27 = -20 \implies b = 7$$
4) 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$이고, 도함수는:
$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$$
5) $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$이다.
최고차항의 계수가 양수이므로 $f(x)$는 $x = -1$에서 극댓값을 갖는다.
6) 극댓값 계산:
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12$$

1) 곡선과 직선의 교점의 $x$좌표를 구한다:
$$x^2 - 2x = x \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \implies x = 0 \quad \text{또는} \quad x = 3$$
2) 구간 $[0, 3]$에서 직선이 곡선보다 위쪽에 위치하므로 ($x \ge x^2 - 2x$), 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같다:
$$S = \int_0^3 \left[ x - (x^2 - 2x) \right] dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x) dx$$
3) 부정적분을 구하여 정적분을 계산한다:
$$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 = \left( -\frac{1}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) \right) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$$
4) (참고 검산: 이차곡선과 직선의 넓이 공식 $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6}(3 - 0)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$)